2022届重庆市南开中学校高三第九次质量检测数学试题含解析

这是一份2022届重庆市南开中学校高三第九次质量检测数学试题含解析，共21页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

重庆市南开中学校2022届高三第九次质量检测
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则集合（       ）
A． B． C． D．
2．命题“，”的否定为（       ）
A．， B．， C．， D．，
3．已知复数z满足：（i为虚数单位），则复数z的模（       ）
A．1 B． C．2 D．
4．浮萍是我国南方常见的一种水生植物，生长速度非常快．最快每30个小时浮萍铺在水面的面积就可以扩大为原来的2倍．李大爷承包了一块面积为3亩（1亩≈666.7平方米）的鱼塘，为养殖草鱼购买了一些浮萍．最初，浮萍铺在水面上大约有1平方米，如果浮萍始终以最高效繁殖，大约（       ）天后，浮萍可以铺满整个鱼塘．（不考虑草鱼对浮萍的损耗．结果四舍五入到整数，参考数据：）
A．12 B．14 C．16 D．18
5．已知圆上仅存在一个点到直线的距离为1，则实数a的值为（       ）
A．-2 B． C．-1 D．0
6．已知实数a，b，c满足，则下列不等式一定不成立的为（       ）
A． B． C． D．
7．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码．如果排列时要求数字9不在最后一位，那么小明可以设置的不同密码有（       ）个．
A．600 B．300 C．360 D．180
8．已知函数，则关于t的不等式的解集为（       ）
A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知函数，，则下列判断正确的有（       ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数的图象向左平移个单位可以得到函数的图象
C．函数的最小正周期为
D．函数在区间内单调递增
10．下列命题正确的是（       ）
A．若且，则
B．对于随机事件A和B，若，则事件A与事件B独立
C．回归分析中，若相关指数越接近于1，说明模型的拟合效果越好；反之，则模型的拟合效果越差
D．用等高条形图粗略估计两类变量X和Y的相关关系时，等高条形图差异明显，说明X与Y无关
11．“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．某天小明在广场上发现了如图1所示的一个石凳，其形状是将一个正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”（如图2所示）．小明用卷尺测量出这个石凳的高度为50cm，他给出了如下判断，请你指出小明的哪些判断是正确的（       ）

A．这个石凳共有24条棱，12个顶点，14个面
B．一个体积为1立方米的正方体石料可以切割出8个这样的石凳（不计损耗）
C．这个石凳也可以由一个直径为70cm的球形石料切割而成（不计损耗）
D．如果将这个石凳三角形的那个面水平放置，石凳的高度会增加
12．已知函数，其中常数，，则下列说法正确的有（       ）
A．函数的定义域为
B．当，时，函数有两个极值点
C．不存在实数和m，使得函数恰好只有一个极值点
D．若，则“”是“函数是增函数”的充分不必要条件

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．的展开式中含x的项的系数为______．
14．设为抛物线上一点，的焦点为，过点作的准线的垂线，垂足为，若直线的倾斜角为，且的面积为，则______．
15．已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量．如图所示，顶角的等腰三角形PQR的顶点P、Q的坐标分别为、，则顶点R的坐标为______．

16．给定正整数，按照如下规律构成三角形数表：第一行从左到右依次为1，2，3，…，n，从第二行开始，每项都是它正上方和右上方两数之和，依次类推，直到第n行只有一项，记第i行第j项为，如图所示．现给定，若，则i的最小值为______．


四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，．
(1)求角B；
(2)若点D在边AB上，，，求△ABC面积的最大值．
18．①，；②为的前n项和，，；在①②中选择一个，补充在下面的横线上并解答．已知数列满足______．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，为数列的前n项和，求证：．
19．如图，在四面体ABCD中，G为△ABC的重心，E，F分别在棱BC，CD上，平面平面EFG．

(1)求的值；
(2)若平面BCD，，且，求二面角的正弦值．
20．公众号“山城学术圈”根据统计局统计公报提供的数据，对我国2015—2021年的国内生产总值GDP进行统计研究，做出如下2015—2021年GDP和GDP实际增长率的统计图表．通过统计数据可以发现，GDP呈现逐年递增趋势．2020年，GDP增长率出现较明显降幅，但GDP却首次突破100万亿．现统计人员选择线性回归模型，对年份代码x和年度实际GDP增长率进行回归分析．
年份
2015年
2016年
2017年
2018年
2019年
2020年
2021年
年度GDP（亿元）
688858.2
746395.1
832035.9
919281.1
986515.2
1015986.2
1143669.7
年份代码x
1
2
3
4
5
6
7
GDP实际增长率
7.0
6.8
6.9
6.7
6.0
2.3
8.1

(1)用第1到第7年的数据得到年度实际GDP增长率关于年份代码x的回归方程近似为：，对该回归方程进行残差分析，得到下表，视残差的绝对值超过1.5的数据为异常数据．
年份代码x
1
2
3
4
5
6
7
GDP实际增长率
7.0
6.8
6.9
6.7
6.0
2.3
8.1
GDP增长率估计值
6.98

6.50
6.26
6.02

5.54
残差
0.02

0.40
0.74
-0.02

2.56
将以上表格补充完整，指出GDP增长率出现异常数据的年份及异常现象，并根据所学统计学知识，结合生活实际，推测GDP增长率出现异常的可能原因；
(2)剔除（1）中的异常数据，用最小二乘法求出回归方程：，并据此预测数据异常年份的GDP增长率．
附：，
21．已知，直线过椭圆的右焦点F且与椭圆交于A、B两点，l与双曲线的两条渐近线、分别交于M、N两点．

(1)若，且当轴时，△MON的面积为，求双曲线的方程；
(2)如图所示，若椭圆的离心率，且，求实数的值．
22．已知．其中，为自然对数的底数．
(1)设曲线在点处的切线为l，若l与两坐标轴所围成的三角形的面积为，求实数a的值．
(2)若，当时，恒成立时，求a的最大值．

参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
根据求解即可
【详解】
由题，当时最小为，最大为，且可得，故集合
故选：D
2．A
【解析】
【分析】
由全称命题的否定：将任意改存在并否定原结论，即可得答案.
【详解】
由全称命题的否定为特称命题，
故原命题否定为“，”.
故选：A
3．D
【解析】
【分析】
由复数除法法则计算出，再求出模即可.
【详解】
因为，所以，
所以.
故选：D.
4．B
【解析】
【分析】
易得浮萍天后在水面上的面积大约有平方米，再列式两边取对数求解即可
【详解】
由题，鱼塘面积共平方米，浮萍天后在水面上的面积大约有平方米，故浮萍铺满整个鱼塘的天数满足，两边取对数化简有，解得，故大约14天后，浮萍可以铺满整个鱼塘
故选：B
5．D
【解析】
【分析】
写出圆的标准形式确定圆心和半径，求圆心到直线距离并结合已知，判断与半径的关系求实数a.
【详解】
由圆的标准方程为，则圆心为，半径为且，
又到的距离，
所以要使圆上仅有一点到直线距离为1，只需且，则.
故选：D
6．C
【解析】
【分析】
根据的图象，应用数形结合法判断不同取值情况a、b、c的大小关系，即可得结果.
【详解】
由的图象如下：

由图知：当时，，D可能；
当时，，B可能；
当时，，A可能.
故选：C
7．B
【解析】
【分析】
分最后一位为1、不为1两种情况，结合特殊位置法、插空法、捆绑法及排列组合数对不同情况计数，即可得答案.
【详解】
当最后一位为1时，共有种；
当最后一位不为1时，在3、4、5任选一个放最后有种，
把余下2个数字与9全排有种，
将两个1插入4个空中的2个有种，或两个1捆绑插入4个空中的1个有种，
共有种；
综上，共有种.
故选：B
8．C
【解析】
【分析】
根据函数解析式判断函数关于点成中心对称，再由基本初等函数判断函数单调性，转化原不等式后求解即可.
【详解】
，
图象关于点成中心对称，
又的定义域为，
由在上单调递增知，
在上递增，
，，
即，
，解得，又，解得，
所以.
故选：C
9．BC
【解析】
【分析】
A代入法判断；B由平移过程写出，利用诱导公式变形判断；C应用三角恒等变换化简，进而求最小正周期；D求得，结合正弦型函数性质判断单调性.
【详解】
A：，故关于对称，错误；
B：，正确；
C：，其周期为，正确；
D：在上，故在内不单调，错误.
故选：BC
10．BC
【解析】
【分析】
A由正态分布的对称性求概率；B利用条件概率公式转化判断；C、D根据相关指数的实际意义、等高条形图的性质判断
【详解】
A：由，根据正态分布对称性，错误；
B：由题意，即，故事件A与事件B独立，正确；
C：相关指数的实际意义知：相关指数越接近于1，说明模型的拟合效果越好；反之，则模型的拟合效果越差，正确；
D：由等高条形图与列联表关系，差异明显表明X与Y相关可能很大，错误.
故选：BC
11．ABD
【解析】
【分析】
利用“阿基米德多面体”与正方体之间的关系计算出正方体的棱长，可判断A是否正确；根据题意先求出一个“阿基米德多面体”的体积，再根据体积关系即可判断B是否正确；求出棱长为的正方体的外接球的直径该球的直径也是“阿基米德多面体”外接球的直径，将该直径与70cm比较，由此即可判断C是否正确；根据等体积法求出每个三棱锥的高，在根据正方体的体积公式，可求出两个三角形所在平面的距离，将其与正方体的棱长比较，即可判断D是否正确.
【详解】
观察所得的几何体可知，几何体有24条棱、12个顶点、14个面，选项A正确；
由题意可知，“阿基米德多面体”体积为原正方体体积减去8个三棱锥体积，设原正方体的棱长为，则8个三棱锥体积为，所以“阿基米德多面体”体积为，
又石凳的高度为50cm，所以原正方体的棱长，
所以“阿基米德多面体”体积为，
又1立方米等于，所以，
所以一个体积为1立方米的正方体石料可以切割出8个这样的石凳（不计损耗），故B正确；
原正方体的棱长，则其外接球的直径为，又 ，所以一个直径为70cm的球形石料切割不成该几何体（不计损耗），故C错误；
设原正方体的棱长为，则每个三棱锥是底面边长为的正三角形，侧棱长，且两两互相垂直的三棱锥，设顶点到正三角形的距离为，
由三棱锥的体积可知，解得，
所以两个对角上的正三角形所在面的距离为，
由题意可知，如果“阿基米德多面体”按照图2放置，则高度为，所以如果将这个石凳三角形的那个面水平放置，石凳的高度为，所以高度会增加，故D正确；
故选：ABD.
12．BC
【解析】
【分析】
A判断时的定义域情况即可；B利用导数研究的单调性，判断是否有两个变号零点即可；C、D对求导，构造结合二次函数性质讨论和m，应用零点存在性定理判断变号零点的个数，进而判断极值点个数及单调性.
【详解】
A：当时定义域为，错误；
B：且定义域为，则，
而在上递减，上递增，且，，
所以在上各有一个变号零点，则有两个极值点，正确；
C：，则，
令，则图象开口向上，对称轴且，
要使有极值点，必有变号零点，则，所以或，
当时，则定义域为，又，
此时则，故在上递增，又，即，无极值点；
此时则，则在递减，递增，
故、各有一个零点，即有两个变号零点；
当时，则定义域为，且，，
则在上递增，又，即，无极值点；
当时，定义域为，，
此时则，故在上递减，递增，
又，，趋向正无穷趋于正无穷，故在、各有一个变号零点，即有两个变号零点；
此时则，则在递增，又，即，无极值点；
综上，不存在实数和m，使得函数恰好只有一个极值点，正确；
D：结合C分析：当且时有，则在上恒正，即，此时是增函数；
当且时有，则在，各有一个零点，易得有两个变号零点，此时不单调，
命题的充分性不成立，错误.
故选：BC
【点睛】
关键点点睛：C、D首先对求导，构造，结合二次函数性质讨论参数判断变号零点的个数及单调性.
13．
【解析】
【分析】
求出二项展开式的通项，再令的指数等于1，从而可得出答案.
【详解】
解：的展开式的通项为，，
令，则，
所以的展开式中含x的项的系数为.
故答案为：.
14．
【解析】
【分析】
设准线与轴的交点为，由题意可知，在直角三角形中，易知，根据抛物线的定义可知，可知，在三角形中，由余弦定理可知，再根据三角形面积公式即可求出结果.
【详解】
设准线与轴的交点为，因为直线的倾斜角为，所以，

在直角三角形中，，所以，
由轴可知，，
由抛物线的定义可知，所以，
所以，
所以在三角形中，由余弦定理可知，
所以，所以的面积为，
所以.
故答案为：.
15．
【解析】
【分析】
设，表示出，根据已知列出式子即可求出.
【详解】
设，则，
因为，所以，
解得，即顶点R的坐标为.
故答案为：.
16．9
【解析】
【分析】
根据已知可得，再由即可解得.
【详解】
由题可得三角形数表的每一行都是等差数列，且公差分别为，
所以

…
，
所以，解得，
所以i的最小值为9.
故答案为：9.
17．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由余弦定理化简可得，再由正弦定理化边为角即可求出；
（2）在中，由余弦定理结合基本不等式可求得，即可得出答案.
(1)
因为，
所以，即，
由正弦定理可得，即，
即，因为，所以，
因为，所以；
(2)
在中，由余弦定理可得，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，
所以面积的最大值为.
18．(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）选择①：根据前项和与前项和的关系求解即可；
选择②：根据与化简可得
（2）代入化简再裂项相消求和证明即可
(1)
选择①：
当时，；
当时，
，两式相减得
，故，又当时， 也满足，故
选择②：
当时，，解得
当时，，，两式相减有，即，故是以为首项，3为公比的等比数列，故
(2)代入可得，
故
，即得证
19．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）延长交于点，连接，根据重心的性质可得，根据面面平行的性质得到，即可得解；
（2）由线面垂直的性质得到，即可得到平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值，即可得解；
(1)
解：延长交于点，连接，
因为为的重心，所以为的中点，且，
因为平面平面，平面平面，平面平面，
所以，
所以，所以，所以

(2)
解：因为平面，平面，所以，，
因为，，平面，所以平面，
如图建立空间直角坐标系，由（1）同理可得，则，
所以，，，，
所以，，
设平面的法向量为，则，令，则，，则，
设平面的法向量为，则，令，则，，则，
设二面角为，显然二面角为钝角，则，
所以，
所以二面角的正弦值为；

20．(1)详见解析；
(2)详见解析
【解析】
【分析】
（1）根据实际GDP增长率关于年份代码x的回归方程近似为：和残差的定义求解；
（2）先求得，进而得到，写出回归直线方程求解.
(1)
解：
年份代码x
1
2
3
4
5
6
7
GDP实际增长率
7.0
6.8
6.9
6.7
6.0
2.3
8.1
GDP增长率估计值
6.98
6.74
6.50
6.26
6.02
5.78
5.54
残差
0.02
0.06
0.40
0.74
-0.02
-3.48
2.56
由视残差的绝对值超过1.5的数据为异常数据，则2020年份估计值远远大于实际值，2021年份估计值远远小于实际值，由于2020年疫情经济受到很大的影响，实际增长下滑，2021年份，国家采取措施，刺激经济增长；
(2)
因为，
，，
所以，，
所以回归直线方程为，
当时，，当时，.
21．(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由题设可得、，结合三角形面积可得，由椭圆参数关系求a、b，即可写出双曲线方程.
（2）由椭圆离心率可得，进而可得双曲线渐近线，假设，写出、l方程，联立求N坐标，由向量的数量关系及向量坐标表示求A坐标，根据A在椭圆上求值.
(1)
由题设，且双曲线的渐近线为，
当轴时，，又，△MON的面积为，
所以，故，而，可得，
所以双曲线的方程为.
(2)
对于椭圆有，而，则，
不妨假设，则且l为，
所以，又，，
令，则，故，
所以，而在椭圆上，
则，整理得，
综上，可得.
22．(1)或
(2)3
【解析】
【分析】
（1）根据导数的几何意义求得曲线在点处的切线方程，再求得l与两坐标轴的截距，进而利用l与两坐标轴所围成的三角形的面积为求解即可
（2）参变分离得到，再求导分析的单调性，求出极值点的表达式，进而得到的最小值范围，进而求得a的最大值
(1)
由题，，故，故的方程为，即，由题意可得，令有，故，解得或
(2)
当时成立，当时，恒成立即，设，则，令，则，设，当时，，故；当时，，故，综上有，故，故为增函数.又，因为，故，所以，故存在唯一零点使得，故当时，单调递减，当时，单调递增，故，又，即，
故，设，则，故为增函数，又，所以，，故，故要且为正整数则a的最大值为3
【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义，同时也考查了利用导数解决恒成立问题，遇到带参数时可以考虑参变分离，设极值点分析最值的范围，属于难题