上海市进才中学2021-2022学年八年级下学期期中数学试题

这是一份上海市进才中学2021-2022学年八年级下学期期中数学试题，共29页。试卷主要包含了下列命题不正确的是，以下描述和的关系不正确的是，如图，在▱ABCD中，等于等内容，欢迎下载使用。

上海市进才中学2021-2022学年八年级下学期期中数学试题
第I卷（选择题）
评卷人
得分



一、单选题
1．一个n边形的内角和比它的外角和大180°，则n等于（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．平行四边形的两条相邻的边长为、，且满足，则此四边形一定是（       ）
A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．无法确定
3．下列命题不正确的是（       ）．
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．一组对角相等，一组邻角互补的四边形是平行四边形
C．一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
4．以下描述和的关系不正确的是（       ）
A．方向相反 B．模相等 C．平行 D．相等
5．如图，在▱ABCD中，等于（　　）

A． B． C． D．
6．如图，的对角线、交于点，顺次连接各边中点得到一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①；②；③；④，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第II卷（非选择题）
评卷人
得分



二、填空题
7．如果一个多边形的每一个内角都是144°，那么这个多边形是____________边形．
8．如果过多边形的一个顶点共有3条对角线，那么这个多边形的内角和是______度．
9．在□ABCD中，若，则______度．
10．已知矩形ABCD的长和宽分别为8和6，那么顶点A到对角线BD的距离等于______．
11．已知一个菱形的边长为2，较长的对角线长为2，则这个菱形的面积是_____．
12．已知梯形的面积为24cm2，高为4cm，则此梯形的中位线长为____________cm．
13．计算：______．
14．如果一个四边形的两条对角线长分别为7cm和12cm，那么顺次联结这个四边形各边中点所得四边形的周长是______cm．
15．如图，有甲乙两张纸条，甲纸条对折后与乙纸条宽度相等，将这两张纸条随意交叉重叠放在一起，重合的部分构成一个四边形ABCD，那么AB与BC的数量关系是______．

16．已知直角梯形ABCD中，，，，，，则______．
17．如果一个平行四边形的内角平分线与边相交，并且这条边被分成 3、5 两段，那么这个平行四边形的周长为 ______________．
18．如图，已知矩形ABCD的长，，将其折叠，使点D与点B重合，求折叠后折痕EF的长是______．

评卷人
得分



三、解答题
19．一把梯子如图所示，其中四边形AKLB是梯形．已知，， m， m，求CD、EF的长．

20．如图，点E在平行四边形ABCD的对角线BD上．
（1）填空：=　　　；=　　　；
（2）求作：．（不写作法，保留作图痕迹，写出结果）．

21．如图，已知□，点分别是边上的点，且分别过点作，垂足为点，求证：．

22．如图，在正方形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且，联结AE、AF、CE、CF．求证：四边形AECF是菱形．

23．已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，AD=3cm，BC=7cm，求梯形的高．

24．如图，已知梯形ABCD中，，E、F分别是AB、CD的中点，点G在边BC上，且．       

(1)求证：四边形DEGF是平行四边形；
(2)连接DG，若，求证：四边形DEGF是矩形．
25．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点．过点A的直线交y轴正半轴于点C，且点C为线段OB的中点．

(1)求直线AC的表达式．
(2)平面内是否存在点P，使得四边形ACPB是平行四边形?若存在，请求出点P的坐标．
(3)若点Q为直线AC上的一点，且满足的面积为30，求点Q的坐标．
26．如图1，梯形ABCD中，，，，，，点P是AD延长线上一点，F为DC的中点，连接BP，交线段DF于点G．

(1)当时，求DP的长．
(2)如图2，点E为BP中点，连接EF．

①若设，，求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围．
②连接DE和PF，若，求DP长.


参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
根据n边形的内角和为（n﹣2）•180°，外角和等于360°列出方程求解即可．
【详解】
根据题意得：
（n﹣2）•180°﹣360°=180°，
解得n=5．
故选C．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，注意利用多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°是解题的关键．
2．C
【解析】
【分析】
先将已知等式变形为，由此可得a=b，再根据菱形的判定方法判断即可．
【详解】
解：∵，
∴，即，
∴a=b，
∴原平行四边形为菱形．
故选：C．
【点睛】
本题考查了多项式的因式分解和菱形的判定等知识，属于基本题型，正确进行变形、得出a=b是解题的关键．
3．A
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定定理，正方形的判定定理逐项分析判断即可．
【详解】
A选项：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以本命题说法不正确，符合题意；
B选项：一组对角相等，一组邻角互补的四边形是平行四边形，本命题说法正确，不符合题意；
C选项：一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形，本命题说法正确，不符合题意；
D选项：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，本命题说法正确，不符合题意.故选A．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定，正方形的判定定理，掌握平行四边形与正方形的判定定理是解题的关键．
4．D
【解析】
【分析】
利用单位向量的定义和性质直接判断即可．
【详解】
解：A、和的关系是方向相反，正确；
B、和的关系是模相等，正确；
C、和的关系是平行，正确；
D、和的关系不相等，错误；
故选：D．
【点睛】
此题考查平面向量问题，解题时要认真审题，注意单位向量、零向量、共线向量的定义和的性质的合理运用．
5．B
【解析】
【分析】
由四边形ABCD是平行四边形，求得=，然后由平行四边形法则求得答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
即=，
∴=+=．
故选B．
6．C
【解析】
【分析】
根据顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．逐一对四个条件进行判断．
【详解】
解：顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．
①新的四边形成为矩形，符合条件；
②四边形是平行四边形，．
．
根据等腰三角形的性质可知．所以新的四边形成为矩形，符合条件；
③四边形是平行四边形，．
．
．
四边形是矩形，连接各边中点得到的新四边形是菱形，不符合条件；
④，
，即平行四边形的对角线互相垂直，
新四边形是矩形．符合条件．所以①②④符合条件．
故选：．
【点睛】
本题考查特殊四边形的判定与性质，掌握矩形、平行四边形的判定与性质是解题的关键．
7．十
【解析】
【分析】
试题分析∶根据平角的定义，先求出每一个外角的度数，多边形的边数等于360°除以外角的度数，列式计算即可．
【详解】
解：∵多边形每个内角都为144°，
∴多边形每个外角都为180°﹣144°=36°，
∴边数=360°÷36°=10．
故答案为：十．
【点睛】
本题考查了正多边形的外角和，熟记多边形的外角和是360°是解题的关键．
8．720
【解析】
【分析】
根据过多边形的一个顶点共有3条对角线，则这个多边形的边数是6，n边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，代入公式就可以求出内角和．
【详解】
解：∵过多边形的一个顶点共有3条对角线，
∴该多边形边数为6，
∴（6-2）•180°=720°，
∴这个多边形的内角和为720°，
故答案为：720．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和公式，多边形的对角线，解题的关键是掌握多边形对角线规律．
9．59
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质（对角相等，邻角互补）得出，求出，根据平行线的性质得出，再代入即可求出．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴，
∴，
故答案为：59．

【点睛】
本题主要考查了平行线的性质和平行四边形的性质．
10．
【解析】
【分析】
根据矩形的性质，利用面积法来求解即可．
【详解】
解：如下图，

∵ 矩形ABCD的长和宽分别为8和6，
∴ AD =8，AB =6，
∴S△ABD =×8×6=24，
∵，S△ABD =×10AE=24，
∴×10AE=24，
解得 AE =，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握矩形的四个角是直角的性质．
11．
【解析】
【详解】
分析：根据菱形的性质结合勾股定理可求出较短的对角线的长，再根据菱形的面积公式即可求出该菱形的面积．
详解：依照题意画出图形，如图所示．

在Rt△AOB中，AB=2，OB=，
∴OA==1，
∴AC=2OA=2，
∴S菱形ABCD=AC•BD=×2×2=2．
故答案为2．
点睛：本题考查了菱形的性质以及勾股定理，根据菱形的性质结合勾股定理求出较短的对角线的长是解题的关键．
12．6
【解析】
【分析】
首先表示出梯形的面积求解方法与梯形中位线的求解方法，比较即可得到：梯形的面积是梯形中位线与梯形高的积，代入数值即可求得．
【详解】
解：∵S梯形ABCD=（AD+BC）•AK，EF=（AD+BC），
∴S梯形ABCD=EF•AK，
∵梯形的面积为24cm2，高为4cm，
∴EF=6cm．
∴此梯形的中位线长为6cm．
故答案为6．

13．
【解析】
【分析】
根据平面向量的加减法计算即可．
【详解】
解：
=，
=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平面向量的加减法，解题的关键是掌握平面向量的加减法计算法则．
14．19
【解析】
【分析】
根据三角形中位线定理，新四边形是平行四边形，且一组邻边分别等于原四边形两条对角线的一半，据此可求周长．
【详解】
解：如图，

∵点E、F、G、H分别是边AD、AB、BC、CD的中点，
∴，
∴四边形EFGH的周长=EF+GH+EH+FG=．
故答案为：19
【点睛】
此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．熟记三角形中位线的性质是解题的关键．
15．
【解析】
【分析】
过A作AE⊥BC于E、作AF⊥CD于F，证明△ABE∽△ADF，根据相似三角形的性质列出等式即可求解
【详解】
解：如图，过A作AE⊥BC于E、作AF⊥CD于F，

根据题意得：甲纸条的宽度是乙纸条宽的2倍，
则AE=2AF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC =∠ADC， AD = BC，
∴∠AEB =∠AFD = 90°，
∴△ABE∽△ADF，
∴AB:AD= AE:AF=2:1，
∴ AB = 2AD = 2BC．
故答案为：AB=2BC．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
16．8或24##24或8
【解析】
【分析】
分两种情况画图：①过点 C 作 CE⊥AB 于 E ，再根据勾股定理求出 BE 的长，进而可得 CD 的长；②过点 C 作BE⊥CD于 E ，再根据勾股定理求出 CE 的长，进而可得 CD 的长．
【详解】
解：①如下图，过点 C 作CE⊥AB于 E ，

得四边形 DAEC 为矩形，
∴CE = AD =15， CD = AE ，
在 Rt△ABE 中， BC =17，根据勾股定理，得，
，
∴AE = AB - BE =16-8=8，
∴CD =8；
②如下图，过点 C 作BE⊥CD于 E ，

得四边形 ADEB 为矩形，
∴ BE = AD =15， DE = AB =16，
在 Rt△CBE 中， BC =17，根据勾股定理，得
，
∴ CD = DE + CE =16+8=24，
综上所述： CD 的长为8或24，
故答案为：8或24．
【点睛】
本题考查了直角梯形，勾股定理，矩形的判定与性质，解题的关键是利用分类讨论思想画图解答．
17．26 或 22
【解析】
【分析】
根据题意可证明AE=AB，由于一边被分成了3、5两段，可分两种情况讨论，一是AE=5，DE=3，二是AE=3，DE=5，再计算平行四边形的周长即可．
【详解】
解：设平行四边形ABCD，BE平分∠ABC∠AD于点E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC
∴∠AEB=∠EBC，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC
∴∠AEB=∠ABE
∴AE=AB
根据题意，可分如下两种情况，
①当AE=5，DE=3时，如图1所示，
则AD=3+5=8，AB=AE=5
∴平行四边形的周长为：2（8+5）=26，
②当AE=3，DE=5时，
则AB=AE=3，AD=3+5=8，
∴平行四边形的周长为：2（8+3）=22
故答案为：22或26．

【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义以及平行四边形周长的计算，解题的关键是画出图形，分类讨论．
18．
【解析】
【分析】
作于M，设，则，根据勾股定理得：，建立方程，解方程求得，即可求得，勾股定理即可求解
【详解】
作于M，如图所示：

则，，根据题意得：，，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
根据勾股定理得：，
即，解得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
根据勾股定理得：，
故答案为：.
【点睛】
本题考查了矩形折叠问题，利用勾股定理建立方程是解题的关键．
19．CD=0.58m，EF=0.66m
【解析】
【分析】
根据梯形中位线的性质，求出EF =( AB + KL )，GH =( EF +KL)， CD=( EF +AB)，求出KL的值，即可得答案．
【详解】
解：∵AC=CE=EG=GK，AC + CE = AE ， EG + GK = EK ，
∴AE = EK ，
同理，可得 BF= FL ，
∴ EF 是梯形 AKLB 的中位线，
∴EF // AB // KL ，EF =( AB + KL )，
同理，可得 GH =( EF +KL)， CD=( EF +AB)，
∵AB=0.5 m，GH=0.74 m，
∴EF =( AB + KL )=（0.5+KL）=+KL，
∵GH =( EF+KL )，
∴0.74=×（+KL+KL），
解得：KL=0.82，
∴EF =( AB + KL )=×（0.5+0.82）=0.66（m），
∴CD=( EF +AB)= ×（0.66+0.5）=0.58（m），
∴CD=0.58m，EF=0.66m．
【点睛】
本题考查了梯形的中位线的性质，一元一次方程的解法，解题的关键是掌握梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．
20．（1）；；（2）作图见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据，﹣，等量代换后运算即可；
（2）将转化为，将△ADE向右补全为平行四边形，则AF即是所求向量．
【详解】
解：（1）∵，﹣，
∴；；
（2）所作图形如下：

∴即为所求向量．
【点睛】
本题考查了向量的知识，注意掌握向量的加减运算法则及向量的平移，属于基础题．
21．证明见解析．
【解析】
【分析】
由平行四边形对边相等、对边平行的性质，解得，根据已知条件计算得，再由两直线平行，内错角相等解得，进而证明，最后根据全等三角形对应边相等的性质解题即可．
【详解】
证明：四边形是平行四边形，


，即


,,

（AAS）

【点睛】
本题考查平行四边形的性质、平行线定理、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
22．答案见解析
【解析】
【分析】
连接，交点为，由正方形的性质得，，且，再由已知条件得，从而得出四边形菱形．
【详解】
证明：如图，连接，交点为，

四边形为正方形，
，，，
，
，
四边形菱形（对角线平分且垂直的四边形为菱形）．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、菱形的判定和性质，熟练掌握性质以及判定定理是解题的关键．
23．5cm
【解析】
【分析】
作AE∥BD交CB的延长线于点E，构建平行四边形，利用已知条件，求出高的长．
【详解】
解：如图：

过点A作AE∥BD交CB的延长线于点E
∵AD∥BC
∴四边形AEBD为平行四边形
∴AD=BE=3cm，AE=BD
∵AC⊥BD
∴AE⊥AC
∵等腰梯形ABCD中
∴AC=BD
∴AE=AC
∴梯形的高是Rt△AEC的中线
∴梯形的高是：EC=（EB+BC）=5cm．
【点睛】
此题考查了等腰梯形的性质，等腰梯形的对角线相等；此题还考查了等腰三角形与直角三角形的性质，解题时要注意辅助线的作法．
24．(1)答案见解析
(2)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）连接 EF，利用梯形中位线定理证得四边形 EGCF 是平行四边形；然后根据已知条件推知四边形DEGF的对边 EG = DF 且 EG // DF ，易证四边形DEGF是平行四边形；
（2）连接EF，DG相交于点O，先证四边形DEGF是平行四边形，再证EF= DG，即可得答案．
(1)
解：如下图，连接 EF ，

∵四边形 ABCD 是梯形， AD // BC ， E 、F 分别为 AB 、CD 的中点，
∴ EF =( AD + BC )，EF // AD // BC ，
∵ CG =( AD + BC )，
∴EF = CG ，
∵EF // GC，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∴EG // FC ，EG = FC，
∵F是CD的中点，
∴FC=DF，
∴ EG // DF ，EG = DF ，
∴四边形DEGF是平行四边形；
(2)
如下图，连接EF，DG相交于点O，

∵∠ADG = 2∠ADE，
∴∠ADE=∠EDG，
∵EF//AD，
∴∠ADE=∠DEO，
∴∠EDG =∠DEO，
∴EO= DO，
∵四边形DEGF是平行四边形，
∴EO= EF，DO=DG，
∴EF= DG，
∴四边形DEGF是矩形．
【点睛】
本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质以及梯形的中位线定理，解题的关键是在证四边形DEGF是矩形时，必须先说明四边形DEGF是平行四边形．
25．(1)
(2)存在，
(3)或
【解析】
【分析】
（1）根据一次函数解析式求得的坐标，进而求得点的坐标，待定系数法求直线AC的表达式即可；
（2）过点P作y轴的垂线，垂足为Q，证明，，进而可得，，即可求得的坐标；
（3）过点B作于点H，勾股定理求得的长，进而根据三角形面积公式求得的长，由点Q在直线AC：上，设Q点坐标为，根据勾股定理列出方程即可求解．
(1)
∵函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，
令，，令，
∴，，
∵点C为线段OB的中点，
∴，
设直线AC的表达式为，
∴，
解得：，
故直线AC的表达式为.
(2)
∵四边形ACPB是平行四边形.
∴且，且，
如图1，

过点P作y轴的垂线，垂足为Q，
∵，
∴，在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴.
(3)
如图所示，过点B作于点H，

，，
，

是等腰直角三角形

∵点Q为直线AC上一点且的面积为30，
∴，
∴，
∵点Q在直线AC：上，
∴设Q点坐标为，
∴，
∴，则，，
当时，，则，
当时，，则，
故Q点坐标为或
【点睛】
本题考查了一次函数与几何图形结合，平行四边形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
26．(1)2
(2)①；②或4．
【解析】
【分析】
（1）设，勾股定理求得，根据已知等式建立方程，解方程求解即可；
（2）①连接DE并延长交BC于点M，过D作于点H，证明，勾股定理求得，，，，代入化简整理即可求得函数解析式；
②当时，四边形DEFP为平行四边形，当时，四边形DEFP为等腰梯形，过E作于点Q，，由，，根据平行线分线段成比例可得,则，解方程求解即可．
(1)
设，
∵在直角三角形ABP中，，，，
∴.
∵.
∴，
解得：，
∴DP=2；
(2)
①连接DE并延长交BC于点M，

∵F为DC的中点，，
∴，
∴，
∵，
在和中，

∴，
∴，
过D作于点H，则，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴.
②∵，，
当时，四边形DEFP为平行四边形．
∴，
∴.
当时，四边形DEFP为等腰梯形，
过E作于点Q，.

∵，，
∴，
∴.
∴，
解得：.
∴PD的长为或4.
【点睛】
本题考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，平行线分线段成比例，掌握以上知识是解题的关键．