2022高考压轴卷 数学（文）（全国甲卷） Word版含解析

2022全国甲卷高考压轴卷

数学（文）

一．选择题：本题共12个小题，每个小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.集合，，则A∩B=（    ）

A. {0} B. {1} C. {0,1} D.{0,1,2}

2.已知i是虚数单位，设z＝，则复数+2对应的点位于复平面（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3.已知命题 p：∀x∈R，cosx≤1，则（　　）

A. ￢p：∃x0∈R，cosx0≥1 B. ￢p：∀x∈R，cosx≥1

C. ￢p：∀x∈R，cosx＞1 D. ￢p：∃x0∈R，cosx0＞1

4.函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω，φ常数，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，为得到函数y＝sinωx的图象，只需将函数f（x）的图象（　　）

A．向右平移个长度单位 

B．向右平移个长度单位 

C．向左平移个长度单位 

D．向左平移个长度单位

5.某程序框图如图所示，该程序运行后输出S的结果是（    ）

A.  B.

C.  D.

6.已知一个几何体的三视图如图所示，俯视图为等腰三角形，则该几何体的体积为（    ）

A.  B.  C. 2 D.

7.已知变量x，y满足，则的最大值为（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

8.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝，S3＝，则{an}的公比为（　　）

A．﹣或 B．或﹣ C．﹣3或2 D．3或﹣2

9.已知向量和的夹角为30°，，，则（）

A.  B.

C.  D.

10.与垂直，且与圆相切的一条直线是（   ）

A.  B.

C.  D.

11.a＝，b＝，c＝，则（　　）

A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜b＜c

12.已知函数f（x）是定义在区间（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，且当x∈（0，+∞）时，，则方程f（x）+x2＝2根的个数为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

二．填空题:本题共4个小题，每个小题5分，共20分.

13.若定义在R上的偶函数f(x)满足：时，则___________.

14.已知数列{an}中，，其前n项和为Sn，且满足，则__________．

15.已知cos(x－)＝，则sin(2x＋)＝　　．

16.已知点，过抛物线上一点P作的垂线，垂足为B，若，则__________.

三、解答题:本题共5个小题,第17-21题每题12分,解答题应写出必要的文字说明或证明过程或演算步骤.

四、17.在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且.

（1）求角A的大小；

（2）若△ABC的面积为，求△ABC的周长.

18.某公司对某产品作市场调研，获得了该产品的定价x（单位：万元/吨）和一天销售量y（单位：吨）的一组数据，制作了如下的数据统计表，并作出了散点图．

表中z＝，≈0.45，≈2.19．

（1）根据散点图判断，y＝a+bx与y＝c+k•x﹣1哪一个更适合作为y关于x的回归方程；（给出判断即可，不必说明理由）

（2）根据（1）的判断结果，试建立y关于x的回归方程；

（3）若生产1吨该产品的成本为0.20万元，依据（2）的回归方程，预计定价为多少时，该产品一天的利润最大，并求此时的月利润．（每月按30天计算，计算结果保留两位小数）

（参考公式：回归方程＝x+，其中＝＝，＝﹣）

19.如图1，在直角梯形ABCD中，，，点E为BC的中点，点F在，将四边形沿EF边折起，如图2.

（1）证明：图2中的平面BCD；

（2）在图2中，若，求该几何体的体积.

20.已知椭圆C1：＝1（a＞b＞0），其右焦点为F（1，0），圆C2：x2+y2＝a2+b2，过F垂直于x轴的直线被圆和椭圆截得的弦长比值为2．

（1）求曲线C1，C2的方程：

（2）直线l过右焦点F，与椭圆交于A，B两点，与圆交于C，D两点，O为坐标原点，若△ABO的面积为，求CD的长．

21.已知且，函数．

（1）当时，求的单调区间；

（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．

选考题:共10分,请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]

在极坐标系中，点A（1，），B（1，），曲线C：．以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．

（1）在直角坐标系中，求点A，B的直角坐标及曲线C的参数方程；

（2）设点P为曲线C上的动点，求|PA|2+|PB|2的取值范围．

23.[选修4-5：不等式选讲]

已知函数f（x）＝|x﹣1|．

（1）求不等式f（x）+f（2x）≤4的解集M；

（2）记集合M中的最大元素为m，若不等式f2（mx）+f（ax）≤m在[1，+∞）上有解，求实数a的取值范围．

2022全国甲卷高考压轴卷数学（文）

参考答案

1.【答案】C

【解析】解：，所以．

故选：C．

2.【答案】A

【解析】解：∵z＝＝，

∴，

则+2对应点为（2，1），在第一象限．

故选：A．

3.【答案】D

【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题 p：∀x∈R，cosx≤1，￢p：∃x0∈R，cosx0＞1．

故选D．

4.【答案】B

【解析】解：根据函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω，φ常数，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，

可得A＝1，＝﹣，∴ω＝2．

再根据五点法作图，可得2×+φ＝π，故φ＝，函数f（x）＝cos（2x+）．

为得到函数y＝sinωx＝sin2x＝cos（2x﹣）的图象，只需将函数f（x）的图象向右平移个长度单位即可，

故选：B．

5.【答案】C

【解析】解：由题意，、初始值分别为1，0．当为小于5的正整数时，用的值代替，代替，进入下一步运算．由此列出如下表格

因此，最后输出的

故选：．

6.【答案】B

【解析】解：

复原后的几何体为如图所示的三棱锥，其底面为等腰三角形，

该三角形的底边长为2，高为2，棱锥的高为2，

故体积为.

故选：B．

7.【答案】C

【解析】解：

不等式对应的可行域如图所示，

当动直线过时，可取最大值为2，

故选：C.

8.【答案】A

【解析】解：设等比数列{an}的公比为q，则a3＝a1q2＝，S3＝a1（1+q+q2）＝，

两式相除可得＝，

即6q2﹣q﹣1＝0，

解得q＝或q＝﹣，

故选：A．

9.【答案】B

【解析】解：根据向量的运算法则和数量积的定义，

可得

．

故选：B.

10.【答案】B

【解析】解：设与直线垂直的直线方程为，

直线与圆相切，则圆心到直线的距离为半径2，即或，所以，或，由选项可知B正确，故选B.

11.【答案】B

【解析】解：a＝＝log23，

∵1＝log22＜log23＜log24＝2，∴1＜a＜2，

∵b＝log＝log25＞log24＝2，∴b＞2，

∵c＝（）＝＜1，

∴b＞a＞c，

故选：B．

12.【答案】D

【解析】解：方程f（x）+＝2根的个数⇔函数y＝f（x）与函数y＝﹣x2+2的图象交点个数，图象如下：

由图象可知两函数图象有6个交点．

故选：D．

13.【答案】

【解析】解：依题意，由于为定义在上的偶函数，

所以.

故答案为：

14.【答案】或

【解析】解：数列中,其前项和为,且满足①

则②

可得

则

两式相减可得

所以数列当时隔项成等差数列,公差为

已知数列中,

当时,代入可得,即,解得

当时,代入可得,,解得

由数列当时隔项成等差数列可知

当偶数时,

当奇数时,

因而上式也可写成时,

综上可知或

故答案为:或

15.【答案】

【解析】解：∵，

∴cos（2x﹣）＝2cos2（x﹣）﹣1＝2×﹣1＝，

∴＝sin[（2x﹣）+]＝cos（2x﹣）＝．

故答案为：．

16.【答案】7

17.【答案】（1）；（2）8.

【解析】解：（1）因为，

所以，

因为，所以，所以，所以；

（2）因为，所以，

又因为，所以，所以，

所以，所以，

所以△ABC的周长为：.

18.【答案】

【解析】解：（1）根据散点图可知，y＝c+k•x﹣1更适合作为y关于x的回归方程；

（2）令，则y＝c+kz，

故，

所以，

则，

故y关于x的回归方程为；

（3）一天的利润为T＝y•（x﹣0.2）＝1.5，

当且仅当，即x＝0.45时取等号，

所以每月的利润为30×1.5＝45.00（万元），

所以预计定价为0.45万元/吨时，该产品一天的利润最大，此时的月利润为45.00万元．

19.【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】解：（1）证明：取中点，连接，

因为，所以四边形是平行四边形，

所以且，

所以四边形是平行四边形，所以，

因为平面，且平面，所以平面，

同理可知：四边形是平行四边形，所以，证得平面，

因为平面，且，平面，

所以平面平面，

因为平面，所以平面.

（2）解：若，

因为，，则，故，

所以两两垂直，

连接，该几何体分割为四棱锥和三棱锥，

则，

因为平面平面，故，

所以该几何体的体积为.

20.【答案】

【解析】解：（1）由已知可得过F且垂直x轴的直线方程为x＝1，

联立方程，解得y＝，

联立方程，解得y＝，

所以，又因为a2＝b2+1…②，

联立①②解得a2＝2，b2＝1，

所以曲线C1的方程为，曲线C2的方程为x2+y2＝3；

（2）设直线l的方程为x＝my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），

联立方程，消去x整理可得：（2+m2）y2+2my﹣1＝0，

所以y，

所以|AB|＝＝＝，

又原点O到直线l的距离d＝，

所以三角形ABO的面积S＝＝，

整理可得：5m4﹣16m2﹣16＝0，解得m2＝4或﹣（舍去），

所以m2＝4，所以原点O到直线l的距离d＝，

则|CD|＝2．

21.【答案】（1）上单调递增；上单调递减；（2）.

【解析】解：（1）当时，,

令得,当时，,当时，,

∴函数在上单调递增；上单调递减；

（2）,设函数,

则,令，得,

在内,单调递增；

在上,单调递减；

,

又，当趋近于时，趋近于0，

所以曲线与直线有且仅有两个交点，即曲线与直线有两个交点的充分必要条件是,这即是,

所以的取值范围是.

22.【答案】

【解析】解：（1）点A（1，），B（1，）根据，转换为直角纵坐标为A（），B（0.1）．

曲线C：，整理得，根据转换为直角坐标方程为，

转换为参数方程为（α为参数）．

（2）把曲线C的直角坐标方程转换为参数方程为（α为参数），

设点P（，），

所以|PA|2+|PB|2的＝3+＝，

由于，

故．

故|PA|2+|PB|2的取值范围为[1，5]．

23.【答案】

【解析】解：（1）由题意可知，f（x）+f（2x）＝|x﹣1|+|2x﹣1|≤4，

当x≥1时，原不等式可化为3x﹣2≤4，解答x≤2，所以1≤x≤2；

当＜x＜1时，原不等式可化为1﹣x+2x1≤4，解得x≤4，所以＜x＜1；

当x≤时，原不等式可化为1﹣x+1﹣2x≤4，解得x≥﹣，所以﹣≤x≤．

综上，不等式的解集M＝{x|﹣≤x≤2}．

（2）由题意，m＝2，在不等式等价为|2x﹣1|2+|ax﹣1|≤2，

因为x≥1，所以|ax﹣1|≤2﹣（4x2﹣4x+1）＝﹣4x2+4x+1，

所以4x2﹣4x﹣1≤ax﹣1≤﹣4x2+4x+1，

要使不等式在[1，+∞）上有解，

则（4x﹣4）min≤a≤，

所以0≤a≤2，

即实数a的取值范围是[0，2]．