2022年河北省石家庄市中考数学一模试卷（含解析）

2022年河北省石家庄市中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共16小题，共42.0分）

1. 如图，将线段绕点旋转，下列各点能够落到线段上的是

A. 点 B. 点 C. 点 D. 点

2. 一个数用科学记数法表示为，这个数是一个

A. 位数 B. 位数 C. 位数 D. 位数

3. 将量角器按图方式放置，其中角度为的角是

A.  B.  C.  D.

4. 下列计算中，得数最小的是

A.  B.  C.  D.

5. 如图是由一根细铁丝围成的正方形，其边长为现将该细铁丝围成一个三角形如图所示，则的长可能为

A.  B.  C.  D.

6. 是的

A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍

7. 如图，是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点表示的数是

A.  B.  C.  D.

8. 如图有、、三类卡片，分别是边长为的正方形，边长为，的长方形，边长为的正方形，若用这三种卡片拼成无缝隙不重叠的正方形，以下方案不可行的是

A. 类卡片张，类卡片张，类卡片张
B. 类卡片张，类卡片张，类卡片张
C. 类卡片张，类卡片张，类卡片张
D. 类卡片张，类卡片张，类卡片张

9. 已知一次函数满足自变量每增加个单位长度，函数值就增加个单位长度，以下选项所给的一次函数图象满足这个条件的是

A.  B.
C.  D.

10. 如图为一个土堆，我们可以把它的截面看成一个等腰如图其中斜坡和与水平地面所成锐角为，最高处距离地面米，则下列说法正确的是

A. 斜坡的坡度是 B. 斜坡的坡度是
C. 米 D. 米

11. 设，，则与的关系为

A.  B.  C.  D.

12. 在中，，分别是边，的中点，按图中方法作图后，若四边形的周长与的周长相等，还需具备的条件是

A.  B.  C.  D.

13. 有一道题：“甲队修路与乙队修路所用天数相同，若，求甲队每天修路多少米？”根据图中的解题过程，被遮住的条件是

A. 甲队每天修路比乙队倍还多
B. 甲队每天修路比乙队倍还少
C. 乙队每天修路比甲队倍还多
D. 乙队每天修路比甲队倍还少

14. 相同规格长为，宽为的长方形硬纸板，剪掉阴影部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成底面为正方形的长方体箱子，有如图所示的甲、乙两种方案，所得长方体体积分别记为：和下列说法正确的是

A.  B.  C.  D. 无法判断

15. 如图，有四条直线，，，和一条曲线，曲线是反比例函数在平面直角坐标系中的图象，则轴可能是

A. 直线
B. 直线
C. 直线
D. 直线

16. 如图和图，已知点是上一点，用直尺和圆规过点作一条直线，使它与相切于点以下是甲、乙两人的作法：
    甲：如图，连接，以点为圆心，长为半径画弧交于点，连接并延长，再在上截取，直线即为所求；
    乙：如图，作直径，在上取一点异于点，，连接和，过点作，则直线即为所求．
    对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是

A. 甲、乙两人的作法都正确 B. 甲、乙两人的作法都错误
C. 甲的作法正确，乙的作法错误 D. 甲的作法错误，乙的作法正确

二、填空题（本大题共3小题，共12.0分）

17. 若，互为相反数，则______；当，则______．
18. 如图所示，在正四边形、正五边形中，相邻两条对角线的夹角分别为，，则为______，以此类推，正边形相邻两条对角线的较大夹角为______

19. 抛物线：经过图中的网格区域．
    当抛物线过原点及点时，的值是______；
    当，且抛物线恰好只经过图中网格区域包括边界中的个格点横纵坐标均为整数，则满足条件的整数有______个．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分）

20. 如图，数轴上从左到右有点，，，，其中点为原点，、所对应的数分别为，，点为的中点．
    在图中标出点的位置，并直接写出点对应的数；
    若在数轴上另取一点，且，两点间的距离是，求，，，，对应的数的和．
    
    
    
    
    
    
     
21. 某社区打算购买一批垃圾分类提示牌和垃圾箱，计划提示牌比垃圾箱多购买个，且提示牌与垃圾箱的个数之和恰好为个．
    求计划购买提示牌多少个？
    为提升居民垃圾分类意识，实际购买时增加了提示牌的购买数量，且提示牌与垃圾箱的购买数量之和不变．已知提示牌的单价为每个元，垃圾箱的单价为每个元，若预算费用不超过元，请求出实际购买提示牌的数量至少增加了多少个？
    
    
    
    
    
    
     
22. 某学校射击队计划从甲、乙两名运动员中选取一名队员代表该校参加比赛，在选拔过程中，每名选手射击次，根据甲、乙队员成绩绘制了如图、图所示的统计图：
    并求得了乙队员次射击成绩的平均数和方差：
    环，．
    甲队员选拔赛成绩的众数是______环，乙队员选拔赛成绩的中位数是______环；
    求甲队员次射击成绩的平均数和方差，根据甲、乙两名队员的选拔赛成绩，你推荐谁代表学校参加比赛，并说明理由；
    为提升射击队技战术水平，学校决定除甲、乙外，再从射击队其他名队员三名男生，两名女生中随机选出两名队员一同前往观看比赛，请你用画树状图或列表的方法求出恰好选出一名男生和一名女生的概率．

23. 如图是一个手机支架的截面图，由底座、连杆和托架组成，，可以绕点自由转动，的长度可以进行伸缩调节，已知，，．
    如图，若，在同一条直线上，，求点到底座的距离结果保留整数；
    如图，调节长度为，并转动连杆使时，达到最佳视觉状态，求的度数．
    参考数据：，，

24. 如图，在直角坐标系中，直线：经过点，直线与交于点，与轴交于点，点关于轴对称的点在直线上．
    求直线的函数表达式；
    连接，求的面积；
    过点作轴的垂线，分别交，于点，，若，两点间的距离不小于，直接写出的取值范围．
    
     

25. 在半径为的扇形中，，延长到点使点为上的动点，点是扇形所在平面内的点，连接，，，当时，解答下列问题：
    论证：如图，连接，，当时、求证：；
    发现：当时，的度数可能是多少？
    尝试：如图，当点，，三点共线时，求点到所在直线的距离；
    拓展：当点在的下方，且与相切时，直接写出的余弦值．

26. 图的小山丘是科研部门的小球弹射实验场地，在小山丘一侧的山坡上建有小球弹射发射装置，另一侧建有圆柱形小球接收装置．图为实验场地的纵截面示意图，小山丘纵截面的外部轮廓线近似为抛物线的一部分，以小山丘纵截面与地面的交线为轴，以过发射装置所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．发射装置底部在轮廓线的点处，距离地面为米，在发射装置米的点处是发射点，已知小山丘纵截面的外部轮廓线为：，从发射装置的发射点弹射一个小球忽略空气阻力时，小球的飞行路线为一段抛物线：．
    直接写出的值，当小球离处的水平距离和竖直距离都为米时，求的值，并求小球到小山丘的竖直距离为米时，小球离处的水平距离；
    若小球最远着陆点到轴的距离为米，当小球飞行到小山丘顶的正上方，且与顶部距离不小于米时，求的取值范围，并求小球飞行路线的顶点到轴距离的最小值；
    圆柱形小球接收装置的最大截面为矩形，已知点在上，其横坐标为，轴，，，若小球恰好落入该装置内不触碰装置侧壁，请直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：将线段绕点旋转，
，
线段经过点，
能够落到线段上的是点，
故选：．
比较各点与点组成的线段的长度，线段长度小于长度的点能够落到线段上．
本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是会运用旋转的性质解决问题，会比较线段的长短．
 

2.【答案】
 

【解析】解：，
这个数是一个位数．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】
 

【解析】解：由量角器可知，，，，，
故选：．
根据量角器分别得出每个角的度数即可．
本题主要考查角的概念，熟练掌握角的概念是解题的关键．
 

4.【答案】
 

【解析】解：、，
B、，
C、，
D、，
，
最小的是，
故选：．
分别计算各选项，再比较结果即可得到答案．
本题考查有理数运算，解题的关键是掌握有理数运算的相关法则．
 

5.【答案】
 

【解析】解：由正方形的性质知，铁丝的总长度为，
根据三角形的三边关系知，两边之和大于第三边，
边长度小于，
故选：．
先根据正方形的性质求出铁丝的总长度，再根据三角形三边关系判断即可．
本题主要考查正方形的性质，熟练掌握正方形的性质和三角形三边关系是解题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：，
是的倍，
故选：．
根据题意得出，计算后即可得出答案．
本题考查了有理数的乘方，正确理解题意列出算式是解决问题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：如图，，，，

，
，
，
．
点表示的数是．
故选：．
根据平行线分线段成比例即可求解．
本题考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：、类卡片张，类卡片张，类卡片张，
，不符合题意；
B、类卡片张，类卡片张，类卡片张，
，符合题意；
C、类卡片张，类卡片张，类卡片张，
，不符合题意；
D、类卡片张，类卡片张，类卡片张，
，不符合题意．
故选：．
利用完全平方公式判断即可．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：一次函数满足自变量每增加个单位长度，函数值就增加个单位长度，
随的增大而增大，
故选：．
根据题意和一次函数的性质，可以判断哪个选项中的图象符合题意．
本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

10.【答案】
 

【解析】解：、斜坡的坡角是，而不是坡度是，本选项说法错误，不符合题意；
B、斜坡的坡度是，本选项说法正确，符合题意；
C、过点作于，
，，
，
在中，，
，本选项说法错误，不符合题意；
D、，本选项说法错误，不符合题意；
故选：．
根据坡度的概念、正切和正弦的定义计算，判断即可．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：，
，
，
故选：．
根据平方差和完全平方公式进行化简，再比较即可．
本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式及二次根式的性质．
 

12.【答案】
 

【解析】解：，分别是边，的中点，
是的中位线，
，，
，，
，
，，
四边形为平行四边形，
四边形的周长，
的周长，
当时，四边形的周长与的周长相等，
故选：．
根据三角形中位线定理得到，，证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质、三角形的周长公式计算，得出结论．
本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：由图表可得方程：，
故被遮住的条件是乙队每天修路比甲队倍还少，
故选：．
根据图中的方程，可以写出被遮住的条件，本题得以解决．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，写出被遮住的条件．
 

14.【答案】
 

【解析】解：设甲方案中长方体箱子的正方形底面的边长为，长方体的高为，
则：，
解得：，
，
设乙方案中长方体箱子的正方形底面的边长为，长方体的高为，
则：，
解得：，
，
，
，
故选：．
观察图形，分别利用二元一次方程组求出底面正方形的边长和长方体的高，求出体积，比较大小即可得出答案．
本题考查了认识立体图形，考查空间想象能力，分别利用二元一次方程组求出底面正方形的边长和长方体的高是解题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：曲线是反比例函数在平面直角坐标系中的图象，
曲线在第一象限，图象与坐标轴无交点，曲线的两个分支无限趋近但不可能到达坐标轴，
轴可能是直线，
故选D．
根据反比例函数的性质即可判断．
本题考查了反比例函数的性质和反比例函数的图象．属于基础题，注意：反比例函数的图象与坐标轴无限趋近但没有交点．
 

16.【答案】
 

【解析】解：甲正确．
理由：如图中，连接．
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线，
乙正确．
理由：是直径，
，
，
，
，
，
，
是的切线，
故选：．
甲乙都是正确的，根据切线的判定定理证明即可．
本题考查作图复杂作图，切线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

17.【答案】 
 

【解析】解：，互为相反数，
；
故答案为：；

当，则．
故答案为：．
直接利用互为相反数的定义计算得出答案；
直接利用互为相反数的定义计算得出答案．
此题主要考查了互为相反数，正确掌握互为相反数的定义是解题关键．
 

18.【答案】 
 

【解析】解：由正方形，
可得：，
；
由正五边形，
可得：，，
，
；
同理：；
正边形相邻两条对角线的夹角：，
故答案为：，．
对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律即可．
本题主要考查了正多边形和圆的知识，学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．
 

19.【答案】 
 

【解析】解：将代入得，
，
故答案为：．
当时，，
抛物线经过定点，
当点是抛物线顶点时，那么抛物线对称轴为直线，
解得，
，
，
如图，当为抛物线顶点，抛物线经过，，，

，
当，不是抛物线的顶点，而是抛物线上关于对称的其中的一个点，那么抛物线也应经过点，如图，当抛物线经过，，时，

抛物线对称轴为直线，
解得，
当不是抛物线的顶点，也在图中找不到对应格点时，要想抛物线恰好只经过网格区域包括边界中的个格点横纵坐标均为整数，抛物线应经过，，如图，

此时抛物线对称轴为直线，
解得，
满足条件的有个，
故答案为：．
将代入解析式求解．
由可得抛物线经过定点，结合图象分类讨论抛物线经过个格点时求的值．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次项系数为的抛物线的特点，通过数形结合，分类讨论求解．
 

20.【答案】解：如图，点表示的数是；

，
，
即，
，
，或，
即表示的数是或，
当表示的数是时，、、、、表示的数的和为：；
当表示的数是时，、、、、表示的数的和为：．
故答案为：，或．
 

【解析】利用两点间的距离公式，直接求即可；
利用两点间的距离公式，求得有理数，相加即可．
本题考查的是数轴上两点间的距离公式，解题的关键就是距离等于两个数的差的绝对值或直接用右边的数减去左边的数．
 

21.【答案】解：设计划购买提示牌个，则计划购买垃圾箱个，
依题意得：，
解得：．
答：计划购买提示牌个．
设实际购买提示牌的数量增加了个，则实际购买垃圾箱的数量减少了个，
依题意得：，
解得：．
又为正整数，
的最小值为．
答：实际购买提示牌的数量至少增加了个．
 

【解析】设计划购买提示牌个，则计划购买垃圾箱个，根据计划购买提示牌与垃圾箱的个数之和恰好为个，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
设实际购买提示牌的数量增加了个，则实际购买垃圾箱的数量减少了个，利用总价单价数量，结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

22.【答案】与 
 

【解析】解：甲的成绩中，环与环都出现了次，次数最多，故众数为环与环；
把乙队员选拔赛成绩按从小到大的顺序排列，中位数是第、第个数的平均数，
则乙队员选拔赛成绩的中位数是环；
故答案为：与，；

甲队的平均数是：环，
甲队的方差是：；
，
甲队代表学校参加比赛；

根据题意画图如下：

共有种等可能的情况数，其中恰好选出一名男生和一名女生的有种，
则恰好选出一名男生和一名女生的概率是．
根据众数和中位数的定义即可得出答案；
根据平均数的计算公式和方差公式先求出甲的平均数和方差，再与乙队的方差进行比较，即可得出答案；
根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

23.【答案】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，

则，，
，
，
在中，，
，
，
点到底座的距离约为；
，不平行于，
四边形是梯形，
，
梯形是等腰梯形，
，
的度数为．
 

【解析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得，，从而可求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答；
根据已知先证明四边形是等腰梯形，然后再利用等腰梯形的性质即可解答．
本题考查了等腰梯形的判定，解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】解：把代入得：
，
，
把代入得：
，
，
点关于轴对称的点．
，
设直线的函数表达式为，
，
解得，
直线的函数表达式为；
直线的函数表达式为，与轴交于点，
，
的面积；
，
，，
当点在点右侧时，，
解得；
当点在点左侧时，，
解得，
的取值范围是或．
 

【解析】把代入求得的值得出的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线的解析式；
根据点坐标即可求出的面积；
根据和题意可得，，，然后分两种情况讨论：当点在点右侧时，当点在点左侧时，进而可以解决问题．
本题考查了两条直线相交或平行问题、待定系数法求一次函数解析式、关于轴、轴对称的点的坐标，熟练掌握函数的性质是本题的关键．
 

25.【答案】论证：证明：如图中，，，
，
，
四边形是平行四边形，
；

发现：解：如图中，，，
是等边三角形，
，，

当点在的上方时，四边形是菱形，
，
，
．
当点与重合时，满足条件，此时．
综上所述，满足条件的或；

尝试：过点作于点，于点，于点．

，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
点到所在直线的距离为．

拓展：解：如图中，连接，设交于点，过点作于点，于点．

设，则--，
是切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
设，
，，
∽，
，
，
，

，
，
，，
，
．
 

【解析】论证：证明四边形是平行四边形即可；
发现：分两种情形：当点在的上方时，四边形是菱形，当点与重合时，满足条件，分别求解即可；
尝试：过点作于点，于点，于点利用面积法求出，再利用勾股定理求出即可；
拓展：如图中，连接，设交于点，过点作于点，于点求出，，证明，推出，可得结论．
本题属于圆综合题，考查了切线的性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
 

26.【答案】解：，
，
过点，
，
解得；
：，
则，
令，解得或舍，
小球离处的水平距离为米；
：，
的顶点为，
当小球飞到小山丘上方时，，
代入：得，，
由题意可知，，
解得．
小球最远着陆点到轴的距离为米，
当时，，得出；
；
的顶点为，
当时，小球飞行路线的顶点到轴距离的最小值为；
由题意可知，当小球落在与的交点处取得最大值，当小球落在处取最小值，
当时，代入得，将代入得，，
解得；
当时，代入得，将代入得，，
解得．
．
 

【解析】由题意可知，，代入解析式可得，又过点，所以，解得；令，并令，解之可得出结论；
由解析式可知的顶点为，将，代入：得，，由题意可知，，解得由小球最远着陆点到轴的距离为米，可得，当时，，得出；因为的顶点为，所以当时，取最小值；
由题意可知，当小球落在与的交点处取得最大值，当小球落在处取最小值，分别将时，当时，代入得可得出的值，即可得出结论．
本题考查二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键．