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2021-2022学年浙江省湖州市高二（上）期末数学试卷
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这是一份2021-2022学年浙江省湖州市高二（上）期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年浙江省湖州市高二（上）期末数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）在空间直角坐标系中，点P（1，2，3）关于坐标平面xOy对称点P的坐标为（ ）
A．（﹣1，2，3） B．（1，﹣2，3） C．（1，2，﹣3） D．（﹣1，2，﹣3）
2．（5分）已知等比数列{an}的公比为正数，且a3•a9＝4a52，a2＝1，则a1＝（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
3．（5分）已知椭圆的右焦点为F1（4，0），则正数m的值是（ ）
A．3 B．4 C．9 D．21
4．（5分）已知向量（1，1，0），（﹣1，0，2），且k与2互相垂直，则k的值是（ ）
A．1 B． C． D．
5．（5分）设Sn是数列{an}的前n项和，已知Sn＝n2（n∈N*），则数列{an}（ ）
A．是等比数列，但不是等差数列
B．是等差数列，但不是等比数列
C．是等比数列，也是等差数列
D．既不是等差数列，也不是等比数列
6．（5分）已知圆C：x2+y2﹣6x＝0与直线l：2x+y＝1，则圆C上到直线l的距离为1的点的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（5分）在棱长为1的正四面体ABCD中，点M满足（x，y∈R），点N满足（1﹣λ）（λ∈R），当AM和DN的长度都为最短时，的值是（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）已知双曲线，过其右焦点F作渐近线的垂线，垂足为B，延长FB交另一条渐近线于点A．已知O为原点，且，则|AF|＝（ ）
A．4a B． C． D．3a
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）已知直线l：x﹣（a2﹣a+1）y﹣1＝0，其中a∈R，下列说法正确的是（ ）
A．若直线l与直线x﹣y＝0平行，则a＝0
B．当a＝1时，直线l与直线x+y＝0垂直
C．直线l过定点（1，0）
D．当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距相等
（多选）10．（5分）已知圆O的半径为定长r，A是圆O所在平面内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q．当点P在圆上运动时，下列判断正确的是（ ）
A．点Q的轨迹可能是椭圆
B．点Q的轨迹可能是双曲线的一支
C．点Q的轨迹可能是抛物线
D．点Q的轨迹可能是一个定点
（多选）11．（5分）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱彼此的夹角都是60°，且棱长均为1，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．AC1⊥BD
C．直线BD1与直线AC所成角的正弦值是
D．直线AB与平面A1ACC1所成角的正弦值是
（多选）12．（5分）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S7＝S13，且（n+1）Sn＞nSn+1（n∈N*），则下列选项中正确的是（ ）
A．an＞an+1
B．S10和S11均为Sn的最大值
C．存在正整数k，使得Sk＝0
D．存在正整数m，使得Sm＝S3m
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）在空间直角坐标系中，已知A（﹣1，1，2），B（﹣3，0，4），，，则 ．
14．（5分）设抛物线y2＝4x上的一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离为 ．
15．（5分）已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1，且数列{}为等差数列，则a5＝ ．
16．（5分）已知单位空间向量，，满足，．若空间向量满足，且对于任意实数x，y，的最小值是2，则的最小值是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是各项均为正数的等比数列，且a1＝b1＝3，a2+b2＝14，a3+a4+a5＝b3．
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设cn＝an+bn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和．
18．（12分）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PBQA上所有点到点O的距均不小于圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD（C，D为垂足），测得AB＝10，AC＝6，BD＝12（单位：百米）．
（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；
（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由．
19．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线与x轴的交点为（﹣1，0）．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）若过点P（2，0）的直线l与抛物线C交于A，B两点．请判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点B1在底面ABC内的射影恰好是点C，D是AC的中点，且满足DA＝DB．
（1）求证：AB⊥平面BCC1B1；
（2）已知AC＝2BC＝2，直线BB1与底面ABC所成角的大小为，求二面角C﹣BD﹣C1的大小．
21．（12分）某企业为响应“安全生产”号召，将全部生产设备按设备安全系数分为A，B两个等级，其中B等设备安全系数低于A等设备．企业定时对生产设备进行检修，并将部分B等设备更新成A等设备．据统计，2020年底该企业A等设备量已占全体设备总量的30%．从2021年开始，企业决定加大更新力度，预计今后每年将16%的B等设备更新成A等设备，与此同时，4%的A等设备由于设备老化将降级成B等设备．
（Ⅰ）在这种更新制度下，在将来的某一年该企业的A等设备占全体设备的比例能否超过80%？请说明理由；
（Ⅱ）至少在哪一年底，该企业的A等设备占全体设备的比例超过60%．
（参考数据：，，）
22．（12分）已知椭圆的离心率是，且过点P（2，1）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于A、B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点，且，求△AOB面积的最大值．
2021-2022学年浙江省湖州市高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）在空间直角坐标系中，点P（1，2，3）关于坐标平面xOy对称点P的坐标为（ ）
A．（﹣1，2，3） B．（1，﹣2，3） C．（1，2，﹣3） D．（﹣1，2，﹣3）
【解答】解：由题意可得：点P（1，2，3）关于xoy平面的对称点的坐标是（1，2，﹣3）．
故选：C．
2．（5分）已知等比数列{an}的公比为正数，且a3•a9＝4a52，a2＝1，则a1＝（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q（q＞0），
由a3•a9＝4a，得a1q2•a1q8＝4（a1q4）2，则q2＝4，解得q＝2，
又a2＝1，所以a1．
故选：D．
3．（5分）已知椭圆的右焦点为F1（4，0），则正数m的值是（ ）
A．3 B．4 C．9 D．21
【解答】解：椭圆的右焦点为F1（4，0），
25﹣m2＝16，
解得m＝3．
故选：A．
4．（5分）已知向量（1，1，0），（﹣1，0，2），且k与2互相垂直，则k的值是（ ）
A．1 B． C． D．
【解答】解：∵（1，1，0），（﹣1，0，2），
∴kk（1，1，0）+（﹣1，0，2）＝（k﹣1，k，2），
22（1，1，0）﹣（﹣1，0，2）＝（3，2，﹣2），
又k与2互相垂直，
∴3（k﹣1）+2k﹣4＝0，解得：k．
故选：D．
5．（5分）设Sn是数列{an}的前n项和，已知Sn＝n2（n∈N*），则数列{an}（ ）
A．是等比数列，但不是等差数列
B．是等差数列，但不是等比数列
C．是等比数列，也是等差数列
D．既不是等差数列，也不是等比数列
【解答】解：∵Sn＝n2，∴Sn﹣1＝（n﹣1）2（n≥2），
两式相减得，an＝2n﹣1（n≥2），
在Sn＝n2中，令n＝1，则a1＝1，满足上式，
∴数列{an}的通项公式为an＝2n﹣1（n∈N*），
该式子符合等差数列通项公式的特点，但不符合等比数列通项公式的特点．
故选：B．
6．（5分）已知圆C：x2+y2﹣6x＝0与直线l：2x+y＝1，则圆C上到直线l的距离为1的点的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：圆的标准方程为（x﹣3）2+y2＝9，
则圆心坐标为C（3，0），半径R＝3，
所以圆心到直线的距离d3，
所以直线和圆相交，则R﹣d＝31，
所以圆C上到直线l的距离等于1的点的个数为2个．
故选：B．
7．（5分）在棱长为1的正四面体ABCD中，点M满足（x，y∈R），点N满足（1﹣λ）（λ∈R），当AM和DN的长度都为最短时，的值是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由点M满足（x，y∈R），
因为x+y+（1﹣x﹣y）＝1，
所以点M在面BCD上，
点N满足（1﹣λ）（λ∈R），
因为λ+（1﹣λ）＝1，
所以点A，C，N三点共线，
当AM和DN的长度都为最短时，
则点M为△BCD的中心，点N为AC的中点，
又四面体ABCD为棱长为1的正四面体，
则AM，AN，
又，
所以，
故选：A．
8．（5分）已知双曲线，过其右焦点F作渐近线的垂线，垂足为B，延长FB交另一条渐近线于点A．已知O为原点，且，则|AF|＝（ ）
A．4a B． C． D．3a
【解答】解：双曲线，的右焦点F（c，0），
渐近线OB的方程为yx，渐近线OA的方程为yx，
可得|BF|b，|OB|a，
|AB|，
可得tan∠AOB，
解得b＝2a或ba（舍去），
可得|AF|2a．
故选：C．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）已知直线l：x﹣（a2﹣a+1）y﹣1＝0，其中a∈R，下列说法正确的是（ ）
A．若直线l与直线x﹣y＝0平行，则a＝0
B．当a＝1时，直线l与直线x+y＝0垂直
C．直线l过定点（1，0）
D．当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距相等
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，直线l：x﹣（a2﹣a+1）y﹣1＝0，若直线l与直线x﹣y＝0平行，必有a2﹣a+1＝1，解可得a＝0或1，A错误；
对于B，当a＝1时，直线l：x﹣y﹣1＝0，直线l与直线x+y＝0垂直，B正确；
对于C，直线l：x﹣（a2﹣a+1）y﹣1＝0，当y＝0时，x＝1，即直线l过定点（1，0），C正确；
对于D，当a＝0时，直线l：x﹣y﹣1＝0，即y＝x﹣1，直线l在两x、y轴上的截距分别为1和﹣1，D错误；
故选：BC．
（多选）10．（5分）已知圆O的半径为定长r，A是圆O所在平面内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q．当点P在圆上运动时，下列判断正确的是（ ）
A．点Q的轨迹可能是椭圆
B．点Q的轨迹可能是双曲线的一支
C．点Q的轨迹可能是抛物线
D．点Q的轨迹可能是一个定点
【解答】解：①当点A在圆内时，且不为圆心，
连接QA，由已知得|QA|＝|QP|，∴|QO|+|QA|＝|QO|+|QP|＝|OP|＝r．
又∵点A在圆内，∴|OA|＜|OP|
根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆，故A正确；
②当点A在圆上时，
点Q与圆心重合，轨迹为定点，故D正确；
③点A在圆外时，
连接QA，由已知得|QA|＝|QP|．∴|QA|﹣|QO|＝|QP|﹣|QO|＝|OP|＝r，
又∵A在圆外，∴|OA|＞|OP|，
根据双曲线的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，
r为实轴长的双曲线的一支（靠近O），故B正确；
④当点A与圆心O重合时，点Q的轨迹为圆；
故选：ABD．
（多选）11．（5分）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱彼此的夹角都是60°，且棱长均为1，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．AC1⊥BD
C．直线BD1与直线AC所成角的正弦值是
D．直线AB与平面A1ACC1所成角的正弦值是
【解答】解：记，，，则，
∵，
∴AC1＝||，故A正确；
∵（）•（）0，∴AC1⊥BD，故B正确；
∵||，
||，
（）•（）1，
∴cos，
∴sin，故C错误；
对于D，由题意AC⊥BD，又（）•0，∴是平面A1ACC1的法向量，
记直线AB与平面A1ACC1所成角为θ，
则直线AB与平面A1ACC1所成角的正弦值是：
sinθ，故D错误．
故选：AB．
（多选）12．（5分）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S7＝S13，且（n+1）Sn＞nSn+1（n∈N*），则下列选项中正确的是（ ）
A．an＞an+1
B．S10和S11均为Sn的最大值
C．存在正整数k，使得Sk＝0
D．存在正整数m，使得Sm＝S3m
【解答】解：设公差为d，
∵S7＝S13，
∴7a1d＝13a1d，
整理可得a1d，
对于（n+1）Sn＞nSn+1（n∈N*），
当n＝1时，2a1＞a1+a2，即a1＞a2，
∴d＝a2﹣a1＜0，
∴a1＞0，
∴an＞an+1，故A错误；
∴Sn＝na1ddnd（n2﹣20n）[（n﹣10）2﹣100]，
当n＝10时，Sn取得的最大值，故B错误；
当n＝20时，S20＝0，存在正整数k，使得Sk＝0，故C正确；
∵Sm（m2﹣20m），S3m（9m2﹣60m），
∴（m2﹣20m）（9m2﹣60m），
解得m＝5，
故存在正整数m，使得Sm＝S3m，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）在空间直角坐标系中，已知A（﹣1，1，2），B（﹣3，0，4），，，则 （﹣2，﹣1，2）或（2，1，﹣2） ．
【解答】解：由题知（﹣2，﹣1，2），且||＝3，又，，所以（﹣2，﹣1，2），或（2，1，﹣2）．
故答案为：（﹣2，﹣1，2）或（2，1，﹣2）．
14．（5分）设抛物线y2＝4x上的一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离为 5 ．
【解答】解：由于抛物线y2＝4x上一点P到y轴的距离是4，故点P的横坐标为4．
再由抛物线y2＝4x的准线为x＝﹣1，
以及抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线的距离，
故点P到该抛物线焦点的距离是4﹣（﹣1）＝5，
故答案为：5．
15．（5分）已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1，且数列{}为等差数列，则a5＝ ．
【解答】解：若数列{}为等差数列，设bn，
则b3，b7，则b5，
则2b5＝b3+b7，
即b5，
解得a5，
故答案为：
16．（5分）已知单位空间向量，，满足，．若空间向量满足，且对于任意实数x，y，的最小值是2，则的最小值是 ．
【解答】解：以向量，方向为x，y轴，垂直于向量，的方向为z轴建立空间直角坐标系，
则（1，0，0），（0，1，0），．
可设（，，z1），由是单位空间向量可得（，，），
由，可设（，，z2），
，当且仅当x＝y，的最小值是2，
∴z2＝±2，取（，，2），
∴λ（，，2λ），
∴|λ|，
当λ时，|λ|（λ∈R）最小值为．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是各项均为正数的等比数列，且a1＝b1＝3，a2+b2＝14，a3+a4+a5＝b3．
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设cn＝an+bn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和．
【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，且q＞0．
依题意有，
由a1＝b1＝3，又q＞0，
解得
∴an＝a1+（n﹣1）d＝3+2（n﹣1）＝2n+1，即an＝2n+1，n∈N*．
，n∈N*．
（Ⅱ）∵，
∴前n项和Sn＝（a1+a2+…+an）+（b1+b2+…+bn）
＝（3+5+…+2n+1）+（31+32+…+3n）
．
∴前n项和．
18．（12分）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PBQA上所有点到点O的距均不小于圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD（C，D为垂足），测得AB＝10，AC＝6，BD＝12（单位：百米）．
（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；
（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由．
【解答】解：设BD与圆O交于M，连接AM，
AB为圆O的直径，可得AM⊥BM，
即有DM＝AC＝6，BM＝6，AM＝8，
以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则A（0，﹣6），B（﹣8，﹣12），D（﹣8，0）
（1）设点P（x1，0），PB⊥AB，
则kBP•kAB＝﹣1，
即•1，
解得x1＝﹣17，所以P（﹣17，0），PB15．
（2）当QA⊥AB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时Q（x2，0），
则kQA•kAB＝﹣1，即•1，解得x2，Q（，0），
由﹣17＜﹣8，在此范围内，不能满足PB，QA上所有点到O的距离不小于圆的半径，
所以P，Q中不能有点选在D点．
19．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线与x轴的交点为（﹣1，0）．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）若过点P（2，0）的直线l与抛物线C交于A，B两点．请判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，可得，即p＝2，…………（2分）
故抛物线C的方程为y2＝4x． …………（4分）
（Ⅱ）为定值，且定值是．下面给出证明．
证明：设直线l的方程为x＝my+2，A（x1，y1），B（x2，y2），…………（6分）
联立抛物线有，消去x得y2﹣4my﹣8＝0，
则，…………（8分）
又，． …………（10分）
得，
因此为定值，且定值是． …………（12分）
20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点B1在底面ABC内的射影恰好是点C，D是AC的中点，且满足DA＝DB．
（1）求证：AB⊥平面BCC1B1；
（2）已知AC＝2BC＝2，直线BB1与底面ABC所成角的大小为，求二面角C﹣BD﹣C1的大小．
【解答】（1）证明：D是AC的中点，DA＝DB，所以AB⊥BC，
因为B1在底面ABC内的射影恰好是点C，所以B1C⊥平面ABC，
因为AB⊂平面ABC，
所以AB⊥B1C，
因为BC∩BC＝C，BC⊂平面BCC1B1，B1C⊂平面BCC1B1，
所以AB⊥平面BCC1B1．
（2）解：设BC1∩B1C＝F，取BD中点E，连接EF、EC，
困为AC＝2BC＝2，所以BC＝BD＝CD＝1，
所以CE⊥BD，
由（1）知FC⊥平面ABC，所以CE是EF在平面ABC内投影，
所以BD⊥EF，
所以∠FEC是二面角C﹣BD﹣C1的平面角，
由（1）知B1C⊥平面ABC，所以BC是BB1在平面ABC内投影，
所以∠B1BC是直线BB1与底面ABC所成角，∠B1BC，
所以B1C＝BC•tan，
因为四边形BB1C1C是平行四边形，所以FC•B1C，
又因为CE＝BC•sin60°，
所以FC＝CE，因为FC⊥CE，所以∠FEC＝45°．
故二面角C﹣BD﹣C1的大小45°．
21．（12分）某企业为响应“安全生产”号召，将全部生产设备按设备安全系数分为A，B两个等级，其中B等设备安全系数低于A等设备．企业定时对生产设备进行检修，并将部分B等设备更新成A等设备．据统计，2020年底该企业A等设备量已占全体设备总量的30%．从2021年开始，企业决定加大更新力度，预计今后每年将16%的B等设备更新成A等设备，与此同时，4%的A等设备由于设备老化将降级成B等设备．
（Ⅰ）在这种更新制度下，在将来的某一年该企业的A等设备占全体设备的比例能否超过80%？请说明理由；
（Ⅱ）至少在哪一年底，该企业的A等设备占全体设备的比例超过60%．
（参考数据：，，）
【解答】解：（Ⅰ）记该企业全部生产设备总量为“1”，
2020年开始，经过n年后A等设备量占总设备量的百分比为an，
则经过1年即2021年底该企业A等设备量，…………（1分）
，…………（3分）
可得，又
所以数列是以为首项，公比为的等比数列，
可得，所以，…………（5分）
显然有，所以A等设备量不可能超过生产设备总量的80%． …………（7分）
（Ⅱ）由，得． …………（8分）
因为单调递减，又，，…………（10分）
所以在2025年底实现A等设备量超过生产设备总量的60%． …………（12分）
22．（12分）已知椭圆的离心率是，且过点P（2，1）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于A、B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点，且，求△AOB面积的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）由题知，…………（2分）
解得，因此，椭圆C的标准方程为． …………（4分）
（Ⅱ）当AB⊥x轴时，M位于x轴上，且OM⊥AB，…………（5分）
由可得，此时；
当AB不垂直x轴时，设直线AB的方程为y＝kx+t，与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），
由，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣8＝0．
得，，…………（6分）
从而，
已知，可得． …………（7分）
∵． …………（8分）
设O到直线AB的距离为d，则，
结合，
化简得（9分）
，
此时△AOB的面积最大，最大值为2． …………（11分）
当且仅当12k2＝4k2+1即时取等号，
综上，△AOB的面积的最大值为2． …………（12分）
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2021-2022学年浙江省湖州市高二（上）期末数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）在空间直角坐标系中，点P（1，2，3）关于坐标平面xOy对称点P的坐标为（ ）
A．（﹣1，2，3） B．（1，﹣2，3） C．（1，2，﹣3） D．（﹣1，2，﹣3）
2．（5分）已知等比数列{an}的公比为正数，且a3•a9＝4a52，a2＝1，则a1＝（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
3．（5分）已知椭圆的右焦点为F1（4，0），则正数m的值是（ ）
A．3 B．4 C．9 D．21
4．（5分）已知向量（1，1，0），（﹣1，0，2），且k与2互相垂直，则k的值是（ ）
A．1 B． C． D．
5．（5分）设Sn是数列{an}的前n项和，已知Sn＝n2（n∈N*），则数列{an}（ ）
A．是等比数列，但不是等差数列
B．是等差数列，但不是等比数列
C．是等比数列，也是等差数列
D．既不是等差数列，也不是等比数列
6．（5分）已知圆C：x2+y2﹣6x＝0与直线l：2x+y＝1，则圆C上到直线l的距离为1的点的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（5分）在棱长为1的正四面体ABCD中，点M满足（x，y∈R），点N满足（1﹣λ）（λ∈R），当AM和DN的长度都为最短时，的值是（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）已知双曲线，过其右焦点F作渐近线的垂线，垂足为B，延长FB交另一条渐近线于点A．已知O为原点，且，则|AF|＝（ ）
A．4a B． C． D．3a
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）已知直线l：x﹣（a2﹣a+1）y﹣1＝0，其中a∈R，下列说法正确的是（ ）
A．若直线l与直线x﹣y＝0平行，则a＝0
B．当a＝1时，直线l与直线x+y＝0垂直
C．直线l过定点（1，0）
D．当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距相等
（多选）10．（5分）已知圆O的半径为定长r，A是圆O所在平面内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q．当点P在圆上运动时，下列判断正确的是（ ）
A．点Q的轨迹可能是椭圆
B．点Q的轨迹可能是双曲线的一支
C．点Q的轨迹可能是抛物线
D．点Q的轨迹可能是一个定点
（多选）11．（5分）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱彼此的夹角都是60°，且棱长均为1，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．AC1⊥BD
C．直线BD1与直线AC所成角的正弦值是
D．直线AB与平面A1ACC1所成角的正弦值是
（多选）12．（5分）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S7＝S13，且（n+1）Sn＞nSn+1（n∈N*），则下列选项中正确的是（ ）
A．an＞an+1
B．S10和S11均为Sn的最大值
C．存在正整数k，使得Sk＝0
D．存在正整数m，使得Sm＝S3m
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）在空间直角坐标系中，已知A（﹣1，1，2），B（﹣3，0，4），，，则 ．
14．（5分）设抛物线y2＝4x上的一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离为 ．
15．（5分）已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1，且数列{}为等差数列，则a5＝ ．
16．（5分）已知单位空间向量，，满足，．若空间向量满足，且对于任意实数x，y，的最小值是2，则的最小值是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是各项均为正数的等比数列，且a1＝b1＝3，a2+b2＝14，a3+a4+a5＝b3．
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设cn＝an+bn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和．
18．（12分）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PBQA上所有点到点O的距均不小于圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD（C，D为垂足），测得AB＝10，AC＝6，BD＝12（单位：百米）．
（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；
（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由．
19．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线与x轴的交点为（﹣1，0）．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）若过点P（2，0）的直线l与抛物线C交于A，B两点．请判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点B1在底面ABC内的射影恰好是点C，D是AC的中点，且满足DA＝DB．
（1）求证：AB⊥平面BCC1B1；
（2）已知AC＝2BC＝2，直线BB1与底面ABC所成角的大小为，求二面角C﹣BD﹣C1的大小．
21．（12分）某企业为响应“安全生产”号召，将全部生产设备按设备安全系数分为A，B两个等级，其中B等设备安全系数低于A等设备．企业定时对生产设备进行检修，并将部分B等设备更新成A等设备．据统计，2020年底该企业A等设备量已占全体设备总量的30%．从2021年开始，企业决定加大更新力度，预计今后每年将16%的B等设备更新成A等设备，与此同时，4%的A等设备由于设备老化将降级成B等设备．
（Ⅰ）在这种更新制度下，在将来的某一年该企业的A等设备占全体设备的比例能否超过80%？请说明理由；
（Ⅱ）至少在哪一年底，该企业的A等设备占全体设备的比例超过60%．
（参考数据：，，）
22．（12分）已知椭圆的离心率是，且过点P（2，1）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于A、B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点，且，求△AOB面积的最大值．
2021-2022学年浙江省湖州市高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）在空间直角坐标系中，点P（1，2，3）关于坐标平面xOy对称点P的坐标为（ ）
A．（﹣1，2，3） B．（1，﹣2，3） C．（1，2，﹣3） D．（﹣1，2，﹣3）
【解答】解：由题意可得：点P（1，2，3）关于xoy平面的对称点的坐标是（1，2，﹣3）．
故选：C．
2．（5分）已知等比数列{an}的公比为正数，且a3•a9＝4a52，a2＝1，则a1＝（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q（q＞0），
由a3•a9＝4a，得a1q2•a1q8＝4（a1q4）2，则q2＝4，解得q＝2，
又a2＝1，所以a1．
故选：D．
3．（5分）已知椭圆的右焦点为F1（4，0），则正数m的值是（ ）
A．3 B．4 C．9 D．21
【解答】解：椭圆的右焦点为F1（4，0），
25﹣m2＝16，
解得m＝3．
故选：A．
4．（5分）已知向量（1，1，0），（﹣1，0，2），且k与2互相垂直，则k的值是（ ）
A．1 B． C． D．
【解答】解：∵（1，1，0），（﹣1，0，2），
∴kk（1，1，0）+（﹣1，0，2）＝（k﹣1，k，2），
22（1，1，0）﹣（﹣1，0，2）＝（3，2，﹣2），
又k与2互相垂直，
∴3（k﹣1）+2k﹣4＝0，解得：k．
故选：D．
5．（5分）设Sn是数列{an}的前n项和，已知Sn＝n2（n∈N*），则数列{an}（ ）
A．是等比数列，但不是等差数列
B．是等差数列，但不是等比数列
C．是等比数列，也是等差数列
D．既不是等差数列，也不是等比数列
【解答】解：∵Sn＝n2，∴Sn﹣1＝（n﹣1）2（n≥2），
两式相减得，an＝2n﹣1（n≥2），
在Sn＝n2中，令n＝1，则a1＝1，满足上式，
∴数列{an}的通项公式为an＝2n﹣1（n∈N*），
该式子符合等差数列通项公式的特点，但不符合等比数列通项公式的特点．
故选：B．
6．（5分）已知圆C：x2+y2﹣6x＝0与直线l：2x+y＝1，则圆C上到直线l的距离为1的点的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：圆的标准方程为（x﹣3）2+y2＝9，
则圆心坐标为C（3，0），半径R＝3，
所以圆心到直线的距离d3，
所以直线和圆相交，则R﹣d＝31，
所以圆C上到直线l的距离等于1的点的个数为2个．
故选：B．
7．（5分）在棱长为1的正四面体ABCD中，点M满足（x，y∈R），点N满足（1﹣λ）（λ∈R），当AM和DN的长度都为最短时，的值是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由点M满足（x，y∈R），
因为x+y+（1﹣x﹣y）＝1，
所以点M在面BCD上，
点N满足（1﹣λ）（λ∈R），
因为λ+（1﹣λ）＝1，
所以点A，C，N三点共线，
当AM和DN的长度都为最短时，
则点M为△BCD的中心，点N为AC的中点，
又四面体ABCD为棱长为1的正四面体，
则AM，AN，
又，
所以，
故选：A．
8．（5分）已知双曲线，过其右焦点F作渐近线的垂线，垂足为B，延长FB交另一条渐近线于点A．已知O为原点，且，则|AF|＝（ ）
A．4a B． C． D．3a
【解答】解：双曲线，的右焦点F（c，0），
渐近线OB的方程为yx，渐近线OA的方程为yx，
可得|BF|b，|OB|a，
|AB|，
可得tan∠AOB，
解得b＝2a或ba（舍去），
可得|AF|2a．
故选：C．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）已知直线l：x﹣（a2﹣a+1）y﹣1＝0，其中a∈R，下列说法正确的是（ ）
A．若直线l与直线x﹣y＝0平行，则a＝0
B．当a＝1时，直线l与直线x+y＝0垂直
C．直线l过定点（1，0）
D．当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距相等
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，直线l：x﹣（a2﹣a+1）y﹣1＝0，若直线l与直线x﹣y＝0平行，必有a2﹣a+1＝1，解可得a＝0或1，A错误；
对于B，当a＝1时，直线l：x﹣y﹣1＝0，直线l与直线x+y＝0垂直，B正确；
对于C，直线l：x﹣（a2﹣a+1）y﹣1＝0，当y＝0时，x＝1，即直线l过定点（1，0），C正确；
对于D，当a＝0时，直线l：x﹣y﹣1＝0，即y＝x﹣1，直线l在两x、y轴上的截距分别为1和﹣1，D错误；
故选：BC．
（多选）10．（5分）已知圆O的半径为定长r，A是圆O所在平面内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q．当点P在圆上运动时，下列判断正确的是（ ）
A．点Q的轨迹可能是椭圆
B．点Q的轨迹可能是双曲线的一支
C．点Q的轨迹可能是抛物线
D．点Q的轨迹可能是一个定点
【解答】解：①当点A在圆内时，且不为圆心，
连接QA，由已知得|QA|＝|QP|，∴|QO|+|QA|＝|QO|+|QP|＝|OP|＝r．
又∵点A在圆内，∴|OA|＜|OP|
根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆，故A正确；
②当点A在圆上时，
点Q与圆心重合，轨迹为定点，故D正确；
③点A在圆外时，
连接QA，由已知得|QA|＝|QP|．∴|QA|﹣|QO|＝|QP|﹣|QO|＝|OP|＝r，
又∵A在圆外，∴|OA|＞|OP|，
根据双曲线的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，
r为实轴长的双曲线的一支（靠近O），故B正确；
④当点A与圆心O重合时，点Q的轨迹为圆；
故选：ABD．
（多选）11．（5分）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱彼此的夹角都是60°，且棱长均为1，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．AC1⊥BD
C．直线BD1与直线AC所成角的正弦值是
D．直线AB与平面A1ACC1所成角的正弦值是
【解答】解：记，，，则，
∵，
∴AC1＝||，故A正确；
∵（）•（）0，∴AC1⊥BD，故B正确；
∵||，
||，
（）•（）1，
∴cos，
∴sin，故C错误；
对于D，由题意AC⊥BD，又（）•0，∴是平面A1ACC1的法向量，
记直线AB与平面A1ACC1所成角为θ，
则直线AB与平面A1ACC1所成角的正弦值是：
sinθ，故D错误．
故选：AB．
（多选）12．（5分）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S7＝S13，且（n+1）Sn＞nSn+1（n∈N*），则下列选项中正确的是（ ）
A．an＞an+1
B．S10和S11均为Sn的最大值
C．存在正整数k，使得Sk＝0
D．存在正整数m，使得Sm＝S3m
【解答】解：设公差为d，
∵S7＝S13，
∴7a1d＝13a1d，
整理可得a1d，
对于（n+1）Sn＞nSn+1（n∈N*），
当n＝1时，2a1＞a1+a2，即a1＞a2，
∴d＝a2﹣a1＜0，
∴a1＞0，
∴an＞an+1，故A错误；
∴Sn＝na1ddnd（n2﹣20n）[（n﹣10）2﹣100]，
当n＝10时，Sn取得的最大值，故B错误；
当n＝20时，S20＝0，存在正整数k，使得Sk＝0，故C正确；
∵Sm（m2﹣20m），S3m（9m2﹣60m），
∴（m2﹣20m）（9m2﹣60m），
解得m＝5，
故存在正整数m，使得Sm＝S3m，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）在空间直角坐标系中，已知A（﹣1，1，2），B（﹣3，0，4），，，则 （﹣2，﹣1，2）或（2，1，﹣2） ．
【解答】解：由题知（﹣2，﹣1，2），且||＝3，又，，所以（﹣2，﹣1，2），或（2，1，﹣2）．
故答案为：（﹣2，﹣1，2）或（2，1，﹣2）．
14．（5分）设抛物线y2＝4x上的一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离为 5 ．
【解答】解：由于抛物线y2＝4x上一点P到y轴的距离是4，故点P的横坐标为4．
再由抛物线y2＝4x的准线为x＝﹣1，
以及抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线的距离，
故点P到该抛物线焦点的距离是4﹣（﹣1）＝5，
故答案为：5．
15．（5分）已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1，且数列{}为等差数列，则a5＝ ．
【解答】解：若数列{}为等差数列，设bn，
则b3，b7，则b5，
则2b5＝b3+b7，
即b5，
解得a5，
故答案为：
16．（5分）已知单位空间向量，，满足，．若空间向量满足，且对于任意实数x，y，的最小值是2，则的最小值是 ．
【解答】解：以向量，方向为x，y轴，垂直于向量，的方向为z轴建立空间直角坐标系，
则（1，0，0），（0，1，0），．
可设（，，z1），由是单位空间向量可得（，，），
由，可设（，，z2），
，当且仅当x＝y，的最小值是2，
∴z2＝±2，取（，，2），
∴λ（，，2λ），
∴|λ|，
当λ时，|λ|（λ∈R）最小值为．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是各项均为正数的等比数列，且a1＝b1＝3，a2+b2＝14，a3+a4+a5＝b3．
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设cn＝an+bn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和．
【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，且q＞0．
依题意有，
由a1＝b1＝3，又q＞0，
解得
∴an＝a1+（n﹣1）d＝3+2（n﹣1）＝2n+1，即an＝2n+1，n∈N*．
，n∈N*．
（Ⅱ）∵，
∴前n项和Sn＝（a1+a2+…+an）+（b1+b2+…+bn）
＝（3+5+…+2n+1）+（31+32+…+3n）
．
∴前n项和．
18．（12分）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PBQA上所有点到点O的距均不小于圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD（C，D为垂足），测得AB＝10，AC＝6，BD＝12（单位：百米）．
（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；
（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由．
【解答】解：设BD与圆O交于M，连接AM，
AB为圆O的直径，可得AM⊥BM，
即有DM＝AC＝6，BM＝6，AM＝8，
以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则A（0，﹣6），B（﹣8，﹣12），D（﹣8，0）
（1）设点P（x1，0），PB⊥AB，
则kBP•kAB＝﹣1，
即•1，
解得x1＝﹣17，所以P（﹣17，0），PB15．
（2）当QA⊥AB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时Q（x2，0），
则kQA•kAB＝﹣1，即•1，解得x2，Q（，0），
由﹣17＜﹣8，在此范围内，不能满足PB，QA上所有点到O的距离不小于圆的半径，
所以P，Q中不能有点选在D点．
19．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线与x轴的交点为（﹣1，0）．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）若过点P（2，0）的直线l与抛物线C交于A，B两点．请判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，可得，即p＝2，…………（2分）
故抛物线C的方程为y2＝4x． …………（4分）
（Ⅱ）为定值，且定值是．下面给出证明．
证明：设直线l的方程为x＝my+2，A（x1，y1），B（x2，y2），…………（6分）
联立抛物线有，消去x得y2﹣4my﹣8＝0，
则，…………（8分）
又，． …………（10分）
得，
因此为定值，且定值是． …………（12分）
20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点B1在底面ABC内的射影恰好是点C，D是AC的中点，且满足DA＝DB．
（1）求证：AB⊥平面BCC1B1；
（2）已知AC＝2BC＝2，直线BB1与底面ABC所成角的大小为，求二面角C﹣BD﹣C1的大小．
【解答】（1）证明：D是AC的中点，DA＝DB，所以AB⊥BC，
因为B1在底面ABC内的射影恰好是点C，所以B1C⊥平面ABC，
因为AB⊂平面ABC，
所以AB⊥B1C，
因为BC∩BC＝C，BC⊂平面BCC1B1，B1C⊂平面BCC1B1，
所以AB⊥平面BCC1B1．
（2）解：设BC1∩B1C＝F，取BD中点E，连接EF、EC，
困为AC＝2BC＝2，所以BC＝BD＝CD＝1，
所以CE⊥BD，
由（1）知FC⊥平面ABC，所以CE是EF在平面ABC内投影，
所以BD⊥EF，
所以∠FEC是二面角C﹣BD﹣C1的平面角，
由（1）知B1C⊥平面ABC，所以BC是BB1在平面ABC内投影，
所以∠B1BC是直线BB1与底面ABC所成角，∠B1BC，
所以B1C＝BC•tan，
因为四边形BB1C1C是平行四边形，所以FC•B1C，
又因为CE＝BC•sin60°，
所以FC＝CE，因为FC⊥CE，所以∠FEC＝45°．
故二面角C﹣BD﹣C1的大小45°．
21．（12分）某企业为响应“安全生产”号召，将全部生产设备按设备安全系数分为A，B两个等级，其中B等设备安全系数低于A等设备．企业定时对生产设备进行检修，并将部分B等设备更新成A等设备．据统计，2020年底该企业A等设备量已占全体设备总量的30%．从2021年开始，企业决定加大更新力度，预计今后每年将16%的B等设备更新成A等设备，与此同时，4%的A等设备由于设备老化将降级成B等设备．
（Ⅰ）在这种更新制度下，在将来的某一年该企业的A等设备占全体设备的比例能否超过80%？请说明理由；
（Ⅱ）至少在哪一年底，该企业的A等设备占全体设备的比例超过60%．
（参考数据：，，）
【解答】解：（Ⅰ）记该企业全部生产设备总量为“1”，
2020年开始，经过n年后A等设备量占总设备量的百分比为an，
则经过1年即2021年底该企业A等设备量，…………（1分）
，…………（3分）
可得，又
所以数列是以为首项，公比为的等比数列，
可得，所以，…………（5分）
显然有，所以A等设备量不可能超过生产设备总量的80%． …………（7分）
（Ⅱ）由，得． …………（8分）
因为单调递减，又，，…………（10分）
所以在2025年底实现A等设备量超过生产设备总量的60%． …………（12分）
22．（12分）已知椭圆的离心率是，且过点P（2，1）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于A、B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点，且，求△AOB面积的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）由题知，…………（2分）
解得，因此，椭圆C的标准方程为． …………（4分）
（Ⅱ）当AB⊥x轴时，M位于x轴上，且OM⊥AB，…………（5分）
由可得，此时；
当AB不垂直x轴时，设直线AB的方程为y＝kx+t，与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），
由，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣8＝0．
得，，…………（6分）
从而，
已知，可得． …………（7分）
∵． …………（8分）
设O到直线AB的距离为d，则，
结合，
化简得（9分）
，
此时△AOB的面积最大，最大值为2． …………（11分）
当且仅当12k2＝4k2+1即时取等号，
综上，△AOB的面积的最大值为2． …………（12分）
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