2021乌鲁木齐四中高一年级下学期期中考试数学试题含答案

乌鲁木齐市第四中学2020-2021学年度下学期阶段性诊断测试

高一数学试题

一、选择题

1．的内角，，所对的边分别是，，，若，，，则等于（    ）

A．1 B． C． D．2

2．若向量，，则（   ）

A． B． C． D．

3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝（    ）

A．1∶2∶3 B．3∶2∶1

C．2∶∶1 D．1∶∶2

4．设等差数列的前项和为，若，则（    ）

A． B． C． D．

5．等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，，则（    ）

A． B． C． D．

6．等比数列中，，则数列的前6项和为（    ）

A．21     B．1        C．2         D．11

7．已知向量，，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

8．已知点D是所在平面上一点，且满足，则（    ）

A． B． C． D．

9．向量，，，且，则实数λ=（    ）

A．3 B． C．7 D．

10．向量的模为10，它与向量的夹角为，则它在方向上的投影为（    ）

A．5 B． C． D．

11．在中，已知，则的形状是（    ）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形

12．设的内角所对的边分别是，其中，那么满足条件的（　　）

A．有一个解 B．有两个解 C．不能确定 D．无解

二、填空题

13．在中，角所对的边分别为，，，的面积为，则______．

14．已知向量，，若，则实数的值为______．

15．已知等差数列中，，，则其前项和的最小值为______．

16．数列的前项和，则该数列的通项公式为__________．

三 、解答题

17．在△ABC中，a=7，b=8，cosB= –．

（Ⅰ）求∠A；

（Ⅱ）求AC边上的高．

18．设向量,,记

（1）求函数的单调递减区间；

（2）求函数在上的值域．

19．已知是等比数列，，.

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前项和.

20．已知数列为等差数列，公差，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）令，求数列的前项和.

21．已知函数.

（1）若函数是偶函数，求的值；

（2）若函数在上，恒成立，求的取值范围.

1. D
2. A
3. D
4. C
5. B
6. A
7. A
8. D
9. B
10. A
11. D
12. B
13. 8
14. -1
15. -4
16. An=2n-1

一、解答题

1．在△ABC中，a=7，b=8，cosB= –．

（Ⅰ）求∠A；

（Ⅱ）求AC边上的高．

2．设向量,,记

（1）求函数的单调递减区间；

（2）求函数在上的值域．

3．已知是递增的等差数列，，是方程的根.

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前项和.

4．已知数列为等差数列，公差，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）令，求数列的前项和.

5．已知函数.

（1）若函数是偶函数，求的值；

（2）若函数在上，恒成立，求的取值范围.

参考答案

1．(1) ∠A=  (2) AC边上的高为

【来源】专题4.1 解三角形-2021年高考数学解答题挑战满分专项训练（新高考地区专用）

【详解】

分析：（1）先根据平方关系求,再根据正弦定理求，即得；（2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求，解得边上的高．

详解：解：（1）在△ABC中，∵cosB=–，∴B∈（，π），∴sinB=．由正弦定理得 =，∴sinA=．∵B∈（，π），∴A∈（0，），∴∠A=．

（2）在△ABC中，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA==．

如图所示，在△ABC中，∵sinC=，∴h==，∴AC边上的高为．

点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.

2．（1）；（2）.

【来源】江西省南昌外国语学校2019-2020学年高二10月月考数学试题

【详解】

分析：（1）利用向量的数量积的坐标运算式，求得函数解析式，利用整体角的思维求得对应的函数的单调减区间；

（2）结合题中所给的自变量的取值范围，求得整体角的取值范围，结合三角函数的性质求得结果.

详解：（1）依题意,得

．

由,解得

故函数的单调递减区间是．

（2）由（1）知,

当时,得,所以,

所以,

所以在上的值域为．

点睛：该题考查的是有关向量的数量积的坐标运算式，三角函数的单调区间，三角函数在给定区间上的值域问题，在解题的过程中一是需要正确使用公式，二是用到整体角思维.

3．（1）;（2）.

【来源】专题19 数列的求和问题-十年（2011-2020）高考真题数学分项

【分析】

（1）方程的两根为，由题意得，在利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用“错位相减法”、等比数列的前项和公式即可求出．

【详解】

方程x2－5x＋6＝0的两根为2，3.

由题意得a2＝2，a4＝3.

设数列{an}的公差为d，则a4－a2＝2d，故d＝，从而得a1＝.

所以{an}的通项公式为an＝n＋1.

（2）设的前n项和为Sn，

由（1）知＝，

则Sn＝＋＋…＋＋，

Sn＝＋＋…＋＋，

两式相减得

Sn＝＋－

＝＋－，

所以Sn＝2－.

考点：等差数列的性质；数列的求和．

【方法点晴】

本题主要考查了等差数列的通项公式、“错位相减法”、等比数列的前项和公式、一元二次方程的解法等知识点的综合应用，解答中方程的两根为，由题意得，即可求解数列的通项公式，进而利用错位相减法求和是解答的关键，着重考查了学生的推理能力与运算能力，属于中档试题．

4．（1）；（2）

【来源】吉林省长春市农安县2020-2021学年高二上学期期中考试数学（文）试题

【分析】

（1）利用题目所给两个已知条件求出首项和公差，由此求得数列的通项公式.（2）由（1）求得的表达式，再利用裂项求和法求得数列的前项和.

【详解】

（1）由题意可知，，.

又，，，，，

.故数列的通项公式为.

（2）由（1）可知， ，

.

【点睛】

本小题主要考查等差数列通项公式的求解，考查裂项求和法求数列的前项和.求等差数列通项公式的题目，往往会给两个条件，将两个条件解方程组，可求得，由此可求得等差数列的通项公式.如果数列是两个等差数列乘积的倒数的形式，那么可以利用裂项求和法求得前项和.

5．(1) ;（2）

【来源】江苏省苏州市吴江区汾湖中学2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题

【分析】

(1)利用偶函数的定义判断得解；（2）对x分三种情况讨论，分离参数求最值即得实数k的取值范围.

【详解】

（1）由题得，

由于函数g(x)是偶函数，所以，

所以k=2.

（2）由题得在上恒成立，

当x=0时，不等式显然成立.

当，所以在上恒成立，

因为函数在上是减函数，所以.

当时，所以在上恒成立，

因为函数在上是减函数，在上是增函数，

所以.

综合得实数k的取值范围为.

【点睛】

本题主要考查函数的奇偶性的判断，考查函数的单调性的判断和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.