2021-2022学年浙江省宁波市镇海中学高二（上）期末数学试卷

这是一份2021-2022学年浙江省宁波市镇海中学高二（上）期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年浙江省宁波市镇海中学高二（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）用1，2，3，4这4个数字可写出（　　）个没有重复数字的三位数．
A．24 B．12 C．81 D．64
2．（5分）已知f（x）＝cosx+2x，则f′（x）＝（　　）
A．﹣sinx+x•2x﹣1 B．sinx+x•2x﹣1
C．﹣sinx+2xln2 D．sinx+2xln2
3．（5分）函数f（x）＝x2﹣cosx﹣xsinx+1的图象大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
4．（5分）（x﹣2y）8的展开式中x5y3的系数是（　　）
A．1792 B．﹣1792 C．448 D．﹣448
5．（5分）已知事件A，B相互独立，P（A）＝0.8，P（B）＝0.3，则P（A|B）＝（　　）
A．0.24 B．0.8 C．0.3 D．0.16
6．（5分）点A是曲线上任意一点，则点A到直线y＝2x﹣1的最小距离为（　　）
A． B． C． D．
7．（5分）考试停课复习期间，小王同学计划将一天中的7节课全部用来复习4门不同的考试科目，每门科目复习1或2节课，则不同的复习安排方法有（　　）种．
A．360 B．630 C．2520 D．15120
8．（5分）已知函数．若数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝f（an+1），a2＝a11，则a1的最大值为（　　）
A．9 B．12 C．20 D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）在（1+x）n（n∈N*）的展开式中，若第六项为二项式系数最大的项，则n的值可能为（　　）
A．11 B．10 C．9 D．8
（多选）10．（5分）若0＜x1＜x2＜1，则一定有（　　）
A．
B．
C．
D．x2lnx1＜x1lnx2
（多选）11．（5分）箱子中有6个大小、材质都相同的小球，其中4个红球，2个白球．每次从箱子中随机的摸出一个球，摸出的球不放回．设事件A表示“第1次摸球，摸到红球”，事件B表示“第2次摸球，摸到红球”则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
（多选）12．（5分）数列{an}满足2nan3+an＝2n，bn，数列{bn}的前n项和记为Sn，则下列说法正确的是（　　）
A．任意n∈N*，
B．任意n∈N*，an＜an+1
C．任意n∈N*，
D．任意n∈N*，Sn＜an
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）的展开式中所有项的系数和为 　 　．
14．（5分）函数在x＝1处的切线方程为 　 　．
15．（5分）已知某次数学期末试卷中有8道4选1的单选题，学生小王能完整做对其中5道题，在剩下的3道题中，有2道题有思路，还有1道完全没有思路，有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好从4个选项中随机选一个答案．小王从这8题中任选1题，则他做对的概率为 　 　．
16．（5分）已知不等式2x+1﹣aex≥0有且只有两个整数解，则实数a的范围为 　 　．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知的展开式中前三项的二项式系数之和为46．
（1）求n；
（2）求展开式中系数最大的项．
18．甲、乙等6个班级参加学校组织的广播操比赛，若采用抽签的方式随机确定各班级的出场顺序（序号为1，2，…，6），求：
（1）甲、乙两班级的出场序号中至少有一个为奇数的概率；
（2）甲、乙两班级之间的演出班级（不含甲乙）个数X的分布列与期望．
19．已知函数f（x）＝ex﹣a（x+1），a∈R．
（1）若f（x）在[0，1]上不单调，求a的范围；
（2）试讨论函数f（x）的零点个数．
20．已知函数f（x）＝lnx，a∈R．
（1）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当x≥1时，若关于x的不等式f（x）≤x﹣2a恒成立，试求a的取值范围．
21．已知数列{an}满足a1，an+1•an．
（1）求a2，a3，an；
（2）若bn，且数列{bn}的前n项和为Sn，求证：Sn．
22．设函数．
（1）求f（x）的最大值；
（2）求证：对于任意x∈（1，7），恒成立．（参考数值：e＝2.71828…）

2021-2022学年浙江省宁波市镇海中学高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）用1，2，3，4这4个数字可写出（　　）个没有重复数字的三位数．
A．24 B．12 C．81 D．64
【解答】解：由1，2，3，4可以组成没有重复数字的三位数共有C24种，
故选：A．
2．（5分）已知f（x）＝cosx+2x，则f′（x）＝（　　）
A．﹣sinx+x•2x﹣1 B．sinx+x•2x﹣1
C．﹣sinx+2xln2 D．sinx+2xln2
【解答】解：由f（x）＝cosx+2x，得f′（x）＝﹣sinx+2xln2．
故选：C．
3．（5分）函数f（x）＝x2﹣cosx﹣xsinx+1的图象大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：f（﹣x）＝x2﹣cosx﹣（﹣x）sin（﹣x）+1＝x2﹣cosx﹣xsinx+1＝f（x），则f（x）是偶函数，排除C，
f′（x）＝2x+sinx﹣（sinx+xcosx）＝2x﹣xcosx＝x（2﹣cosx），
当x＞0时，f′（x）＞0恒成立，即f（x）为增函数，排除A，D，
故选：B．
4．（5分）（x﹣2y）8的展开式中x5y3的系数是（　　）
A．1792 B．﹣1792 C．448 D．﹣448
【解答】解：（x﹣2y）8的展开式中含x5y3的项为CC448x5y3，
则x5y3的系数为﹣448，
故选：D．
5．（5分）已知事件A，B相互独立，P（A）＝0.8，P（B）＝0.3，则P（A|B）＝（　　）
A．0.24 B．0.8 C．0.3 D．0.16
【解答】解：∵事件A，B相互独立，P（A）＝0.8，
∴P（A|B）＝P（A）＝0.8．
故选：B．
6．（5分）点A是曲线上任意一点，则点A到直线y＝2x﹣1的最小距离为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：设与直线y＝2x﹣1平行的直线切曲线于点A（），
则，由，得x0＝1或．
∴A（1，），则点A到直线y＝2x﹣1的最小距离为d．
故选：A．
7．（5分）考试停课复习期间，小王同学计划将一天中的7节课全部用来复习4门不同的考试科目，每门科目复习1或2节课，则不同的复习安排方法有（　　）种．
A．360 B．630 C．2520 D．15120
【解答】解：由题意7门课分为1+2+2+2种，
分两步，第一步：4门科目选择1门，安排一节课，共有C种，
第二步：安排剩下的科目，每门科目2节课，共有种，
所以不同的复习方法共有28×90＝2520种，
故选：C．
8．（5分）已知函数．若数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝f（an+1），a2＝a11，则a1的最大值为（　　）
A．9 B．12 C．20 D．
【解答】解：①，
当n＝1时，，当n≥2时，②，
所以①﹣②得：
，
整理得：（an+1+an）（an+1﹣an﹣2）＝0，所以 an+1＝﹣an，或 an+1﹣an＝2，
当a2，⋯，a10 是公差为2的等差数列，且a11＝﹣a10时，a2最小，a1最大，此时a10＝a2+8×2＝﹣a11＝﹣a2，
所以（a2）min＝﹣8，此时a1＝20；
当a3＝﹣a2 且a3，⋯，a11是公差为2的等差数列时，a2最大，a1最大，此时a11＝a3+8×2＝﹣a2+16＝a2，所以（a2）max＝8，
此时 a1＝12，
综上：a1的最大值为20．
故选：C．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）在（1+x）n（n∈N*）的展开式中，若第六项为二项式系数最大的项，则n的值可能为（　　）
A．11 B．10 C．9 D．8
【解答】解：因为第六项为二项式系数最大的项，
则，解得9≤n≤11，
又n为正整数，所以n的值可能为9，10，11，
故选：ABC．
（多选）10．（5分）若0＜x1＜x2＜1，则一定有（　　）
A．
B．
C．
D．x2lnx1＜x1lnx2
【解答】解：令f（x）＝ex﹣lnx，则f′（x）＝ex，故f（x）＝ex﹣lnx在（0，1）上有一个极值点，即f（x）＝ex﹣lnx不是单调函数，
无法判断f（x1）与f（x2）的大小，故A错误；
构造函数g（x），则g′（x），故函数g（x）在（0，1）上单调递减，
故g（x1）＞g（x2），可得，故B正确，C错误；
构造函数h（x），h′（x），当0＜x＜e时，h′（x）＞0，故函数在（0，e）上单调递增，故，
∴x2lnx1＜x1lnx2，故D正确．
故选：BD．
（多选）11．（5分）箱子中有6个大小、材质都相同的小球，其中4个红球，2个白球．每次从箱子中随机的摸出一个球，摸出的球不放回．设事件A表示“第1次摸球，摸到红球”，事件B表示“第2次摸球，摸到红球”则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：P（A），故A正确，
P（B|A），故C错误，
，故D正确，
由全概率公式可得，P（B）＝P（AB），故B错误．
故选：AD．
（多选）12．（5分）数列{an}满足2nan3+an＝2n，bn，数列{bn}的前n项和记为Sn，则下列说法正确的是（　　）
A．任意n∈N*，
B．任意n∈N*，an＜an+1
C．任意n∈N*，
D．任意n∈N*，Sn＜an
【解答】解：由，且，又，故，
则，
当an+1＜an时，则，即an＞1，显然与矛盾；
当an+1＝an时，则，即an＝1，显然与矛盾；
所以an+1＞an＞0且an＜1，即{an}递增，B正确；
由，根据B结论知：随n的增大，无限趋近于0，则an无限接近于1，
又，
令f（x）＝2（x3﹣1）+x，x∈（0，1）且递增，
则，即，
综上，，A错误；
由，根据A的结论有，
又，可得，
所以，
即，
综上，，C正确；
由C结论知：，故，
所以Sn＜an成立，D正确．
故选：BCD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）的展开式中所有项的系数和为 　　．
【解答】解：令x＝1，则展开式中所有项的系数和为（1）6，
故答案为：．
14．（5分）函数在x＝1处的切线方程为 　x﹣2y﹣3＝0　．
【解答】解：由，得f′（x），
∴f′（1）＝1，
又f（1）＝﹣1，
∴函数在x＝1处的切线方程为y+1（x﹣1），
即x﹣2y﹣3＝0．
故答案为：x﹣2y﹣3＝0．
15．（5分）已知某次数学期末试卷中有8道4选1的单选题，学生小王能完整做对其中5道题，在剩下的3道题中，有2道题有思路，还有1道完全没有思路，有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好从4个选项中随机选一个答案．小王从这8题中任选1题，则他做对的概率为 　　．
【解答】解：设事件A为小王选到有思路的题，事件B为选到能完整做对的题，
则事件为小王选到没有思路的题，能完整做对
事件C为小王答对该题，
则P（A），P（），P（C|A），P（C|），
∴P（C）＝P（B）+P（A）P（B|A）+P（）P（B|），
故答案为：．
16．（5分）已知不等式2x+1﹣aex≥0有且只有两个整数解，则实数a的范围为 　（，1]　．
【解答】解：不等式2x+1﹣aex≥0变形为a，即函数g（x）在y＝a上方及线上存在两个整数点，
g′（x），故函数g（x）在（﹣∞，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，
且与相邻的整数点的函数值为：g（﹣1）＝﹣e，g（0）＝1，g（1），g（2），显然有g（﹣1）＜g（2）＜g（0）＜g（1），
要恰有两个整点，则为0，1，此时g（2）＜a＜g（0），

解得a≤1，如图：
故答案为：（，1]．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知的展开式中前三项的二项式系数之和为46．
（1）求n；
（2）求展开式中系数最大的项．
【解答】解：（1）由已知可得C1+n46，
解得n＝9；
（2）展开式的通项公式为TC，其中n＝9，
则项的系数为C，要求其最大值，只需满足，
即，
解得，因为r∈N，则r＝6，
所以系数的最大项为第七项，即T5376x．
18．甲、乙等6个班级参加学校组织的广播操比赛，若采用抽签的方式随机确定各班级的出场顺序（序号为1，2，…，6），求：
（1）甲、乙两班级的出场序号中至少有一个为奇数的概率；
（2）甲、乙两班级之间的演出班级（不含甲乙）个数X的分布列与期望．
【解答】解：（1）由题意可得，甲，乙两班级的出场序号中均为偶数的概率为，
故甲，乙两班级的出场序号中至少有一个为奇数的概率为．
（2）由题意可得，X所有可能取值为0，1，2，3，4，
故P（X＝0），P（X＝1），P（X＝2），
P（X＝3），P（X＝4），
故X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P





故E（X）．
19．已知函数f（x）＝ex﹣a（x+1），a∈R．
（1）若f（x）在[0，1]上不单调，求a的范围；
（2）试讨论函数f（x）的零点个数．
【解答】解：（1）∵f（x）在[0，1]不单调，故函数f（x）在[0，1]存在极值，
∴f′（x）＝0在[0，1]存在零点，且在零点左右两侧f′（x）异号，
f′（x）＝ex﹣a，
即：ex﹣a＝0在[0，1]存在解，
且在零点左右两侧f′（x）异号，
ex﹣a＝0可看成y＝a与h（x）＝ex在[0，1]的交点，
当x∈[0，1]，h（x）∈[1，e]，
又∵a＝1和a＝e时，函数f（x）在[0，1]单调，
故不可取端点值，
由此可得：1＜a＜e；
（2）当a＝0时，f（x）＝ex，明显无零点，
当a≠0时，f（x）＝0等价于，
故可看成与的交点个数，
，
令g′（x）＞0，解得：x＜0，
故g（x）在（﹣∞，0）递增，（0，+∞）递减，
g（0）＝1，
当x→﹣∞时，g（x）→﹣∞，
当x→+∞时，g（x）→0，
可得：当时，g（x）仅有一个零点，
当时，a无解，
当时，g（x）有两个零点，
当时，g（x）仅有一个零点，
当时，g（x）无零点，
综上所述：当0≤a＜1时，f（x）的零点个数为0个，
当a＜0或者a＝1时，f（x）的零点个数为1个，
当a＞1时，f（x）的零点个数为2个．
20．已知函数f（x）＝lnx，a∈R．
（1）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当x≥1时，若关于x的不等式f（x）≤x﹣2a恒成立，试求a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝lnx，x∈（0，+∞），
f′（x），
f′（x）＜0，解得x∈（0，1）；f′（x）＞0，解得x∈（1，+∞）．
可得函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
（2）当x≥1时，关于x的不等式f（x）≤x﹣2a恒成立⇔a，
令g（x），x∈（1，+∞）．
g′（x），
令h（x）＝2x2﹣lnx﹣1，h′（x）＝4x，
可得函数h（x）在x时取得极小值，即最小值，
h（x）min＝h（）＝ln20，
∴h（x）＞0，
∴g′（x）＞0，
∴函数g（（x）在x∈（1，+∞）上单调递增，g（1）．
∴a．
∴a的取值范围是（﹣∞，]．
21．已知数列{an}满足a1，an+1•an．
（1）求a2，a3，an；
（2）若bn，且数列{bn}的前n项和为Sn，求证：Sn．
【解答】解：（1）令n＝1，则a2•a1，所以a2，
令n＝2，则a3•a2，所以a3，
令n＝3，则a4•a3，所以a4，
猜想an，
下面用数学归纳法证明：
当n＝1，2，3时，结论成立，
假设当n＝k时结论成立，即，
由，
，
所以当n＝k+1时，有，结论成立，
所以当n∈N* 时，．
（2）证明：由（1）得，且为单调递增数列，
所以
，
所以
．
22．设函数．
（1）求f（x）的最大值；
（2）求证：对于任意x∈（1，7），恒成立．（参考数值：e＝2.71828…）
【解答】解：（1）∵函数，∴，
当x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（﹣∞，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，
∴f（x）max＝f（1）．
（2）证明：∵1，∴当5≤x＜4时，﹣1，即，
∵y在[5，7）为减函数，
∴在[5，7）上有，
∴∀x∈[5，7），总有，
要证明∀x∈（1，7），恒成立，
即证明∀x∈（1，5），e1﹣x恒成立，
即证明∀x∈（1，5），恒成立，
由（1）可得，∀x∈（1，5），有xe﹣x＜e﹣1，即xe1﹣x＜1，
故即证∀x∈（1，5），1恒成立，
设t，即证∀t∈（1，），1+t恒成立，
即证∀t∈（1，），t4+t3﹣12t2+5t+5≤0恒成立，
即证∀t∈（1，），（t﹣1）（t3+2t2﹣10t﹣5）≤0恒成立，
即证∀t∈（1，），t3+2t2﹣10t﹣5≤0恒成立，
设g（t），则g′（t）＝3t2+4t﹣10，
∵g′（t）在（1，）为增函数，，
∴∃，使得g（t0）＝0，且1＜t＜t0时，g′（t）＜0，时，g′（t）＞0，
∴g（t）在（1，t0）为减函数，在（）为增函数，
∴∀t∈（1，），总有g（t）＜{g（1），g（5）}＝max{﹣12，5﹣5}＜0，
∴∀t∈（1，），1恒成立，
∴对于任意x∈（1，7），恒成立．
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