2022届贵州省遵义市第四中学高三第三次统一考试数学（文）试题含解析

2022届贵州省遵义市第四中学高三第三次统一考试

数学（文）试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

2．命题“”的否定是（       ）

A．“” B．“”

C．“” D．“”

3．若复数z满足（i为虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点在（       ）

A．第一象限 B．实轴上 C．第三象限 D．虚轴上

4．若实数，且a，b同号，则下列不等式一定成立的是（       ）

A． B．

C． D．

5．圆O：上点P到直线l：距离的最小值为（       ）

A． B．

C．2 D．0

6．若实数x，y满足，则的最大值为（       ）

A．4 B．

C．8 D．10

7．贵州等七省份宣布从2021年秋季入学高一新生开始进入“”的新高考模式，2024年起高考不分文理新高考“”模式指的是，“3”即语文、数学、外语3门统一高考科目；“1”和“2”为选择性考试科目，其中“1”是从物理或历史科目中选择1门；“2”是从思想政治、地理、化学、生物学中选择2门．则新高考模式的不同组合有（       ）

A．12种 B．10种 C．9种 D．8种

8．已知和为非零向量，且，与的夹角为（       ）

A． B．

C． D．

9．将函数图像上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到曲线，则的解析式为(       )

A． B．

C． D．

10．如图，边长为2的等边三角形，取其中线的，构成新的等边三角形，面积为；再取新的等边三角形中线的，构成等边三角形，面积为；……如此下去，形成一个不断缩小的正三角形系列，则第5次构成的等边三角形的面积，为（       ）

A． B． C． D．

11．若奇函数在单调递增，且，则满足的x的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

12．内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则周长的最大值为（       ）

A．4 B．6 C．8 D．10

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知，，则_________．

14．已知函数，为的导函数，则_________．

15．已知函数满足：①；②；③在上单调递减，写出一个同时满足条件①②③的函数_________．

16．已知A，B是不过原点O的直线l与椭圆C：的两个交点，E为A，B中点，设直线AB、OE的斜率分别为且、，若，则该椭圆的离心率为_________．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答

17．记为等差数列的前n项和，．

(1)求数列的通项公式；

(2)求的值．

18．某中学在2021年高考分数公布后对高三年级各班的成绩进行分析．经统计，某班有50名同学，总分都在区间内，将得分区间平均分成5组，统计频数、频率后，得到了如图所示的“频率分布”折线图．

(1)请根据频率分布折线图，画出频率分布直方图；

(2)根据频率分布直方图估计该班级的平均分．

19．如图，在直三棱柱中，，，，点E，F，M，N分别为，，，的中点．

(1)求的值；

(2)求多面体的体积．

20．已知函数，．

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)若有且仅有两个不相等实根，求实数的取值范围．

21．已知为双曲线左右焦点，，且该双曲线一条渐近线的斜率为，点M和N是双曲线上关于x轴对称的两个点，为双曲线左右顶点．

(1)求该双曲线的标准方程；

(2)设和交点为P，则的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

在极点为O的极坐标系中，经过点的直线l与极轴所成角为，且与极轴的交点为N．

(1)当时，求l的极坐标方程；

(2)当时，求面积的取值范围．

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知．

(1)当时，求最大值；

(2)当时，证明：的解集非空．

参考答案：

1．C

【解析】

【分析】

由交集定义可直接得到结果.

【详解】

由交集定义知：.

故选：C.

2．D

【解析】

【分析】

根据全称命题的否定即可求解.

【详解】

命题“”的否定是： .

故选：D

3．B

【解析】

【分析】

求得，以及对应点的坐标，从而确定正确答案.

【详解】

由于，

所以，

所以对应点的坐标为，在实轴上.

故选：B

4．D

【解析】

【分析】

通过举反例判断A，B，根据不等式的性质，指数函数的性质判断C，D即可.

【详解】

取，可得，，A错，

取，可得，，B错，

因为指数函数在上为增函数，又，所以，C错，

因为幂函数在上为增函数，又，所以，D错，

故选：D.

5．B

【解析】

【分析】

根据圆与直线的位置关系，以及点到直线的距离公式即可求解.

【详解】

圆心到直线的距离设为，则，

又因为圆的半径，所以点P到直线l：距离的最小值为

故选：B

6．C

【解析】

【分析】

画出约束条件的可行域，化目标函数为斜截式方程，结合图形求出最优解，即可得出答案.

【详解】

解：画出约束条件的可行域，如图所示，

化目标函数为斜截式，

联立，解得，即，

结合图形可知，当直线过点时，取得最大值为.

故选：C.

7．A

【解析】

【分析】

根据分步乘法计数原理和组合数的计算即可求解.

【详解】

第一步：从物理或历史科目中选择1门的取法2种，

第二步：从思想政治、地理、化学、生物学中选择2门有种，所以新高考模式的不同组合共有.

故选：A

8．C

【解析】

【分析】

在等式两边平方，化简后可得结果.

【详解】

因为，则，即，

，

又因为和为非零向量，则与的夹角为.

故选：C.

9．A

【解析】

【分析】

将向右平移个单位长度，再把曲线上所有点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，即可得y=f(x)．

【详解】

将向右平移个单位长度得，

将上所有点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得，

∴．

故选：A﹒

10．C

【解析】

【分析】

设第次取中线的，构成新的等边三角形的边长为，则，从而可得等边三角形的边长是等比数列，求出，再根据三角形的面积公式即可得解.

【详解】

解：设第次取中线的，构成新的等边三角形的边长为，

则，所以，

故等边三角形的边长是以为公比的等比数列，

，

所以第5次构成的等边三角形的边长，

所以第5次构成的等边三角形的面积.

故选：C.

11．D

【解析】

【分析】

根据的单调性和奇偶性以及，知：当 时，，当 时，，进而根据分式不等式进行求解.

【详解】

由是奇函数在单调递增，且可知：当 时，，当 时，，

又或，解得：或

满足的x的取值范围是或

故选：D

12．B

【解析】

【分析】

结合两角和的正切公式、诱导公式求得，结合正弦定理、三角函数值域的求法，求得周长的最大值.

【详解】

，，

依题意，

即 ，，

所以为锐角，.

由正弦定理得，

所以，

所以三角形周长为

，

由于，

所以当时，三角形的周长取得最大值为.

故选：B

13．##

【解析】

【分析】

根据同角三角函数的平方关系即可求cosx，根据正弦二倍角公式即可求sin2x的值．

【详解】

，，

，

，

.

故答案为：.

14．

【解析】

【分析】

先求，再代入x=e即可计算．

【详解】

∵，∴，∴．

故答案为：．

15．（答案不唯一）

【解析】

【分析】

根据条件①②③结合二次函数的基本性质可得出一个满足条件的函数的解析式.

【详解】

由题意可知，的图象关于直线对称，且在上单调递减，且，

可取满足条件.

故答案为：（答案不唯一）.

16．

【解析】

【分析】

设，，利用点差法可得，根据条件及的关系可求离心率.

【详解】

设，，，因为直线AB斜率存在，故，

由已知可得，两式相减可得，

又，，

所以，

所以，又，

所以，故，

即，所以椭圆的离心率，

故答案为：.

17．(1)

(2)8960

【解析】

【分析】

（1）根据等差数列的基本量，列出方程即可求解，进而可得通项公式.

（2）根据等差数列的求和公式即可求解.

(1)

设等差数列的首项和公差分别为，由题意可知：

，解得

所以

(2)

由（1）知：当 时，，当 时，

所以

18．(1)答案见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据频率分布折线图，画出频率分布直方图；

（2）根据频率分布直方图，和平均数计算方法，即可求出结果.

(1)

根据折线图，频率分布直方图如下图：

(2)

平均分为：；

所以该班级的平均分约为.

19．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）连接，易知，根据题意结合余弦定理可得，可知，在直角三角形中，由勾股定理即可求出结果；

（2）连接，所以多面体MNFACE的体积，根据题意易知到面的距离为，再根据锥体的体积公式即可求出结果.

(1)

解：连接，

因为在直三棱柱中，，，

所以，，

又点F为的中点，

所以，

所以，

在中，由余弦定理可知，，

又，所以,

在直角三角形中，.

(2)

解：连接，

所以多面体的体积，

在直三棱柱中，点E，F，M，N分别为，，，的中点．

所以，所以，

所以到面的距离为，

所以，

又，

所以多面体的体积.

20．(1)单调递增区间为，单调递减区间为；

(2)

【解析】

【分析】

（1）求解导函数，再由与的解集，可得函数单调区间；（2）利用参变分离法，令新函数，求导判断单调性，从而得函数的最值，数形结合可得的取值范围.

(1)

时，，定义域为，

，当时，；

当时，，所以函数的单调递增区间为，

单调递减区间为.

(2)

由题意，，即有且仅有两个不相等实根，

令，，即与的图像有两个交点，

，时，，时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以函数的最大值为，

又因为时，，时，，

所以当时，与的图像有两个交点，

所以实数的取值范围为.

【点睛】

导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．

21．(1)

(2)不存在，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）根据已知条件求得，由此求得双曲线的标准方程.

（2）先求得点的轨迹，然后对的面积是否存在最大值进行判断.

(1)

依题意，

，解得，

所以双曲线的标准方程为.

(2)

的面积不存在最大值，理由如下：

设，则，

因为在双曲线上，所以，

,

所以所在直线的斜率为，

直线的方程为①，

同理可求得直线的方程为②，

①②得③，

将代入③得：，

化简得，

令①②，化简得，

经检验，当时，上式也满足.

故点的轨迹为椭圆去掉上下两个顶点.

因为，当点到轴的距离最大时，三角形的面积最大，

因为，故三角形的面积最大值不存在.

22．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）先求得的直角坐标方程，再转化为极坐标方程.

（2）对直线的倾斜角进行分类讨论，结合三角形的面积公式求得面积的取值范围.

(1)

点，则，

所以点的直角坐标为，

当时，直线的直角坐标方程为，

转化为极坐标方程为.

(2)

在极坐标系下：经过点的直线l与极轴所成角为，

在直角坐标系下：经过点的直线的倾斜角为或.

即直线的倾斜角是或.

当直线的倾斜角为时，

直线的方程为，

令得，

，，

，

所以

.

当直线的倾斜角为时，

直线的方程为，

令得，

，

所以

.

综上所述，面积的取值范围是.

23．(1)

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）将表示为分段函数的形式，由此求得的最大值.

（2）对进行分类讨论，结合绝对值三角不等式证得不等式成立.

(1)

当时，，

，所以的最大值为.

(2)

当时，，当时成立.

当时，

，

因为，故，时等号成立.

即.

综上所述，当时，的解集非空．