2022年江苏省扬州市高邮市中考数学第一次适应性试卷（含解析）

2022年江苏省扬州市高邮市中考数学第一次适应性试卷

副标题

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）

1. 下列四个数：，，，中，绝对值最小的数是

A.  B.  C.  D.

2. 不透明的袋子中只有个黑球和个白球，这些球除颜色外无其它差别，随机从袋子中一次摸出个球，下列事件是不可能事件的是

A. 个球都是黑球 B. 个球都是白球
C. 三个球中有黑球 D. 个球中有白球

3. 若，则的值为

A.  B.  C. 或 D. 以上都不对

4. 若一个等腰三角形的周长为，则该等腰三角形的腰长的取值范围是

A.  B.  C.  D.

5. 如图，已知含的三角板较长的直角边与作业本的一条线重合，将三角板绕点逆时针旋转后，若斜边与作业本的另一条线相交成，则的度数可用表示为

A.  B.  C.  D.

6. 专卖店以元件的价格购进一批防晒衣后，提价贴上标价牌，按标价最多打几折出售才能保证不亏损

A.  B.  C.  D.

7. 如图，已知点在格点的外接圆上，连接、，则的值为

A.
B.
C.
D.

8. 如图，已知点、是的斜边的三等分点，，点是折线上的一个动点，连接、，若，则满足条件的点的个数是

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

9. 根据国际奥委会发布的数据，全球大概有人通过各类媒体观看了年月日在北京举办的第届冬奥会开幕式盛况，把用科学记数法可表示为______．
10. 因式分解：______．
11. 一组数据，，，的方差与另一组数据，，，的方差______填“相等”或“不等”
12. 若，且，则的值为______．
13. 计算：______．
14. 若一个常见几何体模型共有条棱，则该几何体的名称是______．
15. 若将一次函数的图象向右平移个单位后，经过点，则______．
16. 如图，将以线段和曲线围成的图形绕点逆时针旋转至图形的位置，若，则图中阴影部分的面积为______．
     

17. 如图，将沿弦折叠，使折叠后的弧恰好经过圆心，点是优弧上的一个动点与、两点不重合，若的半径是，则面积的最大值是______．
    
     

18. 如图，设反比例函数图象上的点的横坐标为，过点作轴与的图象交于点，过点作轴与反比例函数图象交于点，过点作轴与的图象交于点，过点作轴与反比例函数图象交于点，，这样依次在反比例函数图象上得到点、、、，则点的纵坐标可以用含的代数式表示为______．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

19. 计算：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     

四、解答题（本大题共9小题，共88.0分）

20. 解不等式组，求满足该不等式组的所有整数解的和．
    
    
    
    
    
    
     
21. 为落实“双减”政策，切实减轻学生课后作业负担，基教科设计的问卷中将九年级学生课后作业完成时间单位：分成了：、、、、五类，并随机抽取了全市九年级部分家长进行线上问卷调查，并将调查数据绘制成如下两幅统计图．请根据图中信息，回答下列问题：
    样本容量为______；
    补全条形统计图；
    在扇形统计图中，类所在扇形的圆心角是______；
    若该市共有九年级学生人，估计该市九年级学生课后作业完成时间不少于的有多少人？

22. 流调收集的信息在新冠肺炎疫情防控中能起到至关重要的作用，疾控中心通过对一名确诊病例的流调中发现：该确诊病例某天乘坐上海虹桥站到杭州东站次动车一等座车厢其中一等座车厢有节，那么与该确诊病例乘坐的同一车次及同一车厢的乘客视为密切接触者．小明和小丽当天也乘坐了该车次动车的一等座车厢．
    小丽成为密切接触者的概率为______；
    求小明和小丽同时成为密切接触者的概率．
    
    
    
    
    
    
     
23. 核酸检测时采集的样本必须在小时内送达检测中心，超过时间，样本就会失效．、两个采样点到检测中心的路程分别为、、两个采样点的送检车有如下信息：
    信息一：采样点送检车的平均速度是采样点送检车的倍；
    信息二：、两个采样点送检车行驶的时间之和为小时．
    若采样点从开始采集样本到送检车出发用了小时，则采样点采集的样本会不会失效？
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，点是正方形内部的一点，，将绕点逆时针方向旋转得到，、的延长线相交于点．
    判断四边形的形状，并说明理由；
    若正方形的边长为，，求的长．
     

25. 如图，某商场门口放置一台可伸缩的测温仪，底座与地面垂直，底座高，连杆，、与始终在同一平面内．
    如图，转动连杆使成平角，转动连杆使，求连杆的端点离地面的高度．
    如图，将图中的连杆固定，把连杆绕点逆时针旋转，此时连杆端点离地面的高度减小了多少？参考数据：，，

26. 如图，已知点、分别是矩形中、边上的动点不与点、、、重合，交于点，连接，，设的面积为．
    当点运动到时，无论点运动到边的何处，______；
    在点、的运动过程中，
    若，求的长；
    求的最大值．
    
    
    
    
    
    
     
27. 如图，已知线段是的一条弦，点是上的一个动点，连接、，的半径为．
    如图，过点作交的延长线于点．
    判断直线与的位置关系，并说明理由；
    若的长为，求的度数；
    如图，过点作分别交、于点、，求的值．

28. 在平面直角坐标系中，若一个函数图象上存在、两点，使得，则称该函数为“垂动点函数”，其中一个点叫做另一个点的“垂动点”．
    正比例函数______“垂动点函数”；填“是”或“不是”
    反比例函数______“垂动点函数”；填“是”或“不是”
    如图，已知第三象限的一点在一次函数图象上，点的“垂动点”是点，轴于点、轴于点，若的面积为，求的面积；
    如图，已知第三象限的一点在二次函数图象上，点的“垂动点”是点，连接交轴于点，过点作于点求点的坐标和点的横坐标的最大值．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：，
绝对值最小的数是，
故选：．
比较，，，的绝对值即可得到答案．
本题考查实数大小比较，解题的关键是掌握绝对值概念及实数大小比较的方法．
 

2.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型．
【解答】
解：、个球都是黑球是随机事件；
B、个球都是白球是不可能事件；
C、三个球中有黑球是必然事件；
D、个球中有白球是随机事件；
故选：．  

3.【答案】
 

【解析】解：，
当时，，
解得，
当时，，
解得，
故选：．
根据绝对值的意义得出，表示到原点和的距离和是的数，分两种情况求出的值即可．
本题主要考查绝对值的意义，熟练掌握绝对值的计算方法是解题的关键．
 

4.【答案】
 

【解析】解：腰长为，且等腰三角形的周长为，
底边为，并且，得，
又，
解得，
的取值范围是．
故选：．
首先用含的式子表示底边，并且底边要大于零，得到关于的不等式；利用三角形的任意两边之和大于第三边得到关于的不等式．解不等式组即可．
本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系；要明确三角形三边的数量关系，即任意两边之和大于第三边．利用解不等式组求解是正确解答本题的关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：如图：

由题意可知：，，
三角板绕点逆时针旋转，
，
，
，
，
故选：．
根据旋转的性质及平行的性质即可解答．
本题考查直角三角形的旋转，解题的关键是掌握旋转的性质及平行的性质及应用．
 

6.【答案】
 

【解析】解：设可以打折销售，
依题意得：，
解得：．
为最小整数，
，
故选：．
设可以打折销售，利用利润售价进价，结合题意即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：，，
，
故选：．
根据幽州角定理可得，再利用正切的定义计算可求解．
本题主要考查解直角三角形，三角形的外接圆与外心，求解的正切值是解题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：作点关于的对称点，连接交与点，连接，，连接，

，
，
，，
，，
点、是的斜边的三等分点，
，
，，
，
的最小值，
当点与重合时，，
当点与重合时，作于，连接，，
在和中，
，
≌，
，
，
，，
，
，
在上，有两个点符合条件，
由对称性可知，在上，有两个点符合条件，
满足条件的点的个数是，
故选：．
先作点关于的对称点，连接交与点，求出的最小值，再求出与重合及与重合时的值判断边上符合条件的的个数，再根据对称性求解．
本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形与最值问题．熟练掌握利用轴对称求最值问题是解题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
 

10.【答案】
 

【解析】解：

，
故答案为：．
先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
 

11.【答案】相等
 

【解析】解：，，，的平均数为：，
方差为；
，，，的平均数为：．
方差为：；
一组数据，，，的方差与另一组数据，，，的方差相等．
故答案为：相等．
根据方差的定义判断即可．
本题考查了平均数和方差，一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
 

12.【答案】
 

【解析】解：，且，






，
故答案为：．
先根据分式的基本性质通分，再根据分式的加法法则进行计算，再根据完全平方公式进行变形，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：原式


．
故答案为：．
先根据积的乘方得到原式，然后利用平方差公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
 

14.【答案】四棱锥
 

【解析】解：这个几何体共有条棱，这个几何体是四棱锥，
故答案为：四棱锥．
根据四棱锥的形体特征进行判断即可．
本题考查认识立体图形，掌握棱锥的形体特征是正确判断的前提．
 

15.【答案】
 

【解析】解：将一次函数的图象向右平移个单位后得到，
一次函数的图象经过点，
，
解得：．
故答案为：．
求得平移后的一次函数的解析式，把点的坐标代入即可求解．
本题目主要考查一次函数图象与几何变换，一次函数图象上的点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：由旋转的性质得：，图形≌图形，
则图中阴影部分的面积图形的面积扇形的面积图形的面积扇形的面积；
故答案为：．
由旋转的性质得：，图形≌图形，图中阴影部分的面积图形的面积扇形的面积图形的面积扇形的面积，代入扇形面积公式计算即可．
本题考查了旋转的性质、扇形面积公式；熟练掌握旋转的性质，得出阴影部分的面积扇形的面积是解题的关键．
 

17.【答案】
 

【解析】解：如图，过点作于点，过点作于点，交于点，连接，，，

由题意得垂直平分线段，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的最大值为，
的面积的最大值为，
故答案为：．
如图，过点作于点，过点作于点，交于点，连接，，，解直角三角形求出，求出的最大值，可得结论．
本题考查垂径定理，勾股定理，三角形的面积，垂线段最短等知识，解题的关键是求出的最大值，属于中考常考题型．
 

18.【答案】
 

【解析】解：点在反比例函数图象上，
，
轴与的图象交于点，
，
轴与反比例函数图象交于点，
，
轴与的图象交于点，
，
轴与反比例函数图象交于点，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据题意，分别表示出，，，，即可找出规律，然后求点的纵坐标即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的综合，找出点的坐标的规律是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式

；
原式


．
 

【解析】先计算乘方，再化简绝对值，最后加减；
先利用平方差公式和完全平方公式算乘法，再加减．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键．
 

20.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
所以不等式组的解集是，
所以整数解是，，，，
所以整数解的和是．
 

【解析】先解不等式组得出不等式组的解集，从而知道不等式组的整数解情况，再求和即可得出答案．
本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是得出不等式组的解集及其整数解的情况．
 

21.【答案】 
 

【解析】解：样本容量为：，
故答案为：；
类人数为：人，
补全条形统计图如下：

类所在扇形的圆心角是：，
故答案为：；
人，
答：估计该市九年级学生课后作业完成时间不少于的有人．
由类的人数及其所占百分比可得答案；
用样本容量分别减去其它四类人数，即可得出类人数，进而补全条形统计图；
用乘类所占比例即可；
用样本估算总体即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

22.【答案】
 

【解析】解：小丽成为密切接触者的概率为，
故答案为：；
将四节车厢分别记作、、、，其中即为确诊患者所乘车厢，列表如下：

由表知，共有种等可能结果，其中小明和小丽同时成为密切接触者的只有种结果，
所以小明和小丽同时成为密切接触者的概率为．
直接根据概率公式求解即可；
将四节车厢分别记作、、、，其中即为确诊患者所乘车厢，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
 

23.【答案】解：设采样点送检车的平均速度是，
根据题意，得，
解得，
经检验，是分式方程的根，
采样点送检车的平均速度为，
采样点送检车的行驶时间为，
，
采样点采集的样本不会失效．
 

【解析】设采样点送检车的平均速度是，根据“、两个采样点送检车行驶的时间之和为小时”列分式方程，解方程，然后求出采样点送检车行驶时间，再进行比较即可．
本题考查了分式方程的应用，理解题意并根据题意建立分式方程是解题的关键．
 

24.【答案】解：四边形是正方形，理由如下：
将绕点逆时针方向旋转得到，
，，，，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形；
四边形是正方形，
，
，
，
，负值舍去，
，，
．
 

【解析】由旋转的性质可得，，，可得结论；
由勾股定理可求的长，即可求解．
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，证明四边形是正方形是解题的关键．
 

25.【答案】解：过点作，垂足为，

则，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
连杆的端点离地面的高度为；
如图：过点作，垂足为，

在中，，，
，
，
如图：过点作，垂足为，过点作，垂足为，

由题意得：
，
在中，，
，
，
连杆端点离地面的高度减小了．
 

【解析】过点作，垂足为，根据题意可得，，从而求出，进而求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算即可解答；
如图：过点作，垂足为，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，如图：过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后计算的值，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

26.【答案】
 

【解析】解：作于，于，则，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
故答案为：；
由可知，
，
，
，即，
或；
设，则，
当时，有最大值为．
作于，于，则，利用平行线分线段成比例定理得到，，从而浅浅的，即可得到，根据即可求得；
由可知，则，根据得到即，解得或；
设，由可知，根据二次函数的性质即可求得的最大值为．
考查了四边形综合题，解答本题时，涉及到了矩形的性质、平行线分线段成比例定理以及二次函数的最值等知识点，这是一道综合性比较强的题目，所以在解答题目时，一定要把各个知识点融会贯通，这样解题时才会少走弯路．
 

27.【答案】解：是的切线；
连接并延长交于，

是的直径，
，
，
，
即，
是的半径，
是的切线；
的长为，
连接，

，
；
连接并延长交于，连接、、，

由题知，，
，
，
，，
，
，
，
．
 

【解析】连接并延长交于，根据直径所对的圆周角为，推出，即可证明是的切线；
根据弧长公式求出圆心角的度数，根据同弧所对的圆心角和圆周角的关系求的度数即可；
连接并延长交于，连接、、，先证，利用勾股定理得出求值即可．
本题主要考查圆的综合题，熟练掌握切线的判定，圆周角定理，勾股定理等知识是解题的关键．
 

28.【答案】不是  不是
 

【解析】解：根据“垂动点函数”的定义，在正比例函数的图象和反比例函数图象上不存在在、两点，使得，
正比例函数不是“垂动点函数”，反比例函数也不是“垂动点函数”，
故答案为：不是，不是；
设，
的面积为，
，
解得此时不在第三象限，舍去或，
，
，，
设，则，，
，
，
又，
∽，
，即，
解得，
，
，，
的面积为；
设，，则，，，，
同可证∽，
，即，
，
，
设直线解析式为，将，代入得：
，
解得，
直线解析式为，
令得，
，
过作轴交轴于，过作于，如图，

设，，，则，，
，
，
又，
∽，
，即，
，
要使最大，需最大，而在，即时，取得最大值，
最大值为，
最大值为，
点的横坐标的最大值是．
根据“垂动点函数”的定义，直接可得答案；
设，由的面积为，得，可得，设，则，，由，可得∽，即有，可解得，故的面积为；
设，，则，，，，由∽，得，即得，，设直线解析式为，将，代入可得直线解析式为，即得，过作轴交轴于，过作于，设，，，则，，由∽，可得，即得，而在，即时，取得最大值，即可得点的横坐标的最大值是．
本题靠二次函数综合应用，涉及新定义，三角形面积，相似三角形判定与性质等知识，解题的关键是读懂新定义，用含字母的代数式表示相关点坐标及相关线段的长度．