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【解析版】松原市扶余县2022学年八年级上期中数学试卷
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这是一份【解析版】松原市扶余县2022学年八年级上期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022学年吉林省松原市扶余县八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题2分，共12分）
1．下列交通标志是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．在△ABC中，若∠B=∠C=2∠A，则∠A的度数为（ ）
A． 72° B． 45° C． 36° D． 30°
3．下列命题中：（1）形状相同的两个三角形是全等形；（2）在两个全等三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有（ ）
A． 3个 B． 2个 C． 1个 D． 0个
4．如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（ ）
A． BD=DC，AB=AC B． ∠ADB=∠ADC，BD=DC
C． ∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D． ∠B=∠C，BD=DC
5．如图，DE⊥AC，垂足为E，CE=AE．若AB=12cm，BC=10cm，则△BCD的周长是（ ）
A． 22cm B． 16cm C． 23cm D． 25cm
6．若等腰三角形的两边长分别是3和6，则这个三角形的周长是（ ）
A． 12 B． 15 C． 12或15 D． 9
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．若点P（m，m﹣1）在x轴上，则点P关于x轴对称的点为 ．
8．一个多边形的每一个外角都等于36°，则该多边形的内角和等于 度．
9．如图，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M、N．PM=PN，若∠BOC=30°，则∠AOB= ．
10．如图：在△ABC和△FED中，AD=FC，AB=FE，当添加条件 时，就可得到△ABC≌△FED．（只需填写一个即可）
11．从长为3cm，5cm，7cm，10cm的四根木棒中选出三根组成三角形，共有 种选法．
12．若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为40°，该三角形的一个底角是 ．
13．如图，△ABC为等边三角形，AD为BC边上的高，E为AC边上的一点，且AE=AD，则∠EDC= ．
14．已知等边△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点Bˊ处，DBˊ，EBˊ分别交边AC于点F，G，若∠ADF=80°，则∠EGC的度数为 ．
三、解答题（每小题4分，共20分）
15．如图，两个四边形关于直线l对称，∠C=90°，试写出a，b的长度，并求出∠G的度数．
16．已知：如图，AD、BC相交于点O，AB=CD，AD=CB．
求证：∠A=∠C．
17．将16个相同的小正方形拼成正方形网格，并将其中的两个小正方形涂成黑色，请你用两种不同的方法分别在图甲、图乙中再将两个空白的小正方形涂黑，使它成为轴对称图形．
18．如图，在平面直角坐标系中，A（1，2），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．
（2）写出A1，B1，C1的坐标（直接写出答案），
A1 ；B1 ；C1 ．
（3）△A1B1C1的面积为 ．
19．在△ABC中，∠BAC=50°，∠B=45°，AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADB的度数．
四、解答题（每小题5分，共28分）
20．如图，△ABC和△DAE中，∠BAC=∠DAE，AB=AE，AC=AD，连接BD，CE，求证：△ABD≌△AEC．
21．如图△ADF和△BCE中，∠A=∠B，点D、E、F、C在同﹣直线上，有如下三个关系式：①AD=BC；②DE=CF；③BE∥AF．
（1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出所有你认为正确的命题．（用序号写出命题书写形式，如：如果①、②，那么③）
（2）选择（1）中你写出的一个命题，说明它正确的理由．
22．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D．
（1）求证：△ADC≌△CEB．
（2）AD=5cm，DE=3cm，求BE的长度．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．已知：△ABC中，∠B、∠C的角平分线相交于点D，过D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F． 求证：BE+CF=EF．
24．如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG．试猜想线段AD与AG的数量及位置关系，并证明你的猜想．
六、解答题（每小题7分，共20分）
25．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC，
（1）请找出图②中的全等三角形，并给予说明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；
（2）试说明：DC⊥BE．
26．如图，△ABC是等边三角形，点M是BC上任意一点，点N是CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于点Q，就下面给出的两种情况，猜测∠BQM等于多少度，并利用图②说明结论的正确性．
2022学年吉林省松原市扶余县八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，共12分）
1．（2012•阜新）下列交通标志是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 轴对称图形．
分析： 根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
解答： 解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选A．
点评： 本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合是解题的关键．
2．（2014秋•扶余县期中）在△ABC中，若∠B=∠C=2∠A，则∠A的度数为（ ）
A． 72° B． 45° C． 36° D． 30°
考点： 三角形内角和定理．
分析： 设∠A=x，则∠B=∠C=2x，再由三角形内角和定理求出x的值即可．
解答： 解：设∠A=x，则∠B=∠C=2x，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴x+2x+2x=180°，解得x=36°．
故选C．
点评： 本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
3．（2014春•吉州区期末）下列命题中：（1）形状相同的两个三角形是全等形；（2）在两个全等三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有（ ）
A． 3个 B． 2个 C． 1个 D． 0个
考点： 全等图形．
专题： 常规题型．
分析： 根据全等三角形的概念：能够完全重合的图形是全等图形，及全等图形性质：全等图形的对应边、对应角分别相等，分别对每一项进行分析即可得出正确的命题个数．
解答： 解：（1）形状相同、大小相等的两个三角形是全等形，而原说法没有指出大小相等这一点，故（1）错误；
（2）在两个全等三角形中，对应角相等，对应边相等，而非相等的角是对应角，相等的边是对应边，故（2）错误；
（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，故（3）正确．
综上可得只有（3）正确．
故选：C．
点评： 本题考查了全等三角形的概念和全等三角形的性质，在解题时要注意灵活应用全等三角形的性质和定义是本题的关键．
4．（2015•滕州市校级模拟）如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（ ）
A． BD=DC，AB=AC B． ∠ADB=∠ADC，BD=DC
C． ∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D． ∠B=∠C，BD=DC
考点： 全等三角形的判定．
分析： 全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
解答： 解：A、∵在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD（SSS），故本选项错误；
B、∵在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD（SAS），故本选项错误；
C、∵在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD（AAS），故本选项错误；
D、不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABD≌△ACD，故本选项正确；
故选D．
点评： 本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
5．（2014秋•扶余县期中）如图，DE⊥AC，垂足为E，CE=AE．若AB=12cm，BC=10cm，则△BCD的周长是（ ）
A． 22cm B． 16cm C． 23cm D． 25cm
考点： 线段垂直平分线的性质．
分析： 先根据DE⊥AC，垂足为E，CE=AE得出CD=AD，故可得出结论．
解答： 解：∵DE⊥AC，垂足为E，CE=AE，AB=12cm，BC=10cm，
∴CD=AD，
∴BC+BD+CD=BC+AB=10+12=22cm．
故答案为：A．
点评： 本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
6．（2010•泸县模拟）若等腰三角形的两边长分别是3和6，则这个三角形的周长是（ ）
A． 12 B． 15 C． 12或15 D． 9
考点： 等腰三角形的性质．
专题： 应用题；分类讨论．
分析： 根据题意，要分情况讨论：①、3是腰；②、3是底．必须符合三角形三边的关系，任意两边之和大于第三边．
解答： 解：①若3是腰，则另一腰也是3，底是6，但是3+3=6，∴不构成三角形，舍去．
②若3是底，则腰是6，6．
3+6＞6，符合条件．成立．
∴C=3+6+6=15．
故选B．
点评： 本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（2014秋•扶余县期中）若点P（m，m﹣1）在x轴上，则点P关于x轴对称的点为 （1，0） ．
考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标．
分析： 根据x轴上的点的纵坐标为0列式求出m的值，再根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
解答： 解：∵点P（m，m﹣1）在x轴上，
∴m﹣1=0，
解得m=1，
∴点P的坐标为（1，0），
∴点P关于x轴对称的点为（1，0）．
故答案为：（1，0）．
点评： 本题考查了关于x轴、y轴对称点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
8．（2004•哈尔滨）一个多边形的每一个外角都等于36°，则该多边形的内角和等于 1440 度．
考点： 多边形内角与外角．
专题： 计算题．
分析： 任何多边形的外角和等于360°，可求得这个多边形的边数．再根据多边形的内角和等于（n﹣2）•180°即可求得内角和．
解答： 解：∵任何多边形的外角和等于360°，
∴多边形的边数为360°÷36°=10，
∴多边形的内角和为（10﹣2）•180°=1440°．
故答案为：1440．
点评： 本题需仔细分析题意，利用多边形的外角和求出边数，从而解决问题．
9．（2014秋•扶余县期中）如图，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M、N．PM=PN，若∠BOC=30°，则∠AOB= 60° ．
考点： 角平分线的性质．
分析： 根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出OC平分∠AOB，再根据角平分线的定义可得∠AOB=2∠BOC．
解答： 解：∵PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN，
∴OC平分∠AOB，
∴∠AOB=2∠BOC=2×30=60°．
故答案为：60°．
点评： 本题考查了到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，角平分线的定义，是基础题，熟记性质是解题的关键．
10．（2014春•鹤岗校级期末）如图：在△ABC和△FED中，AD=FC，AB=FE，当添加条件 BC=ED或∠A=∠F或AB∥EF 时，就可得到△ABC≌△FED．（只需填写一个即可）
考点： 全等三角形的判定．
专题： 证明题．
分析： 要得到△ABC≌△FED，现有条件为两边分别对应相等，找到全等已经具备的条件，根据全等的判定方法选择另一条件即可得等答案．
解答： 解：AD=FC⇒AC=FD，又AB=EF，加BC=DE就可以用SSS判定△ABC≌△FED；
加∠A=∠F或AB∥EF就可以用SAS判定△ABC≌△FED．
故答案为：BC=ED或∠A=∠F或AB∥EF．
点评： 本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
11．（2010秋•海淀区校级期末）从长为3cm，5cm，7cm，10cm的四根木棒中选出三根组成三角形，共有 2 种选法．
考点： 三角形三边关系．
分析： 取四根木棒中的任意三根，共有4中取法，然后依据三角形三边关系将不合题意的方案舍去．
解答： 解：共有4种方案：
①取3cm，5cm，7cm；由于3+5＞7，能构成三角形；
②取3cm，5cm，10cm；由于3+5＜10，不能构成三角形，此种情况不成立；
③取3cm，7cm，10cm；由于3+7=10，不能构成三角形，此种情况不成立；
④取5cm，7cm，10cm；由于5+7＞10，能构成三角形．
所以有2种方案符合要求．
故答案为：2．
点评： 考查三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．当题目指代不明时，一定要分情况讨论，把符合条件的保留下来，不符合的舍去．
12．（2014秋•扶余县期中）若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为40°，该三角形的一个底角是 25°或65° ．
考点： 等腰三角形的性质．
分析： 本题已知没有明确三角形的类型，所以应分这个等腰三角形是锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论．
解答： 解：当这个三角形是锐角三角形时：高与另一腰的夹角为40，则顶角是50°，因而底角是65°；
如图所示：当这个三角形是钝角三角形时：∠ABD=50°，BD⊥CD，
故∠BAD=50°，
所以∠B=∠C=25°
因此这个等腰三角形的一个底角的度数为25°或65°．
故答案为：25°或65°．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；等腰三角形的高线，可能在三角形的内部，边上、外部几种不同情况，因而，遇到与等腰三角形的高有关的计算时应分类讨论．
13．（2014秋•扶余县期中）如图，△ABC为等边三角形，AD为BC边上的高，E为AC边上的一点，且AE=AD，则∠EDC= 15° ．
考点： 等边三角形的性质．
分析： 先根据等边三角形的性质得出∠BAC=60°，再由AD⊥BC得出∠CAD的度数，根据AE=AD求出∠ADE的度数，由∠EDC=∠ADC﹣∠ADE即可得出结论．
解答： 解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°．
∵AD⊥BC，
∴∠CAD=30°，∠ADC=90°，
∵AE=AD，
∴∠ADE==75°，
∴∠EDC=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣75°=15°．
故答案为：15°．
点评： 本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
14．（2013•南岗区三模）已知等边△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点Bˊ处，DBˊ，EBˊ分别交边AC于点F，G，若∠ADF=80°，则∠EGC的度数为 80° ．
考点： 翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质．
专题： 几何图形问题．
分析： 由对顶角相等可得∠CGE=∠FGB′，由两角对应相等可得△ADF∽△B′GF，那么所求角等于∠ADF的度数．
解答： 解：由翻折可得∠B′=∠B=60°，
∴∠A=∠B′=60°，
∵∠AFD=∠GFB′，
∴△ADF∽△B′GF，
∴∠ADF=∠B′GF，
∵∠EGC=∠FGB′，
∴∠EGC=∠ADF=80°．
故答案为：80°．
点评： 本题考查了翻折变换问题；得到所求角与所给角的度数的关系是解决本题的关键．
三、解答题（每小题4分，共20分）
15．（2014秋•扶余县期中）如图，两个四边形关于直线l对称，∠C=90°，试写出a，b的长度，并求出∠G的度数．
考点： 轴对称的性质．
分析： 轴对称的性质：
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
解答： 解：∵两个四边形关于直线l对称，
∴四边形ABCD≌四边形FEHG，
∴∠H=∠C=90°，∠A=∠F=80°，∠E=∠B=135°，
∴∠G=360°﹣∠H﹣∠A﹣∠F=55°，
∴a=5cm b=4cm．
点评： 主要考查了轴对称的性质和四边形的内角和是360度的实际运用，难度不大．
16．（2014秋•扶余县期中）已知：如图，AD、BC相交于点O，AB=CD，AD=CB．
求证：∠A=∠C．
考点： 全等三角形的判定；全等三角形的性质．
分析： 根据SSS推出△ABD≌△CDB，根据全等三角形性质推出即可．
解答： 证明：在△ABD和△CDB中，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
∴∠A=∠C．
点评： 本题考查了全等三角形性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
17．（2011•张家界）将16个相同的小正方形拼成正方形网格，并将其中的两个小正方形涂成黑色，请你用两种不同的方法分别在图甲、图乙中再将两个空白的小正方形涂黑，使它成为轴对称图形．
考点： 利用轴对称设计图案．
分析： 根据轴对称图形的性质得出，分别在图甲、图乙中再将两个空白的小正方形涂黑，使它成为轴对称图形即可．
解答： 解：如图所示：
点评： 此题主要考查了轴对称图形的画法以及轴对称图形的性质，轴对称图形的考查是重点题型同学们应熟练掌握．
18．（2014秋•古田县校级期末）如图，在平面直角坐标系中，A（1，2），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．
（2）写出A1，B1，C1的坐标（直接写出答案），
A1 （﹣1，2） ；B1 （﹣3，1） ；C1 （2，﹣1） ．
（3）△A1B1C1的面积为 4.5 ．
考点： 作图-轴对称变换．
专题： 作图题．
分析： （1）根据网格结构找出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据平面直角坐标系写出各点的坐标；
（3）利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积列式计算即可得解．
解答： 解：（1）△A1B1C1如图所示；
（2）△A1（﹣1，2），B1（﹣3，1），C1（2，﹣1）；
（3）△A1B1C1的面积=5×3﹣×1×2﹣×2×5﹣×3×3，
=15﹣1﹣5﹣4.5，
=15﹣10.5，
=4.5．
故答案为：（2）（﹣1，2），（﹣3，1），（2，﹣1）；（3）4.5．
点评： 本题考查了利用轴对称变换作图，三角形的面积，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
19．（2014秋•扶余县期中）在△ABC中，∠BAC=50°，∠B=45°，AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADB的度数．
考点： 三角形内角和定理．
分析： 先根据角平分线的定义求出∠BAD的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．
解答： 解：∵∠BAC=50°，AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=×50°=25°．
∵∠B=45°，
∴∠ADB=180°﹣25°﹣45°=110°．
点评： 本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
四、解答题（每小题5分，共28分）
20．（2014•吉林）如图，△ABC和△DAE中，∠BAC=∠DAE，AB=AE，AC=AD，连接BD，CE，求证：△ABD≌△AEC．
考点： 全等三角形的判定．
专题： 证明题．
分析： 根据∠BAC=∠DAE，可得∠BAD=∠CAE，再根据全等的条件可得出结论．
解答： 证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC﹣∠BAE=∠DAE﹣∠BAE，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△AEC中，
，
∴△ABD≌△AEC（SAS）．
点评： 本题考查了全等三角形的判定，判断三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，以及判断两个直角三角形全等的方法HL．
21．（2006•岳阳）如图△ADF和△BCE中，∠A=∠B，点D、E、F、C在同﹣直线上，有如下三个关系式：①AD=BC；②DE=CF；③BE∥AF．
（1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出所有你认为正确的命题．（用序号写出命题书写形式，如：如果①、②，那么③）
（2）选择（1）中你写出的一个命题，说明它正确的理由．
考点： 全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题；开放型．
分析： （1）本题主要考查全等三角形的判定，能不能成立，就看作为条件的关系式能不能证明△ADF≌△BCE，从而得到结论．
（2）对于“如果①，③，那么②”进行证明，根据平行线的性质得到∠AFD=∠BEC，因为AD=BC，∠A=∠B，利用AAS判定△ADF≌△BCE，得到DF=CE，即得到DE=CF．
解答： 解：（1）如果①，③，那么②；如果②，③，那么①．
（2）对于“如果①，③，那么②”证明如下：
∵BE∥AF，
∴∠AFD=∠BEC．
∵AD=BC，∠A=∠B，
∴△ADF≌△BCE．
∴DF=CE．
∴DF﹣EF=CE﹣EF．
即DE=CF．
对于“如果②，③，那么①”证明如下：
∵BE∥AF，
∴∠AFD=∠BEC．
∵DE=CF，
∴DE+EF=CF+EF．
即DF=CE．
∵∠A=∠B，
∴△ADF≌△BCE．
∴AD=BC．
点评： 此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的判定方法有SSS，SAS，ASA，AAS、HL等．编题然后选择，最后进行证明是现在比较多的一种考题，要注意掌握．
22．（2014秋•博白县期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D．
（1）求证：△ADC≌△CEB．
（2）AD=5cm，DE=3cm，求BE的长度．
考点： 全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： （1）根据全等三角形的判定定理AAS推知：△ADC≌△CEB；
（2）利用（1）中的全等三角形的对应边相等得到：AD=CE=5cm，CD=BE．则根据图中相关线段的和差关系得到BE=AD﹣DE．
解答： （1）证明：如图，∵AD⊥CE，∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
∴∠BCE=∠CAD（同角的余角相等）．
在△ADC与△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）由（1）知，△ADC≌△CEB，则AD=CE=5cm，CD=BE．
如图，∵CD=CE﹣DE，
∴BE=AD﹣DE=5﹣3=2（cm），即BE的长度是2cm．
点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（2014秋•扶余县期中）已知：△ABC中，∠B、∠C的角平分线相交于点D，过D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F． 求证：BE+CF=EF．
考点： 等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
专题： 证明题．
分析： 根据角平分线定义和平行线性质求出∠EDB=∠EBD，推出DE=BE，同理得出CF=DF，即可求出答案．
解答： 证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠DBC，
∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，
∴∠EDB=∠EBD，
∴DE=BE，
同理CF=DF，
∴EF=DE+DF=BE+CF，
即BE+CF=EF．
点评： 本题考查了角平分线定义，平行线性质，等腰三角形的判定的应用，注意：等角对等边．
24．（2014秋•扶余县期中）如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG．试猜想线段AD与AG的数量及位置关系，并证明你的猜想．
考点： 全等三角形的判定与性质．
分析： 先由条件可以得出∠ABE=∠ACF，就可以得出△ABD≌△GCA，就有AD=GA，∠BAD=∠G，就可以得出∠GAD=90°，进而得出AG=AD，AG⊥AD．
解答： 解：AG=AD，AG⊥AD
理由：∵BE、CF分别是AC、AB两边上的高，
∴∠AFC=∠BFC=∠BEC=∠BEA=90°
∴∠BAC+∠ACF=90°，∠BAC+∠ABE=90°，∠G+∠GAF=90°，
∴∠ABE=∠ACF．
在△ABD和△GCA中，
，
∴△ABD≌△GCA（SAS），
∴AD=GA，∠BAD=∠G，
∴∠BAD+∠GAF=90°，
∴AG⊥AD．
点评： 本题考查了垂直的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，垂直的判定的运用，解答时证明三角形全等是关键．
六、解答题（每小题7分，共20分）
25．（2010•泰安校级模拟）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC，
（1）请找出图②中的全等三角形，并给予说明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；
（2）试说明：DC⊥BE．
考点： 等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： ①可以找出△BAE≌△CAD，条件是AB=AC，DA=EA，∠BAE=∠DAC=90°+∠CAE．
②由①可得出∠DCA=∠ABC=45°，则∠BCD=90°，所以DC⊥BE．
解答： 解：（1）∵△ABC，△DAE是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．
∠BAE=∠DAC=90°+∠CAE，
在△BAE和△DAC中
∴△BAE≌△CAD（SAS）．
（2）由（1）得△BAE≌△CAD．
∴∠DCA=∠B=45°．
∵∠BCA=45°，
∴∠BCD=∠BCA+∠DCA=90°，
∴DC⊥BE．
点评： 本题主要考查全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质；充分利用等腰直角三角形的性质是解答本题的关键．
26．（2014秋•扶余县期中）如图，△ABC是等边三角形，点M是BC上任意一点，点N是CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于点Q，就下面给出的两种情况，猜测∠BQM等于多少度，并利用图②说明结论的正确性．
考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
分析： 根据等边三角形的性质得出AB=AC，∠ABC=∠BCA=∠ACB=60°，根据SAS推出△ABM≌△BCN，根据全等得出∠M=∠N，求出∠BQM=∠N+∠NAQ=∠ACB，即可得出答案．
解答： 解：∠BQM=60°
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠BCA=∠ACB=60°，
在△ABM和△BCN中
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠M=∠N，
又∠NAQ=∠MAC，
∴∠BQM=∠N+∠NAQ=∠M+∠MAC=∠ACB=60°．
点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
2022学年吉林省松原市扶余县八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题2分，共12分）
1．下列交通标志是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．在△ABC中，若∠B=∠C=2∠A，则∠A的度数为（ ）
A． 72° B． 45° C． 36° D． 30°
3．下列命题中：（1）形状相同的两个三角形是全等形；（2）在两个全等三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有（ ）
A． 3个 B． 2个 C． 1个 D． 0个
4．如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（ ）
A． BD=DC，AB=AC B． ∠ADB=∠ADC，BD=DC
C． ∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D． ∠B=∠C，BD=DC
5．如图，DE⊥AC，垂足为E，CE=AE．若AB=12cm，BC=10cm，则△BCD的周长是（ ）
A． 22cm B． 16cm C． 23cm D． 25cm
6．若等腰三角形的两边长分别是3和6，则这个三角形的周长是（ ）
A． 12 B． 15 C． 12或15 D． 9
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．若点P（m，m﹣1）在x轴上，则点P关于x轴对称的点为 ．
8．一个多边形的每一个外角都等于36°，则该多边形的内角和等于 度．
9．如图，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M、N．PM=PN，若∠BOC=30°，则∠AOB= ．
10．如图：在△ABC和△FED中，AD=FC，AB=FE，当添加条件 时，就可得到△ABC≌△FED．（只需填写一个即可）
11．从长为3cm，5cm，7cm，10cm的四根木棒中选出三根组成三角形，共有 种选法．
12．若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为40°，该三角形的一个底角是 ．
13．如图，△ABC为等边三角形，AD为BC边上的高，E为AC边上的一点，且AE=AD，则∠EDC= ．
14．已知等边△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点Bˊ处，DBˊ，EBˊ分别交边AC于点F，G，若∠ADF=80°，则∠EGC的度数为 ．
三、解答题（每小题4分，共20分）
15．如图，两个四边形关于直线l对称，∠C=90°，试写出a，b的长度，并求出∠G的度数．
16．已知：如图，AD、BC相交于点O，AB=CD，AD=CB．
求证：∠A=∠C．
17．将16个相同的小正方形拼成正方形网格，并将其中的两个小正方形涂成黑色，请你用两种不同的方法分别在图甲、图乙中再将两个空白的小正方形涂黑，使它成为轴对称图形．
18．如图，在平面直角坐标系中，A（1，2），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．
（2）写出A1，B1，C1的坐标（直接写出答案），
A1 ；B1 ；C1 ．
（3）△A1B1C1的面积为 ．
19．在△ABC中，∠BAC=50°，∠B=45°，AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADB的度数．
四、解答题（每小题5分，共28分）
20．如图，△ABC和△DAE中，∠BAC=∠DAE，AB=AE，AC=AD，连接BD，CE，求证：△ABD≌△AEC．
21．如图△ADF和△BCE中，∠A=∠B，点D、E、F、C在同﹣直线上，有如下三个关系式：①AD=BC；②DE=CF；③BE∥AF．
（1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出所有你认为正确的命题．（用序号写出命题书写形式，如：如果①、②，那么③）
（2）选择（1）中你写出的一个命题，说明它正确的理由．
22．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D．
（1）求证：△ADC≌△CEB．
（2）AD=5cm，DE=3cm，求BE的长度．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．已知：△ABC中，∠B、∠C的角平分线相交于点D，过D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F． 求证：BE+CF=EF．
24．如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG．试猜想线段AD与AG的数量及位置关系，并证明你的猜想．
六、解答题（每小题7分，共20分）
25．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC，
（1）请找出图②中的全等三角形，并给予说明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；
（2）试说明：DC⊥BE．
26．如图，△ABC是等边三角形，点M是BC上任意一点，点N是CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于点Q，就下面给出的两种情况，猜测∠BQM等于多少度，并利用图②说明结论的正确性．
2022学年吉林省松原市扶余县八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，共12分）
1．（2012•阜新）下列交通标志是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 轴对称图形．
分析： 根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
解答： 解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选A．
点评： 本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合是解题的关键．
2．（2014秋•扶余县期中）在△ABC中，若∠B=∠C=2∠A，则∠A的度数为（ ）
A． 72° B． 45° C． 36° D． 30°
考点： 三角形内角和定理．
分析： 设∠A=x，则∠B=∠C=2x，再由三角形内角和定理求出x的值即可．
解答： 解：设∠A=x，则∠B=∠C=2x，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴x+2x+2x=180°，解得x=36°．
故选C．
点评： 本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
3．（2014春•吉州区期末）下列命题中：（1）形状相同的两个三角形是全等形；（2）在两个全等三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有（ ）
A． 3个 B． 2个 C． 1个 D． 0个
考点： 全等图形．
专题： 常规题型．
分析： 根据全等三角形的概念：能够完全重合的图形是全等图形，及全等图形性质：全等图形的对应边、对应角分别相等，分别对每一项进行分析即可得出正确的命题个数．
解答： 解：（1）形状相同、大小相等的两个三角形是全等形，而原说法没有指出大小相等这一点，故（1）错误；
（2）在两个全等三角形中，对应角相等，对应边相等，而非相等的角是对应角，相等的边是对应边，故（2）错误；
（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，故（3）正确．
综上可得只有（3）正确．
故选：C．
点评： 本题考查了全等三角形的概念和全等三角形的性质，在解题时要注意灵活应用全等三角形的性质和定义是本题的关键．
4．（2015•滕州市校级模拟）如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（ ）
A． BD=DC，AB=AC B． ∠ADB=∠ADC，BD=DC
C． ∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D． ∠B=∠C，BD=DC
考点： 全等三角形的判定．
分析： 全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
解答： 解：A、∵在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD（SSS），故本选项错误；
B、∵在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD（SAS），故本选项错误；
C、∵在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD（AAS），故本选项错误；
D、不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABD≌△ACD，故本选项正确；
故选D．
点评： 本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
5．（2014秋•扶余县期中）如图，DE⊥AC，垂足为E，CE=AE．若AB=12cm，BC=10cm，则△BCD的周长是（ ）
A． 22cm B． 16cm C． 23cm D． 25cm
考点： 线段垂直平分线的性质．
分析： 先根据DE⊥AC，垂足为E，CE=AE得出CD=AD，故可得出结论．
解答： 解：∵DE⊥AC，垂足为E，CE=AE，AB=12cm，BC=10cm，
∴CD=AD，
∴BC+BD+CD=BC+AB=10+12=22cm．
故答案为：A．
点评： 本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
6．（2010•泸县模拟）若等腰三角形的两边长分别是3和6，则这个三角形的周长是（ ）
A． 12 B． 15 C． 12或15 D． 9
考点： 等腰三角形的性质．
专题： 应用题；分类讨论．
分析： 根据题意，要分情况讨论：①、3是腰；②、3是底．必须符合三角形三边的关系，任意两边之和大于第三边．
解答： 解：①若3是腰，则另一腰也是3，底是6，但是3+3=6，∴不构成三角形，舍去．
②若3是底，则腰是6，6．
3+6＞6，符合条件．成立．
∴C=3+6+6=15．
故选B．
点评： 本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（2014秋•扶余县期中）若点P（m，m﹣1）在x轴上，则点P关于x轴对称的点为 （1，0） ．
考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标．
分析： 根据x轴上的点的纵坐标为0列式求出m的值，再根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
解答： 解：∵点P（m，m﹣1）在x轴上，
∴m﹣1=0，
解得m=1，
∴点P的坐标为（1，0），
∴点P关于x轴对称的点为（1，0）．
故答案为：（1，0）．
点评： 本题考查了关于x轴、y轴对称点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
8．（2004•哈尔滨）一个多边形的每一个外角都等于36°，则该多边形的内角和等于 1440 度．
考点： 多边形内角与外角．
专题： 计算题．
分析： 任何多边形的外角和等于360°，可求得这个多边形的边数．再根据多边形的内角和等于（n﹣2）•180°即可求得内角和．
解答： 解：∵任何多边形的外角和等于360°，
∴多边形的边数为360°÷36°=10，
∴多边形的内角和为（10﹣2）•180°=1440°．
故答案为：1440．
点评： 本题需仔细分析题意，利用多边形的外角和求出边数，从而解决问题．
9．（2014秋•扶余县期中）如图，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M、N．PM=PN，若∠BOC=30°，则∠AOB= 60° ．
考点： 角平分线的性质．
分析： 根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出OC平分∠AOB，再根据角平分线的定义可得∠AOB=2∠BOC．
解答： 解：∵PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN，
∴OC平分∠AOB，
∴∠AOB=2∠BOC=2×30=60°．
故答案为：60°．
点评： 本题考查了到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，角平分线的定义，是基础题，熟记性质是解题的关键．
10．（2014春•鹤岗校级期末）如图：在△ABC和△FED中，AD=FC，AB=FE，当添加条件 BC=ED或∠A=∠F或AB∥EF 时，就可得到△ABC≌△FED．（只需填写一个即可）
考点： 全等三角形的判定．
专题： 证明题．
分析： 要得到△ABC≌△FED，现有条件为两边分别对应相等，找到全等已经具备的条件，根据全等的判定方法选择另一条件即可得等答案．
解答： 解：AD=FC⇒AC=FD，又AB=EF，加BC=DE就可以用SSS判定△ABC≌△FED；
加∠A=∠F或AB∥EF就可以用SAS判定△ABC≌△FED．
故答案为：BC=ED或∠A=∠F或AB∥EF．
点评： 本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
11．（2010秋•海淀区校级期末）从长为3cm，5cm，7cm，10cm的四根木棒中选出三根组成三角形，共有 2 种选法．
考点： 三角形三边关系．
分析： 取四根木棒中的任意三根，共有4中取法，然后依据三角形三边关系将不合题意的方案舍去．
解答： 解：共有4种方案：
①取3cm，5cm，7cm；由于3+5＞7，能构成三角形；
②取3cm，5cm，10cm；由于3+5＜10，不能构成三角形，此种情况不成立；
③取3cm，7cm，10cm；由于3+7=10，不能构成三角形，此种情况不成立；
④取5cm，7cm，10cm；由于5+7＞10，能构成三角形．
所以有2种方案符合要求．
故答案为：2．
点评： 考查三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．当题目指代不明时，一定要分情况讨论，把符合条件的保留下来，不符合的舍去．
12．（2014秋•扶余县期中）若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为40°，该三角形的一个底角是 25°或65° ．
考点： 等腰三角形的性质．
分析： 本题已知没有明确三角形的类型，所以应分这个等腰三角形是锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论．
解答： 解：当这个三角形是锐角三角形时：高与另一腰的夹角为40，则顶角是50°，因而底角是65°；
如图所示：当这个三角形是钝角三角形时：∠ABD=50°，BD⊥CD，
故∠BAD=50°，
所以∠B=∠C=25°
因此这个等腰三角形的一个底角的度数为25°或65°．
故答案为：25°或65°．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；等腰三角形的高线，可能在三角形的内部，边上、外部几种不同情况，因而，遇到与等腰三角形的高有关的计算时应分类讨论．
13．（2014秋•扶余县期中）如图，△ABC为等边三角形，AD为BC边上的高，E为AC边上的一点，且AE=AD，则∠EDC= 15° ．
考点： 等边三角形的性质．
分析： 先根据等边三角形的性质得出∠BAC=60°，再由AD⊥BC得出∠CAD的度数，根据AE=AD求出∠ADE的度数，由∠EDC=∠ADC﹣∠ADE即可得出结论．
解答： 解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°．
∵AD⊥BC，
∴∠CAD=30°，∠ADC=90°，
∵AE=AD，
∴∠ADE==75°，
∴∠EDC=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣75°=15°．
故答案为：15°．
点评： 本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
14．（2013•南岗区三模）已知等边△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点Bˊ处，DBˊ，EBˊ分别交边AC于点F，G，若∠ADF=80°，则∠EGC的度数为 80° ．
考点： 翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质．
专题： 几何图形问题．
分析： 由对顶角相等可得∠CGE=∠FGB′，由两角对应相等可得△ADF∽△B′GF，那么所求角等于∠ADF的度数．
解答： 解：由翻折可得∠B′=∠B=60°，
∴∠A=∠B′=60°，
∵∠AFD=∠GFB′，
∴△ADF∽△B′GF，
∴∠ADF=∠B′GF，
∵∠EGC=∠FGB′，
∴∠EGC=∠ADF=80°．
故答案为：80°．
点评： 本题考查了翻折变换问题；得到所求角与所给角的度数的关系是解决本题的关键．
三、解答题（每小题4分，共20分）
15．（2014秋•扶余县期中）如图，两个四边形关于直线l对称，∠C=90°，试写出a，b的长度，并求出∠G的度数．
考点： 轴对称的性质．
分析： 轴对称的性质：
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
解答： 解：∵两个四边形关于直线l对称，
∴四边形ABCD≌四边形FEHG，
∴∠H=∠C=90°，∠A=∠F=80°，∠E=∠B=135°，
∴∠G=360°﹣∠H﹣∠A﹣∠F=55°，
∴a=5cm b=4cm．
点评： 主要考查了轴对称的性质和四边形的内角和是360度的实际运用，难度不大．
16．（2014秋•扶余县期中）已知：如图，AD、BC相交于点O，AB=CD，AD=CB．
求证：∠A=∠C．
考点： 全等三角形的判定；全等三角形的性质．
分析： 根据SSS推出△ABD≌△CDB，根据全等三角形性质推出即可．
解答： 证明：在△ABD和△CDB中，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
∴∠A=∠C．
点评： 本题考查了全等三角形性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
17．（2011•张家界）将16个相同的小正方形拼成正方形网格，并将其中的两个小正方形涂成黑色，请你用两种不同的方法分别在图甲、图乙中再将两个空白的小正方形涂黑，使它成为轴对称图形．
考点： 利用轴对称设计图案．
分析： 根据轴对称图形的性质得出，分别在图甲、图乙中再将两个空白的小正方形涂黑，使它成为轴对称图形即可．
解答： 解：如图所示：
点评： 此题主要考查了轴对称图形的画法以及轴对称图形的性质，轴对称图形的考查是重点题型同学们应熟练掌握．
18．（2014秋•古田县校级期末）如图，在平面直角坐标系中，A（1，2），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．
（2）写出A1，B1，C1的坐标（直接写出答案），
A1 （﹣1，2） ；B1 （﹣3，1） ；C1 （2，﹣1） ．
（3）△A1B1C1的面积为 4.5 ．
考点： 作图-轴对称变换．
专题： 作图题．
分析： （1）根据网格结构找出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据平面直角坐标系写出各点的坐标；
（3）利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积列式计算即可得解．
解答： 解：（1）△A1B1C1如图所示；
（2）△A1（﹣1，2），B1（﹣3，1），C1（2，﹣1）；
（3）△A1B1C1的面积=5×3﹣×1×2﹣×2×5﹣×3×3，
=15﹣1﹣5﹣4.5，
=15﹣10.5，
=4.5．
故答案为：（2）（﹣1，2），（﹣3，1），（2，﹣1）；（3）4.5．
点评： 本题考查了利用轴对称变换作图，三角形的面积，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
19．（2014秋•扶余县期中）在△ABC中，∠BAC=50°，∠B=45°，AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADB的度数．
考点： 三角形内角和定理．
分析： 先根据角平分线的定义求出∠BAD的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．
解答： 解：∵∠BAC=50°，AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=×50°=25°．
∵∠B=45°，
∴∠ADB=180°﹣25°﹣45°=110°．
点评： 本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
四、解答题（每小题5分，共28分）
20．（2014•吉林）如图，△ABC和△DAE中，∠BAC=∠DAE，AB=AE，AC=AD，连接BD，CE，求证：△ABD≌△AEC．
考点： 全等三角形的判定．
专题： 证明题．
分析： 根据∠BAC=∠DAE，可得∠BAD=∠CAE，再根据全等的条件可得出结论．
解答： 证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC﹣∠BAE=∠DAE﹣∠BAE，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△AEC中，
，
∴△ABD≌△AEC（SAS）．
点评： 本题考查了全等三角形的判定，判断三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，以及判断两个直角三角形全等的方法HL．
21．（2006•岳阳）如图△ADF和△BCE中，∠A=∠B，点D、E、F、C在同﹣直线上，有如下三个关系式：①AD=BC；②DE=CF；③BE∥AF．
（1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出所有你认为正确的命题．（用序号写出命题书写形式，如：如果①、②，那么③）
（2）选择（1）中你写出的一个命题，说明它正确的理由．
考点： 全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题；开放型．
分析： （1）本题主要考查全等三角形的判定，能不能成立，就看作为条件的关系式能不能证明△ADF≌△BCE，从而得到结论．
（2）对于“如果①，③，那么②”进行证明，根据平行线的性质得到∠AFD=∠BEC，因为AD=BC，∠A=∠B，利用AAS判定△ADF≌△BCE，得到DF=CE，即得到DE=CF．
解答： 解：（1）如果①，③，那么②；如果②，③，那么①．
（2）对于“如果①，③，那么②”证明如下：
∵BE∥AF，
∴∠AFD=∠BEC．
∵AD=BC，∠A=∠B，
∴△ADF≌△BCE．
∴DF=CE．
∴DF﹣EF=CE﹣EF．
即DE=CF．
对于“如果②，③，那么①”证明如下：
∵BE∥AF，
∴∠AFD=∠BEC．
∵DE=CF，
∴DE+EF=CF+EF．
即DF=CE．
∵∠A=∠B，
∴△ADF≌△BCE．
∴AD=BC．
点评： 此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的判定方法有SSS，SAS，ASA，AAS、HL等．编题然后选择，最后进行证明是现在比较多的一种考题，要注意掌握．
22．（2014秋•博白县期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D．
（1）求证：△ADC≌△CEB．
（2）AD=5cm，DE=3cm，求BE的长度．
考点： 全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： （1）根据全等三角形的判定定理AAS推知：△ADC≌△CEB；
（2）利用（1）中的全等三角形的对应边相等得到：AD=CE=5cm，CD=BE．则根据图中相关线段的和差关系得到BE=AD﹣DE．
解答： （1）证明：如图，∵AD⊥CE，∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
∴∠BCE=∠CAD（同角的余角相等）．
在△ADC与△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）由（1）知，△ADC≌△CEB，则AD=CE=5cm，CD=BE．
如图，∵CD=CE﹣DE，
∴BE=AD﹣DE=5﹣3=2（cm），即BE的长度是2cm．
点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（2014秋•扶余县期中）已知：△ABC中，∠B、∠C的角平分线相交于点D，过D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F． 求证：BE+CF=EF．
考点： 等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
专题： 证明题．
分析： 根据角平分线定义和平行线性质求出∠EDB=∠EBD，推出DE=BE，同理得出CF=DF，即可求出答案．
解答： 证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠DBC，
∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，
∴∠EDB=∠EBD，
∴DE=BE，
同理CF=DF，
∴EF=DE+DF=BE+CF，
即BE+CF=EF．
点评： 本题考查了角平分线定义，平行线性质，等腰三角形的判定的应用，注意：等角对等边．
24．（2014秋•扶余县期中）如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG．试猜想线段AD与AG的数量及位置关系，并证明你的猜想．
考点： 全等三角形的判定与性质．
分析： 先由条件可以得出∠ABE=∠ACF，就可以得出△ABD≌△GCA，就有AD=GA，∠BAD=∠G，就可以得出∠GAD=90°，进而得出AG=AD，AG⊥AD．
解答： 解：AG=AD，AG⊥AD
理由：∵BE、CF分别是AC、AB两边上的高，
∴∠AFC=∠BFC=∠BEC=∠BEA=90°
∴∠BAC+∠ACF=90°，∠BAC+∠ABE=90°，∠G+∠GAF=90°，
∴∠ABE=∠ACF．
在△ABD和△GCA中，
，
∴△ABD≌△GCA（SAS），
∴AD=GA，∠BAD=∠G，
∴∠BAD+∠GAF=90°，
∴AG⊥AD．
点评： 本题考查了垂直的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，垂直的判定的运用，解答时证明三角形全等是关键．
六、解答题（每小题7分，共20分）
25．（2010•泰安校级模拟）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC，
（1）请找出图②中的全等三角形，并给予说明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；
（2）试说明：DC⊥BE．
考点： 等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： ①可以找出△BAE≌△CAD，条件是AB=AC，DA=EA，∠BAE=∠DAC=90°+∠CAE．
②由①可得出∠DCA=∠ABC=45°，则∠BCD=90°，所以DC⊥BE．
解答： 解：（1）∵△ABC，△DAE是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．
∠BAE=∠DAC=90°+∠CAE，
在△BAE和△DAC中
∴△BAE≌△CAD（SAS）．
（2）由（1）得△BAE≌△CAD．
∴∠DCA=∠B=45°．
∵∠BCA=45°，
∴∠BCD=∠BCA+∠DCA=90°，
∴DC⊥BE．
点评： 本题主要考查全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质；充分利用等腰直角三角形的性质是解答本题的关键．
26．（2014秋•扶余县期中）如图，△ABC是等边三角形，点M是BC上任意一点，点N是CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于点Q，就下面给出的两种情况，猜测∠BQM等于多少度，并利用图②说明结论的正确性．
考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
分析： 根据等边三角形的性质得出AB=AC，∠ABC=∠BCA=∠ACB=60°，根据SAS推出△ABM≌△BCN，根据全等得出∠M=∠N，求出∠BQM=∠N+∠NAQ=∠ACB，即可得出答案．
解答： 解：∠BQM=60°
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠BCA=∠ACB=60°，
在△ABM和△BCN中
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠M=∠N，
又∠NAQ=∠MAC，
∴∠BQM=∠N+∠NAQ=∠M+∠MAC=∠ACB=60°．
点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
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