2021贵港覃塘区立德高级中学高一下学期3月月考数学试题含答案

贵港市立德高中2021年春季期3月月考试题

高一数学

试卷说明：本试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷，Ⅰ卷为试题（选择题和客观题），Ⅱ卷一般为答题卷，考试结束只交Ⅱ卷。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，每小题只有一项符合题目的要求）

1．在△ABC中，角A，B，C的边长分别是a，b，c，若a＝2，A＝45°，B＝60°，则b＝（　　）

A． B． C．1 D．2

2．已知{an}是公差为2的等差数列，a3＝5，则a1＝（　　）

A．10 B．7 C．6 D．1

3．在△ABC中，若c2+ab＝a2+b2，则角C＝（　　）

A．30° B．45° C．60° D．120°

4．若数列{an}是等比数列，且a2＝3，a3＝﹣6，则a4＝（　　）

A．12 B．﹣12 C．2 D．﹣2

5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2c，cosC＝，则sinA＝（　　）

A． B． C． D．

6．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B到点C的距离AC＝BC＝1km，且∠ACB＝120°，则A、B两点间的距离为（　　）

A．km B．km C．1.5km D．2km

7．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4+a5＝0，a6＝3，则S7＝（　　）

A．﹣12 B．﹣7 C．0 D．7

8．如图，某船在A处看见灯塔P在南偏东15°方向，后来船沿南偏东45°的方向航行30km后，到达B处，看见灯塔P在船的西偏北15°方向，则这时船与灯塔的距离是（　　）

A．10km B．20km C．10km D．5km

9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1，，则△ABC的面积为（　　）

A． B． C．或 D．或

10．已知等比数列{an}满足a1＝2，a3•a5＝4a62，则a3的值为（　　）

A． B．1 C．2 D．

11．在等差数列{an}中，Sn为其前n项和．若S2023＝2023，且，则a1等于（　　）

A．﹣2021 B．﹣2020 C．﹣2019 D．﹣2018

12．《算法统宗》中有一个问题：“三百七十八里关，出行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，意思是有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，问第三天和第四天共走了（　　）

A．36里 B．70里 C．72里 D．124里

二、 填空题(每小题5分，共20分)

13．在等差数列{an}中，a1＝2，a2+a4＝﹣8，则数列{an}的公差为　   　．

14．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝2，b＝3，c＝4，则cosA＝　   　．

15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A：B：C＝1：1：2，则＝　   　．

16．已知数列{an}的首项为2，且满足，则＝　   　．

三、解答题（17题10分，其余每题12分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）

17.（本小题满分10分）已知{an}是等差数列，a2＝5，a5＝14．

（I）求{an}的通项公式；

（II）设{an}的前n项和Sn＝155，求n的值．

18、(本小题满分12分)在△ABC中，a＝7，c＝3，且5sinC＝3sinB．

（Ⅰ）求b的值；

（Ⅱ）求A的大小．

19. （本小题满分12分）已知公比为q的等比数列{an}中，a2＝4，a5＝﹣32．

（1）求q；

（2）求{an}的前6项和S6．

20. （本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且acosC＝csinA．

（1）求C；

（2）若△ABC的面积为8，a＝4，求b的值．

21.（本小题满分12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）求角A的大小；

（2）若a＝2，且S△ABC＝2，求△ABC的周长．

\

22.（本小题满分12分）在数列{an}中，a1＝2，an+1＝4an﹣3n+1，n∈N*．

（1）证明数列{an﹣n}为等比数列

（2）求数列{an}的前n项和Sn．

2021年春季期贵港市立德高中高一数学3月月考参考答案

一、选择题

二．填空题（共4小题）

13．在等差数列{an}中，a1＝2，a2+a4＝﹣8，则数列{an}的公差为 ﹣3 ．

【解答】解：设数列{an}的公差为d，因为a2+a4＝﹣8，所以a3＝﹣4，则，

故答案为：﹣3．

14．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝2，b＝3，c＝4，则cosA＝ ．

【解答】解：在△ABC中，cosA＝＝＝，

故答案为：．

15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A：B：C＝1：1：2，则＝ ．

【分析】先求出A＝B＝，C＝，再根据正弦定理即可求出．

【解答】解：A：B：C＝1：1：2，

∴A＝B＝，C＝，

∴＝＝，

故答案为：．

16．已知数列{an}的首项为2，且满足，则＝ 3﹣ ．

【解答】解：因为，两边同时取倒数可得＝+，

所以﹣3＝（﹣3），

所以数列{﹣3}是以﹣3＝﹣为首项，为公比的等比数列，

所以﹣3＝﹣•＝﹣，

所以＝3﹣．

故答案为：3﹣．

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17．已知{an}是等差数列，a2＝5，a5＝14．

（I）求{an}的通项公式；

（II）设{an}的前n项和Sn＝155，求n的值．

【解答】（Ⅰ）解：设等差数列{an}的公差为d，

则a1+d＝5，a1+4d＝14，

解得a1＝2，d＝3．

所以数列{an}的通项为an＝a1+（n﹣1）d＝3n﹣1．

（Ⅱ）解：数列{an}的前n项和Snn．

由n＝155，化简得3n2+n﹣310＝0，

即（3n+31）（n﹣10）＝0；

∴n＝10．

18．在△ABC中，a＝7，c＝3，且5sinC＝3sinB．

（Ⅰ）求b的值；

（Ⅱ）求A的大小．

【分析】（Ⅰ）由正弦定理可将5sinC＝3sinB化为5c＝3b，代入c的值，求出b；

（Ⅱ）由余弦定理可得cosA，然后求出A．

【解答】解：（Ⅰ）∵5sinC＝3sinB，∴5c＝3b，

∴＝＝5；

（Ⅱ）由余弦定理，有cosA＝＝＝，

∵A∈（0，π），∴A＝．

19．已知公比为q的等比数列{an}中，a2＝4，a5＝﹣32．

（1）求q；

（2）求{an}的前6项和S6．

【分析】（1）利用等比数列通项公式列出方程组，能求出等比数列的首项与公比．

（2）由a1＝﹣2，q＝﹣2，能求出{an}的前6项和S6．

【解答】解：（1）∵公比为q的等比数列{an}中，a2＝4，a5＝﹣32．

∴，

解得a1＝﹣2，q＝﹣2．

（2）∵a1＝﹣2，q＝﹣2，

∴{an}的前6项和S6＝＝＝42．

20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且acosC＝csinA．

（1）求C；

（2）若△ABC的面积为8，a＝4，求b的值．

【分析】（1）根据正弦定理化边为角，即得结果；

（2）先根据三角形面积公式得ab，即得b．

【解答】解：（1）∵acosC＝csinA，∴sinAcosC＝sinCsinA．

∵sinA＞0，∴cosC＝sinC，即tanC＝．

∵0＜C＜，∴C＝．

（2）由（1）可得sinC＝，则

△ABC的面积为S＝ab．

∵△ABC的面积为S＝8，

∴ab＝8，即ab＝32．

∵a＝4，∴b＝8．

21．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）求角A的大小；

（2）若a＝2，且S△ABC＝2，求△ABC的周长．

【分析】（1）由，利用正弦定理可得：（a+c）（c﹣a）＝b（c﹣b），化简利用余弦定理即可得出．

（2）由a＝2，且S△ABC＝2，利用余弦定理与三角形面积计算公式即可得出．

【解答】解：（1）由，

利用正弦定理可得：（a+c）（c﹣a）＝b（c﹣b），

化为：c2+b2﹣a2＝bc，

∴cosA＝＝，

∵A∈（0，π），

∴A＝．

（2）∵a＝2，且S△ABC＝2，

∴＝c2+b2﹣bc，bcsin＝2，

化为：（b+c）2＝3bc+12＝3×8+12＝36，

解得b+c＝6，

∴△ABC的周长＝b+c+a＝6+2．

22．在数列{an}中，a1＝2，an+1＝4an﹣3n+1，n∈N*．

（1）证明数列{an﹣n}为等比数列

（2）求数列{an}的前n项和Sn．

【解答】解：（1）∵an+1＝4an﹣3n+1，n∈N*，

∴an+1﹣（n+1）＝4an﹣3n+1﹣（n+1），

4an﹣4n＝4（an﹣n）．

∴{an﹣n}为首项a1﹣1＝1，公比q＝4的等比数列；

（2）∵an﹣n＝4n﹣1，

∴an＝n+4n﹣1，

Sn＝1+2+…+n+（1+4+…+4n﹣1）＝＝．