2022高考压轴卷 数学（理）（全国甲卷） Word版含解析

这是一份2022高考压轴卷 数学（理）（全国甲卷） Word版含解析，共18页。试卷主要包含了设复数z满足，下列函数中，在区间，00873B，圆上的点到直线的距离的最小值为，在的展开式中，含项的系数为等内容，欢迎下载使用。

KS5U2022全国甲卷高考压轴卷数学（理）word版含解析
一．选择题（本题共12个小题，每个小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合A＝{x|2x﹣8＜2﹣3x}，B＝{x|x2﹣4x+3＜0}，则A∪B＝（　　）
A．（1，2） B．（2，3） C．（﹣∞，3） D．（1，3）
2.设复数z满足（1+i）z＝4i，则|z|＝（　　）
A． B． C．2 D．2
3.下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（　　）
A．y＝ B．y＝2﹣x C．y＝ D．y＝
4.刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家，他提出“割圆求周”方法:当n很大时，用圆内接正n边形的周长近似等于圆周长，并计算出精确度很高的圆周率.在《九章算术注》中总结出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”的极限思想，可以说他是中国古代极限思想的杰出代表．运用此思想，当取3.1416时可得的近似值为（ ）
A. 0.00873 B. 0.01745 C. 0.02618 D. 0.03491
5.已知一个几何体的三视图如图所示，俯视图为等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）

A. B. C. 2 D.
6.某程序框图如图所示，该程序运行后输出S的结果是（ ）

A. B.
C. D.
7.我国数学家张益唐在“孪生素数”研究方面取得突破，孪生素数也称为孪生质数，就是指两个相差2的素数，例如5和7，在大于3且不超过20的素数中，随机选取2个不同的数，恰好是一组孪生素数的概率为（）
A. B. C. D.
8.圆上的点到直线的距离的最小值为
A. 1 B. 2 C. 4 D. 5
9.在的展开式中，含项的系数为（ ）
A. －80 B. －40 C. 40 D. 120
10.已知实数x，y满足约束条件，则z＝的最小值为（　　）
A． B． C．2 D．3
11.已知双曲线＝1的右焦点为F，点M在双曲线上且在第一象限，若线段MF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线MF的斜率是（　　）
A． B． C． D．
12.已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二．填空题（本题共4个小题，每个小题5分，共20分）
13.函数f(x)是定义在R上的奇函数，当时，，则______．
14.在新高考改革中，学生可从物理、历史、化学、生物、政治、地理、技术7科中任选3科参加高考，现有甲、乙两名学生先从物理、历史2科中任选1科，再从化学、生物、政治、地理、技术5科中任选2科，则甲、乙两人恰有1门学科相同的选法有 　　种．
15.已知点O（0，0），A（1，2），B（m，0）（m＞0），则cos＜，＞＝　　，若B是以OA为边的矩形的顶点，则m＝　 　．
16.数列{an}是首项，公差为的等差数列，其前和为Sn，存在非零实数，对任意有恒成立，则的值为__________．
三、解答题（本题共5个小题,第17-21题没题12分,解答题应写出必要的文字说明或证明过程或演算步骤）
17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）＝c．
（1）求C；
（2）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
18.已知数列{an}的前n项和为Sn且Sn＝2n2+n，n∈N*，数列{bn}满足an＝4log2bn+3，n∈N*．
（Ⅰ）求an和bn的通项公式；
（Ⅱ）求数列{an•bn}的前n项和Tn．
19.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，PA=AB=BC=2，AD=4，E为棱PD的中点，（为常数，且）．

（1）若直线BF∥平面ACE，求实数的值；
（2）当时，求二面角C−AE−F的大小．

20.已知椭圆C：（，）的长轴为双曲线的实轴，且椭圆C过点P（2，1）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点A，B是椭圆C上异于点P的两个不同的点，直线PA与PB的斜率均存在，分别记为，，且，当坐标原点O到直线AB的距离最大时，求直线AB的方程．

21.已知函数f（x）＝•ex（a≥0）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当b∈[0，1）时，设函数g（x）＝（x＞0）有最小值h（b），求h（b）的最大值．
选考题:共10分,请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2＝，曲线C2的极坐标方程为ρ＝1．若正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（1，）．
（1）求点A，B，C，D的直角坐标；
（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PC|2的取值范围．
23.[选修4-5：不等式选讲]
已知函数f（x）＝|x﹣1|．
（1）求不等式f（x）+f（2x）≤4的解集M；
（2）记集合M中的最大元素为m，若不等式f2（mx）+f（ax）≤m在[1，+∞）上有解，求实数a的取值范围．
KS5U2022全国甲卷高考压轴卷数学word版含解析参考答案
1.【KS5U 答案】 C
【KS5U 解析】解：∵2x﹣8＜2﹣3x，∴x＜2，∴A＝（﹣∞，2），
∵x2﹣4x+3＜0，∴1＜x＜3，∴B＝（1，3），
∴A∪B＝（﹣∞，3）．
故选：C．
2.【KS5U 答案】D
【KS5U 解析】解：由（1+i）z＝4i，
得z＝＝＝2+2i，
则|z|＝＝2 ．
故选：D．
3. 【KS5U 答案】A
【KS5U 解析】解：在（0，+∞）上单调递增，和在（0，+∞）上都是减函数．
故选：A．
4.【KS5U 答案】B

【KS5U 解析】根据，将一个单位圆分成360个扇形，由这360个扇形的面积之和近似为单位圆的面积求解.
【详解】因为，
所以将一个单位圆分成360个扇形，则每一个扇形的圆心角为，
所以这360个扇形的面积之和近似为单位圆的面积，
即，
所以，
故选：B
5.【KS5U 答案】B

【KS5U 解析】根据三视图可得如图所示的几何体，根据椎体的体积公式以及三视图中的数据可求该几何体的体积.
【详解】

复原后的几何体为如图所示的三棱锥，其底面为等腰三角形，
该三角形的底边长为2，高为2，棱锥的高为2，
故体积为.
故选：B．
6.【KS5U 答案】C

【KS5U 解析】由题意，、初始值分别为1，0．当为小于5的正整数时，用的值代替，代替，进入下一步运算．由此列出如下表格

0
1



输出值

1
2
3
4
5

因此，最后输出的
故选：．
7.【KS5U 答案】D

【KS5U 解析】写出大于3且不超过20的素数，分别计算出随机选取2个不同的数的所有情况和恰好是一组孪生素数的情况，再利用古典概型公式代入求解.
【详解】大于3且不超过20的素数为：5，7，11，13，17，19，共6个，随机选取2个不同的数，共有个情况，恰好是一组孪生素数的情况为：5和7，11和13，17和19，共3个，所以概率为.
故选：D

8.【KS5U 答案】A

【KS5U 解析】由，得，圆心为，半径，圆心到直线的距离，故圆上的点到直线的距离的最小值为.

9.【KS5U 答案】C

【KS5U 解析】针对部分，通项为，
∴中项为，
故选：C

10.【KS5U 答案】B

【KS5U 解析】解：由约束条件作出可行域如图，

联立，解得A（），
z＝的几何意义为可行域内的动点与定点P连线的斜率，
由图可知，，
可知z＝的最小值为．
故选：B．
11.【KS5U 答案】A

【KS5U 解析】解：如图所示，设线段MF的中点为H，连接OH，
设双曲线的右焦点为F，连接MF．双曲线的左焦点为F′，连接MF′，则OH∥MF′．

又|OH|＝|OF|＝c＝3，|FH|＝|MF|＝（2a﹣2c）＝a﹣c＝1．
设∠HFO＝α，
在△OHF中，tanα＝＝，
∴直线MF的斜率是﹣．
故选：A．
12.【KS5U 答案】B

分析：
【KS5U 解析】解答：当时，，∴不是函数的零点.当时，由，得，设，，则在上单调递减，且.所以时无零点
当时，等价于，令，，
得在上单调递减，在上单调递增，，.
因为有2个零点，所以.
故选：B.
13.【KS5U 答案】


【KS5U 解析】】因为，所以
由为奇函数得：．
故答案为：

14.【KS5U 答案】180

【KS5U 解析】】根据题意，按物理、历史2科中有或没有相同学科分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案．
解：根据题意，分2种情况讨论：
①物理、历史2科中有相同学科．则有C＝60种选法；
②物理、历史2科中没有相同学科．则有C＝120种选法．
所以甲、乙两人恰有1门学科相同的选法有60+120＝180种；
故答案为：180．

15.【KS5U 答案】，5

解：根据题意，点O（0，0），A（1，2），B（m，0），
则＝（1，2），＝（m，0），则||＝，||＝m，
•＝m，
故cos＜，＞＝＝，
若B是以OA为边的矩形的顶点，而与不垂直，则必有⊥，
又由＝（m﹣1，﹣2），则有•＝（m﹣1）+2×（﹣2）＝0，解可得m＝5，
故答案为：，5．
16.【KS5U 答案】1或

【KS5U 解析】当时，恒成立，当时：
当数列的公差时，即，
据此可得，则，
当数列的公差时，由题意有：，，
两式作差可得：，
整理可得：，即：，①
则，②
②-①整理可得：恒成立，
由于，故，据此可得：，
综上可得：的值为1或.
17.【KS5U 答案】
【KS5U 解析】解：（1）由已知2cosC（acosB+bcosA）＝c，
正弦定理得：2cosC（sinAcosB+cosAsinB）＝sinC，
即2cosC•sinC＝sinC，
∵0＜C＜π，sinC≠0，
∴cosC＝，
∴C＝．
（2）由c＝，C＝，△ABC的面积为＝absin＝，
∴ab＝6，
又由余弦定理c2＝b2+a2﹣2abcosC，可得：7＝b2+a2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝（a+b）2﹣18，
可得：（a+b）2＝25，解得：a+b＝5，
∴△ABC的周长a+b+c＝5+．

18.【KS5U 答案】
【KS5U 解析】解：（Ⅰ）数列{an}的前n项和为Sn且Sn＝2n2+n，n∈N*，
则：an＝Sn﹣Sn﹣1（n≥2），
＝2n2+n﹣2（n﹣1）2﹣（n﹣1）
＝4n﹣1，
当n＝1时，a1＝3符合通项公式，
所以：an＝4n﹣1．
由于：数列{bn}满足an＝4log2bn+3，n∈N*．
则：4n﹣1＝4log2bn+3，
所以：，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：设cn＝，
则：Tn＝c1+c2+…+cn＝3•20+7•21+…+（4n﹣1）2n﹣1①
②
①﹣②得：﹣（4n﹣1）2n﹣1，
整理得：．

19.【KS5U 答案】
（1）
（2）

【KS5U 解析】
（1）因为底面，，平面，所以，．
由题意可知，，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，，
则，所以．
设平面的一个法向量为．
由得：不妨令，得．
因为平面，所以，解得．

（2）
由（1）知，，，平面的一个法向量为，所以．
设平面的一个法向量为．
由得令，得，
所以.所以，所以二面角的大小为．

20.【KS5U 答案】
（1）
（2）

【KS5U 解析】（1）由题意可得解方程组可求出，从而可求出椭圆方程，
（2）①当直线的斜率存在时，设其方程为，，，将直线方程代入椭圆方程中消去，利用根与系数的关系，然后由列方程可求出，则直线的方程为，从而可得其过定点，②当直线的斜率不存在时，设，则，由可求出两点的坐标，从而可求出直线过的定点，进而可求出直线方程
【详解】
（1）由题意，知解得，
所以椭圆的标准方程为．
（2）①当直线的斜率存在时，设其方程为，，．
联立得．
由韦达定理，得所以
因为
，所以，即，
所以直线的方程为，即，
由，得
故直线恒过点．
②当直线的斜率不存在时，设，则，
所以，解得，
所以此时直线也过点．因为点在椭圆的内部，
所以当直线垂直于时，坐标原点到直线的距离最大，
此时直线的方程为．

21.【KS5U 答案】
【KS5U 解析】解：（1）函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，+∞），
且f′（x）＝ex[+]＝ex•，
令x2+ax+a＝0，则△＝a2﹣4a，
①当0≤a≤4时，△≤0，x2+ax+a≥0，
即f′（x）≥0且不恒为零，故f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2）和（﹣2，+∞），
②当a＞4时，△＞0，方程x2+ax+a＝0的两根为x1＝，x2＝，
由于x1﹣（﹣2）＝＜0，x2﹣（﹣2）＝＞0，
（或令φ（x）＝x2+ax+a，φ（﹣2）＝4﹣a＜0）
故x1＜﹣2＜x2，
因此当x∈（﹣∞，x1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x∈（x1，﹣2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（﹣2，x2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
综上，当0≤a≤4时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2）和（﹣2，+∞）；
当a＞4时，f（x）在（﹣∞，）单调递增，在（，﹣2）单调递减，
在（﹣2，）单调递减，在（，+∞）单调递增．
（2）由g′（x）＝＝，
设k（x）＝ex+b（x＞0），
由（1）知，a＝0时，f（x）＝ex在（0，+∞）单调递增，
故k（x）在区间（0，+∞）单调递增，
由于k（2）＝b≥0，k（0）＝﹣1+b＜0，故在（0，2]上存在唯一x0，
使k（x0）＝0，﹣b＝，
又当x∈（0，x0）时，k（x）＜0，即g′（x）＜0，g（x）单调递减，
当x∈（x0，+∞）时，k（x）＞0，即g′（x）＞0，g（x）单调递增，
故x∈（0，+∞）时，h（b）＝g（x0）＝＝＝，x0∈（0，2]，
又设m（x）＝，x∈（0，2]，故m′（x）＝＝＞0，
所以m（x）在（0，2]上单调递增，故m（x）≤m（2）＝，
即h（b）的最大值为．

22.【KS5U 答案】
【KS5U 解析】解：（1）点A的极坐标为（1，），根据转换为直角坐标为（），
点B的极坐标为（1，），根据转换为直角坐标为（），
点C的极坐标为（），根据转换为直角坐标为（），
点D的极坐标为（1，），根据转换为直角坐标为（），
（2）曲线C1的极坐标方程为ρ2＝，根据转换为直角坐标方程为，
设P（2cosθ，sinθ），
则|PA|2+|PC|2＝．

23.【KS5U 答案】
【KS5U 解析】解：（1）由题意可知，f（x）+f（2x）＝|x﹣1|+|2x﹣1|≤4，
当x≥1时，原不等式可化为3x﹣2≤4，解答x≤2，所以1≤x≤2；
当＜x＜1时，原不等式可化为1﹣x+2x1≤4，解得x≤4，所以＜x＜1；
当x≤时，原不等式可化为1﹣x+1﹣2x≤4，解得x≥﹣，所以﹣≤x≤．
综上，不等式的解集M＝{x|﹣≤x≤2}．
（2）由题意，m＝2，在不等式等价为|2x﹣1|2+|ax﹣1|≤2，
因为x≥1，所以|ax﹣1|≤2﹣（4x2﹣4x+1）＝﹣4x2+4x+1，
所以4x2﹣4x﹣1≤ax﹣1≤﹣4x2+4x+1，
要使不等式在[1，+∞）上有解，
则（4x﹣4）min≤a≤，
所以0≤a≤2，
即实数a的取值范围是[0，2]．