2022届江西省新余市一中（新余市）高三第二次模拟考试数学（文）试题含解析

2022届江西省新余市一中（新余市）高三第二次模拟考试数学（文）试题

一、单选题

1．设集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用交集的定义可求.

【详解】由题设有，

故选：B .

2．命题“，”的否定是（       ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】利用含有一个量词命题的否定的定义求解.

【详解】因为命题“，”是全称量词命题，

所以其否定是存在量词命题，即，，

故选；D

3．设，则（       ）

A．2 B． C． D．1

【答案】A

【分析】根据复数的除法和乘法的运算法则，结合共轭复数的定义进行求解即可.

【详解】由，

所以，

因此，

故选：A

4．已知向量，则（       ）

A． B．2

C．5 D．50

【答案】A

【分析】本题先计算，再根据模的概念求出．

【详解】由已知，，

所以，

故选A

【点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．

5．种植某种树苗，现采用随机模拟的方法估计种植这种树苗5棵恰好成活4棵的概率.先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定2至9的数字代表成活，0和1代表不成活，再以每5个随机数为一组代表5次种植的结果.经随机模拟产生如下30组随机数：

据此估计，该树苗种植5棵恰好4棵成活的概率为（       ）

A．0.37 B．0.40 C．0.34 D．0.41

【答案】B

【分析】利用古典概型计算公式进行求解即可.

【详解】根据30组随机数可知：种植5棵恰好4棵成活的有：

，共12个，所以该树苗种植5棵恰好4棵成活的概率为，

故选：B

6．质检机构为检测一大型超市某商品的质量情况，利用系统抽样的方法从编号为1～120的该商品中抽8件进行质检，若所抽样本中含有编号67的商品，则下列编号没有被抽到的是（       ）

A．112 B．37 C．22 D．9

【答案】D

【分析】根据系统抽样的定义求解即可.

【详解】由系统抽样的特点知抽样间隔为120÷8=15，

故所抽样本编号符合（为第一段的抽取样本编号，），

由抽取样本中有编号67，则，选项中不符合的是9．

故选：D．

7．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的值是（       ）

A．6 B．8 C．4 D．2

【答案】A

【分析】根据正弦定理结合题干条件可得到，再由余弦定理得，代入已知条件可得到最终结果.

【详解】因为，

根据正弦定理得到：

故得到

再由余弦定理得到：

代入，，得到.

故选：A.

8．双曲线C：的一条渐近线的倾斜角为130°，则双曲线C的离心率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】依题意利用诱导公式可得，再根据离心率公式及同角三角函数的基本关系计算可得；

【详解】解：双曲线C：的渐近线为，

依题意，即，即，

所以双曲线的离心率

故选：C

9．已知函数（）的部分图象如图所示，且，则的最小值为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】是函数的零点，根据五点法求出图中零点及轴左边第一个零点可得．

【详解】由题意，，∴函数在轴右边的第一个零点为，在轴左边第一个零点是，

∴的最小值是．

故选：A.

【点睛】本题考查三角函数的周期性，考查函数的对称性．函数的零点就是其图象对称中心的横坐标．

10．已知抛物线上一点，为焦点，直线交抛物线的准线于点，满足则抛物线方程为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】作轴，根据，且，由求解.

【详解】如图所示：

作轴，则，

因为，且，

所以,

即，

解得，

所以抛物线方程是

故选：C．

11．设，，，其中，则下列说法正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】构造函数，利用函数的单调性结合均值不等式可得答案．

【详解】令，因为，所以，

所以，，，虽然是单调递增函数，而无法比较大小，

所以大小无法确定，排除AB；

，，

故选：D.

12．已知长方体，，，M是的中点，点P满足，其中，，且平面，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是（       ）

A． B． C． D．2

【答案】A

【分析】先构造和平面平行的截面，再根据空间向量共面确定点的轨迹形状，再求其长度.

【详解】如图所示，E，F，G，H，N分别为，，，DA，AB的中点，

则，，

所以平面平面，

所以动点P的轨迹是六边形MEFGHN及其内部.

又因为，所以点在侧面，

所以点的轨迹为线段，

因为AB=AD=2，，

所以.

故选：A.

二、填空题

13．若，则___________.

【答案】

【分析】根据诱导公式进行求解即可.

【详解】，

故答案为：

14．若实数x，y满足约束条件，则的最大值为______．

【答案】3

【分析】由题意，即，要使得最大，即直线与可行域相交，且截距最小，数形结合即得解

【详解】由题意，即，要使得最大，即直线与可行域相交，且截距最小，画出可行域如图所示：

如图所示，当直线经过与的交点时，截距最小

即最大，故的最大值为

故答案为：3

15．在矩形ABCD中，，，沿AC将折起，得到的四面体的体积的最大值为______．

【答案】4.8

【分析】由题意当平面平面时，四面体的体积最大值，过作交于点，则为高，从而可得答案.

【详解】由，，则

沿AC将折起,当平面平面时，四面体的体积最大值.

过作交于点，由平面平面，且平面平面

所以平面,则为此时四面体的高. 且

所以

故答案为：

16．已知集合，.若存在，，使，则称函数与互为“n度零点函数”.若函数与函数互为“1度零点函数”，则实数a的取值范围为___________.

【答案】

【分析】求解函数零点，根据题意列不等式求解函数零点的范围，参变分离后，构造新函数，求导判断单调性，求解出最值，即可求解出答案.

【详解】由，得，

由，得，设其解为，

因为函数与函数互为“1度零点函数”，

所以，解得，

由，得，

令，则，

当时，，当时，，

所以当时，取得极大值，

又，，

所以实数a的取值范围为.

故答案为：

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．

三、解答题

17．已知数列是递增的等差数列，，若，，成等比数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，数列的前n项和，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由等差数列的基本量运算和等比数列的性质列方程组解得和公差得通项公式；

（2）求出，用裂项相消法求和．

【详解】(1)设的公差为d，，

由条件得，∴

∴.

(2)由（1），，

，

∴

．

18．如图，内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，平面ABC，，．

(1)证明：平面平面ADE；

(2)求三棱锥A－CBE体积的最大值．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）首先证明平面，然后得到平面即可；

（2），然后求出的最大值即可.

【详解】(1)因为平面ABC，平面ABC，所以，

因为内接于圆O，AB是圆O的直径，所以，

因为，所以平面，

因为四边形DCBE为平行四边形，所以，所以平面，

因为平面ADE，所以平面平面ADE，

(2)因为平面ABC，，所以平面ABC，

所以，

所以当最大时，三棱锥A－CBE体积最大，

设，则

所以，当时等号成立，

所以三棱锥A－CBE体积的最大值为.

19．某农场主拥有两个面积都是200亩的农场——“生态农场”与“亲子农场”，种植的都是黄桃，黄桃根据品相和质量大小分为优级果､一级果､残次果三个等级.农场主随机抽取了两个农场的黄桃各100千克，得到如下数据：“生态农场”优级果和一级果共95千克，两个农场的残次果一共20千克，优级果数目如下：“生态农场”20千克，“亲子农场”25千克.

(1)根据提供的数据，作出2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为残次果率与农场有关？

(2)种植黄桃的成本为5元/千克，且黄桃价格如下表：

由于农场主精力有限，决定售卖其中的一个农场，以样本的频率作为概率，请你根据统计的知识帮他做出决策.（假设两个农场的产量相同）

参考公式：，其中n=a+b+c+d.

【答案】(1)列联表答案见解析，有95%的把握认为黄桃的残次果率与农场有关

(2)应该售卖“亲子农场”

【分析】（1）根据题意进行数据分析，完成2×2列联表，套公式计算，对照参数下结论；

（2）计算两个农场的平均利润，进行比较，即可得到答案.

【详解】(1)作出2×2列联表如下：

因为.

所以有95%的把握认为黄桃的残次果率与农场有关.

(2)对于“生态农场”，抽到的产品中盈利为5元的频率为0.2，盈利为3元的频率为0.75，盈利为-5.5元的频率为0.05，所以该农场每千克黄桃的平均利润为（元）；

对于“亲子农场”，抽到的产品中盈利为5元的频率为0.25，盈利为3元的频率为0.60，盈利为-5.5元的频率为0.15，所以该农场每千克黄桃的平均利润为（元）.

两个农场的产量相同，所以“生态农场”的盈利能力更大，应该售卖“亲子农场”.

20．在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且点在上.

(1)求的方程；

(2)点为的下顶点，点在内且满足，直线交于点，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）据条件求得椭圆E的基本量a、b、c，代入标准方程即可解决；

（2）通过设直线斜率为k，可以由此表达出P、Q的坐标，进而把用斜率k表达出来，再求其取值范围即可解决.

【详解】(1)因为椭圆的离心率为，所以，即

又由，可得

因为点在上，所以，所以

所以的方程为.

(2)因为为的下顶点，所以.

因为点在内，所以直线､的斜率存在且不为0.

设，

由，可得，则直线､的斜率乘积为

所以.

由消去得，

所以，所以，

由消去得，

所以，

，

.

令，当且仅当时，等号成立；

，所以，

所以的取值范围为.

21．设f(x)=xln x–ax2+(2a–1)x，aR.

（Ⅰ）令g(x)=f'(x)，求g(x)的单调区间；

（Ⅱ）已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.

【答案】（Ⅰ）当时，函数单调递增区间为，当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为； （Ⅱ）

【详解】试题分析：（Ⅰ）先求出，然后讨论当时，当时的两种情况即得.

（Ⅱ）分以下情况讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，综合即得.

试题解析：（Ⅰ）由

可得，

则，

当时，

时，，函数单调递增；

当时，

时，，函数单调递增，

时，，函数单调递减.

所以当时，单调递增区间为；

当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，.

①当时，，单调递减.

所以当时，，单调递减.

当时，，单调递增.

所以在x=1处取得极小值，不合题意.

②当时，，由(Ⅰ)知在内单调递增，

可得当当时，，时，，

所以在(0,1)内单调递减，在内单调递增，

所以在x=1处取得极小值，不合题意.

③当时，即时，在(0,1)内单调递增，在 内单调递减，

所以当时，， 单调递减，不合题意.

④当时，即 ，当时，，单调递增,

当时，，单调递减，

所以f(x)在x=1处取得极大值，合题意.

综上可知，实数a的取值范围为.

【解析】应用导数研究函数的单调性、极值,分类讨论思想

【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力及分类讨论思想等.

22．在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）．

（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；

（2）已知点，直线与曲线交于，两点，求的值．

【答案】（1），；（2）．

【分析】（1）由，得到，再将，代入即可，由（为参数），消去参数即可；

（2）根据点在直线上，化出直线的参数方程，与曲线的方程联立，利用参数的几何意求解.

【详解】（1）由已知得，

即

将，代入，

即可得曲线的直角坐标方程为，

，

消去参数，得到

故直线的普通方程为

（2）在直线上，且直线的倾斜角

直线的参数方程改写为：

代入曲线得：，

设，两点所对应参数分别为，，

则，，

故与异号，

则

【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是判断点p在直线l上，利用参数的几何意义而得解.

23．设函数，.

(1)解关于的不等式；

(2)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用分类讨论法解含绝对值的不等式作答.

（2）分段讨论去绝对值符号，再结合不等式恒成立列式计算作答.

【详解】(1)因函数，，则，

当时，，解得，无解，

当时，，解得，则有，

当时，，解得，则有，

综上得：，

所以不等式的解集是.

(2)依题意，，，

当时，，而在上单调递增，

当时，，于是得，

当时，，则有，解得，

当时，，而在上单调递增，

当时，，于是得，于是得，

综上得，

所以实数的取值范围.