2021江苏省如皋市高一下学期第一次月考数学试题含解析

这是一份2021江苏省如皋市高一下学期第一次月考数学试题含解析，共18页。试卷主要包含了设复数，其中i为虚数单位，则＝，下列四个选项中，化简正确的是等内容，欢迎下载使用。
江苏省如皋市2020—2021学年高一下学期第一次月考
数学试题
2021．3
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．若复数，其中i为虚数单位，则z的模是
A． B．2 C． D．
2．△ABC中，角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c，若A＝60°，a＝，则 等于
A． B． C． D．2
3．在△ABC中，角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c，若B＝，，则sinA＝
A．0 B． C． D．
4．设复数，其中i为虚数单位，则＝
A．0 B．1 C．i D．﹣1
5．在△ABC中，已知b＝，c＝，C＝30°，则此三角形的解的情况是
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．有解但解的个数不确定
6．已知角的顶点在坐标原点O，始边与x轴的正半轴重合，将角的终边绕O点逆时针旋转后，经过点(﹣3，4)，则sin＝
A． B． C． D．
7．若，0＜＜，则sin2＋cos2＝
A． B． C． D．
8．某地市委、市政府坚持创新、协调、绿色、开放、共享的发展理念，把高质量发展同满足人民美好生活需要紧密结合起来，坚持生态优先．下图是该市某公园三期规划的一角示意图．边长为3百米的正方形花圃中，建有以A为圆心，1百米为半径的扇形水池，现需在其余部分设计一个矩形草坪PNCQ，其中P是水池边上任意一点，点N，Q分别在边BC和CD上，则规划中矩形草坪PNCQ面积的最小值为（ ）平方百米．
A． B． C．4 D．6
二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．下列四个选项中，化简正确的是
A．
B．sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝
C．
D．
10．下列关于复数的命题中（i为虚数单位），说法正确的是
A．若关于x的方程(aR)有实根，则
B．复数z满足，则z在复平面对应的点位于第二象限
C．1＋2i是关于x的方程的一个根，其中p、q为实数，则q＝5
D．，(i为虚数单位，aR)，若a＞，则
11．已知函数，下列结论正确的是
A．函数的最小正周期为
B．[，]是函数的增区间
C．函数的图像关于点(，0)对称
D．函数的图像可由函数的图像向左平移个单位得到
12．在△ABC中，角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c，下列命题中正确的是
A．若tanA＋tanB＋tanC＞0，则△ABC一定是锐角三角形
B．若acosB＝bcosA＋c，则△ABC一定是直角三角形
C．若sinA＋sinB＝sinC(cosA＋cosB)，则△ABC一定是钝角三角形
D．若，则△ABC一定是锐角三角形
三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．已知，其中i为虚数单位，若复数z的实部为正数，则z＝ ．
14．已在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c，tanC＝3tanA，若cosB＝，则A值为 ．
15．如果三个函数的图像交于一点，我们把这个点称为“三重点”，若点P是函数，t为常数，，，x(0，)的三重点，则t的值为 ．
16．A、B、C是水面下共线的三个声波监测点，B、C两点到A的距离分别为40千米和100千米，某时刻，B收到发自水面下静止目标P的一个声波信号，16秒后，A，C同时接到该声波信号，声波在水中的传播速度为1.5千米秒．则A到P的距离为 千米；P到直线AC的距离为 千米．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知函数．
（1）求函数的图像的对称轴的方程；
（2）若，求函数的值域．





18．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c，，，、为锐角，且2B＝．
（1）求B的值；
（2）若b＝2，求的最大值．







19．（本小题满分12分）
已知、(，)，且，．
（1）求的值；
（2）求的值．






20．（本小题满分12分）
已知＝(sinx﹣cosx，﹣2)，＝(1，sinxcosx)，，其中x[，]．
（1）求函数的值域；
（2）若存在[，]，使得，求的值．







21．（本小题满分12分）
在△ABC中，D为边BC上一点，AD＝6．
（1）若AD⊥BC，且BD＝3，DC＝2，求∠BAC的大小；
（2）若BD＝4，cosB＝，DC＝4，求△ADC的面积．







22．（本小题满分12分）
某中学在学校大门处设计有巨型校徽标志，整体为半圆形，其直径AB长为4米（如图），微标的核心部分为梯形ACDE，它由三个区域构成：区域I为等边三角形AOC，区域II为△DOE，区域III为等腰三角形OCD，其中DE∥AC，点C、D都在半圆弧AB上，点E在半径OB上，记∠DOB＝．
（1）试用表示区域I的面积，并写出的取值范围；
（2）若区域III的面积为x平方米，求区域I的面积（用x表示），并求微标核心部分面积的最大值．






江苏省如皋市2020—2021学年高一下学期第一次月考
数学试题
2021．3
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．若复数，其中i为虚数单位，则z的模是
A． B．2 C． D．
答案：D
解析：，，选D．
2．△ABC中，角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c，若A＝60°，a＝，则 等于
A． B． C． D．2
答案：C
解析：，故选C．
3．在△ABC中，角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c，若B＝，，则sinA＝
A．0 B． C． D．
答案：D
解析：，
，，．故选D．
4．设复数，其中i为虚数单位，则＝
A．0 B．1 C．i D．﹣1
答案：B
解析：，，，
，故选B．
5．在△ABC中，已知b＝，c＝，C＝30°，则此三角形的解的情况是
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．有解但解的个数不确定
答案：B
解析：求得，又，故两解，选B．
6．已知角的顶点在坐标原点O，始边与x轴的正半轴重合，将角的终边绕O点逆时针旋转后，经过点(﹣3，4)，则sin＝
A． B． C． D．
答案：A
解析：设角的终边经过点(﹣3，4)，则，，
则，选A．
7．若，0＜＜，则sin2＋cos2＝
A． B． C． D．
答案：D
解析：，且＞，所以 (，)，所以(，)，故cos＜0，故，故sin2＋cos2＝，故选D．
8．某地市委、市政府坚持创新、协调、绿色、开放、共享的发展理念，把高质量发展同满足人民美好生活需要紧密结合起来，坚持生态优先．下图是该市某公园三期规划的一角示意图．边长为3百米的正方形花圃中，建有以A为圆心，1百米为半径的扇形水池，现需在其余部分设计一个矩形草坪PNCQ，其中P是水池边上任意一点，点N，Q分别在边BC和CD上，则规划中矩形草坪PNCQ面积的最小值为（ ）平方百米．
A． B． C．4 D．6
答案：B
解析：设∠PAM＝，矩形草坪PNCQ面积为S，
则，
设，[0，]，则[1，]，
则，当时，Smin＝，故选B．
二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．下列四个选项中，化简正确的是
A．
B．sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝
C．
D．
答案：CD
解析：，故A错误；sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝，故B错误．故选CD．
10．下列关于复数的命题中（i为虚数单位），说法正确的是
A．若关于x的方程(aR)有实根，则
B．复数z满足，则z在复平面对应的点位于第二象限
C．1＋2i是关于x的方程的一个根，其中p、q为实数，则q＝5
D．，(i为虚数单位，aR)，若a＞，则
答案：AC
解析：复数z满足，则z在复平面对应的点位于第四象限，故B错误；两个复数（非实数）无法比较大小，故D错误．故选AC．
11．已知函数，下列结论正确的是
A．函数的最小正周期为
B．[，]是函数的增区间
C．函数的图像关于点(，0)对称
D．函数的图像可由函数的图像向左平移个单位得到
答案：AC
解析：，当[，]时，[，]，故[，]是函数的减区间，B错误；函数的图像向左平移个单位得到，故D错误．故选AC．
12．在△ABC中，角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c，下列命题中正确的是
A．若tanA＋tanB＋tanC＞0，则△ABC一定是锐角三角形
B．若acosB＝bcosA＋c，则△ABC一定是直角三角形
C．若sinA＋sinB＝sinC(cosA＋cosB)，则△ABC一定是钝角三角形
D．若，则△ABC一定是锐角三角形
答案：AB
解析：若sinA＋sinB＝sinC(cosA＋cosB)，则△ABC一定是直角三角形，故C错误；若，则△ABC一定是直角三角形，故D错误．故选AB．
三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．已知，其中i为虚数单位，若复数z的实部为正数，则z＝ ．
答案：
解析：设，则，则，，又，求得a＝3，b＝﹣4，故．
14．已在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c，tanC＝3tanA，若cosB＝，则A值为 ．
答案：
解析：因为cosB＝，所以tanB＝2，因为tanC＝3tanA，所以﹣tan(A＋B)＝3tanA，
所以，因为tanA＞0，所以tanA＝1，故A＝．
15．如果三个函数的图像交于一点，我们把这个点称为“三重点”，若点P是函数，t为常数，，，x(0，)的三重点，则t的值为 ．
答案：1
解析：，因为＞0，解得，故t＝1．
16．A、B、C是水面下共线的三个声波监测点，B、C两点到A的距离分别为40千米和100千米，某时刻，B收到发自水面下静止目标P的一个声波信号，16秒后，A，C同时接到该声波信号，声波在水中的传播速度为1.5千米秒．则A到P的距离为 千米；P到直线AC的距离为 千米．
答案：62，
解析：设PA＝x，则PB＝x﹣24，
则，解得x＝62，故P到AC的距离h＝ ．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知函数．
（1）求函数的图像的对称轴的方程；
（2）若，求函数的值域．
解（1）

，
（2）因为
所以
所以
所以的值域为
18．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c，，，、为锐角，且2B＝．
（1）求B的值；
（2）若b＝2，求的最大值．
解（1）因为，，、为锐角
所以，

又
所以，即 6分
（2）由正弦定理得
又，，可得
所以
又，
所以当时，即时，取最大值4
19．（本小题满分12分）
已知、(，)，且，．
（1）求的值；
（2）求的值．
解（1）因为，，
所以
所以

故
（2）因为，
所以




又，所以
20．（本小题满分12分）
已知＝(sinx﹣cosx，﹣2)，＝(1，sinxcosx)，，其中x[，]．
（1）求函数的值域；
（2）若存在[，]，使得，求的值．
解：（1）
设，则
所以
又，
所以，即
在上单调递增
时，；时，
的值域为
（2）由，
得，即
故
21．（本小题满分12分）
在△ABC中，D为边BC上一点，AD＝6．
（1）若AD⊥BC，且BD＝3，DC＝2，求∠BAC的大小；
（2）若BD＝4，cosB＝，DC＝4，求△ADC的面积．
解（1）因为，，，
所以，

又是的一个内角，所以
（2）在中，由余弦定理得
，得（负值舍去）
又
由正弦定理得
则
所以
22．（本小题满分12分）
某中学在学校大门处设计有巨型校徽标志，整体为半圆形，其直径AB长为4米（如图），微标的核心部分为梯形ACDE，它由三个区域构成：区域I为等边三角形AOC，区域II为△DOE，区域III为等腰三角形OCD，其中DE∥AC，点C、D都在半圆弧AB上，点E在半径OB上，记∠DOB＝．
（1）试用表示区域I的面积，并写出的取值范围；
（2）若区域III的面积为x平方米，求区域I的面积（用x表示），并求微标核心部分面积的最大值．

解（1）题意得，在中由正弦定理得

所以
所以
所以 6分
（2）由题意得，即
，，则
又
设，则，

所以，
，
当时，即时
最大值为
答（略）