2021-2022学年云南省昆明市第一中学高二下学期期中考试数学试题含解析

2021-2022学年云南省昆明市第一中学高二下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．设集合，集合满足，则满足条件的集合的个数为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】列出满足的集合全部情况即可.

【详解】因为集合，，则，

所以集合可能的情况有，，，，共有4个.

故选：D

【点睛】本题主要考查集合的并集运算，属于简单题.

2．已知数列的前项和为，且，，则为（       ）

A．1024 B．2096 C．1023 D．2095

【答案】C

【分析】先由定义判断数列是等比数列，求出首项，再按照求和公式求即可.

【详解】由可得，又，故数列为公比为2的等比数列，

则，解得，故.

故选：C.

3．函数的图象大致为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】先根据函数的奇偶性排除部分选项，再由时判断.

【详解】因为，

所以为奇函数，排除C，D；

又因为时，排除B，

故选：A.

4．已知向量与的夹角为120°，||＝3，|＋|＝，则等于（       ）

A．5 B．4 C．3 D．1

【答案】B

【分析】将|＋|＝两边平方，得到关于的一元二次方程，解方程即可.

【详解】∵向量与的夹角为120°，||＝3，|＋|＝，

∴,

∵，

∴，

∴＝﹣1（舍去）或＝4，

故选：B．

【点睛】本题考查向量数量积的运算，考查向量的模的计算，考查计算能力，属于基础题.

5．函数的单调递减区间是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求导，，由即可得解.

【详解】函数的定义域是，，

令，解得，

故函数在上单调递减，

选：D.

【点睛】本题考查了利用导数求函数单调性，考查了导数的基本能应用，属于基础题.

6．已知函数(ω>0)，若f(x)在上恰有两个零点，则ω的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】当时，，所以所包含的两个零点为，则当时，，求解可得的范围.

【详解】解：因为，且ω>0，所以，又f(x)在上恰有两个零点，所以且，解之得.

故选：A.

【点睛】思路点睛：已知的范围，已知零点个数，则只需保证终点介于第二个零点和第三个零点之间即可.

7．设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】分析：作图，D为MO 与球的交点，点M为三角形ABC的中心，判断出当平面时，三棱锥体积最大，然后进行计算可得．

详解：如图所示，

点M为三角形ABC的中心，E为AC中点，

当平面时，三棱锥体积最大

此时，

,

点M为三角形ABC的中心

中，有

故选B.

点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当平面时，三棱锥体积最大很关键，由M为三角形ABC的重心，计算得到，再由勾股定理得到OM，进而得到结果，属于较难题型．

8．记函数的定义域为，函数，若不等式对恒成立，则的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据函数解析式，先求出；令，根据函数奇偶性的定义，判定是奇函数；根据导数的方法判定是增函数；化所求不等式为，进而可求出结果.

【详解】由解得，即，

令，

则，

则是R上的奇函数；

又显然恒成立，

所以是增函数；

由得，

即，即，

由是R上的奇函数且为增的函数，

所以得：.

所以，

当时，.所以.

故选：A.

【点睛】本题主要考查由不等式恒成立求参数的问题，考查函数奇偶性与单调性的综合，考查导数的方法判定函数单调性，属于常考题型.

二、多选题

9．已知i为虚数单位，则下列结论正确的是（       ）

A．复数的虚数部为 B．复数的共轭复数

C．复数在复平面对应的点位于第二象限 D．复数z满足，则

【答案】ABD

【分析】根据复数除法运算化简求出可判断AB；根据复数几何意义可判断C；根据复数的定义可判断D.

【详解】对于A，，其虚部为，故A正确：

对于B，，故，故B正确；

对于C，，在复平面内对应点的坐标为，位于第四象限，故C不正确；

对于D，设，则，又，得，所以，故D正确.

故选：ABD.

10．已知向量＝（1，－3），＝（2，－1），＝（m＋1，m－2），若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是（　　）

A．－2 B． C．1 D．－1

【答案】ABD

【分析】先求与，使之共线并求出的值，则A，B，C三点不共线即可构成三角形，因此取共线之外的值即可．

【详解】因为，

．

假设A，B，C三点共线，则1×（m＋1）－2m＝0，即m＝1．所以只要m≠1，则A，B，C三点即可构成三角形.

故选：ABD．

11．已知函数则下列判断正确的是（       ）

A．关于直线对称 B．关于直线对称

C．关于点对称 D．关于点对称

【答案】AC

【解析】根据两角差的正弦公式将函数解析式化为，然后采用代入检验法可得答案.

【详解】解：，

则，

即函数关于直线对称，故A正确，D错误；

，

则函数不关于直线对称，故B错误；

，

即关于对称，故C正确.

故选：AC.

【点睛】本题考查了两角差的正弦公式，考查了正弦函数的对称轴和对称中心，属于较易题.

12．下列四个命题中，是真命题的是（       ）

A．，且

B．，使得

C．若，，则

D．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是

【答案】BCD

【分析】选项A：根据基本不等式可知x＜0时不成立；

选项B：验证时成立即可；

选项C：要证，只需证，即证，利用基本不等式即可证明；

选项D：通过分离参数可得m＜－，时成立，所以只需求函数，x∈(1,2)的最小值即可.

【详解】对于A：，且对x＜0时不成立；

对于B：当x＝1时，x2＋1＝2，2x＝2，x2＋1≤2x成立，正确；

对于C：若x＞0，y＞0，则(x2＋y2)(x＋y)2≥2xy·4xy＝8x2y2，即，当且仅当x＝y＞0时取等号，正确；

对于D：当x∈(1,2)时，若不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，

即m＜－在x∈(1,2)时恒成立，令，x∈(1,2)，

根据对勾函数可知函数f(x)在(1,2)上单调递增．所以f(x)＞f(1)＝－5.

所以m≤－5，因此实数m的取值范围是(－∞，－5]，正确．

故选：BCD.

三、填空题

13．的展开式中含项的系数为___________.

【答案】

【分析】直接由二项展开式求出含的项，即可求得含项的系数.

【详解】由可得含项为，故含项的系数为.

故答案为：.

14．函数的最大值是____________.

【答案】

【分析】先利用倍角公式和诱导公式化简得到，再结合求出最大值即可.

【详解】，又可得，

故，故的最大值是.

故答案为：.

15．在抗击新冠肺炎的疫情中，某医院从3位女医生，5位男医生中选出4人参加援鄂医疗队，至少有一位女医生入选，其中女医生甲和男医生乙不能同时参加，则不同的选法共有种______（用数字填写答案）.

【答案】50

【解析】以女医生的人数进行分类.有1位女医生时，有3位男医生，又分为两种情况：有女医生甲和不含女医生甲；有2位女医生时，有2位男医生，又分为两种情况：有女医生甲和不含女医生甲；有3位女医生时，有1位男医生.根据分类计数原理可得不同的选法种数.

【详解】以女医生的人数进行分类.

有1位女医生时，有3位男医生，有种选法；

有2位女医生时，有2位男医生，有种选法；

有3位女医生时，有1位男医生，有种选法.

根据分类计数原理可得，共有种选法.

故答案为：50.

【点睛】本题考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理，属于基础题.

16．已知，分别为双曲线的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆交双曲线的右支于，两点，若，则双曲线的离心率为_________.

【答案】.

【分析】根据已知条件可知，那么，然后进一步求出，根据双曲线的定义可知，求出离心率.

【详解】设与轴交于点，则，所以，

所以，所以，所以，

所以双曲线的离心率.

【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，本题的重点是利用半径等于，根据平面几何的性质将和都表示成与有关的量，然后根据双曲线的定义求解.

在圆锥曲线中求离心率的方法：（1）直接法，易求的比值；（2）构造法，根据条件构造成关于的齐次方程；（3）几何法，利用椭圆和其他平面图形的一些几何性质，找到等量关系，求离心率.

四、解答题

17．在① ,,② ,, ③ , 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.已知等差数列的前项和为且_________.（填写序号）

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求证数列的前项和

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）选条件①，利用等差数列的通项公式即可求解；选条件②，利用等差数列的前项和公式以及等差数列的通项公式即可求解；选条件③，利用等差数列的通项公式即可求解.

（2）利用裂项求和法即可求解.

【详解】（1）方案一：选条件①.

设等差数列的公差为.

因为，，

所以,解得

所以.   

方案二：选条件②.

设等差数列的公差为.

因为，，所以,解得

所以.   

方案三：选条件③.

设等差数列的公差为，所以.

因为，，所以，，

所以，

所以.   

（2）由（1）知，

所以

=＜．

18．在中，已知a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足.

(1)求的大小；

(2)若的面积为，其外接圆半径，求的周长.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，利用正弦定理和两角和的正弦公式，化简得到，求得，即可求得的大小；

又由，所以.

（2）由（1）知和三角形的面积公式，求得，利用正弦定理求得，结合余弦定理列出方程求得，进而求得三角形的周长.

【详解】(1)解：因为，由正弦定理可得，

即，

又因为，所以，

由，可得，所以，

又由，所以.

(2)解：由（1）知，所以的面积为，解得，

因为的外接圆半径，

由正弦定理可得，所以，

又由余弦定理得，即

，

解得，所以，

所以的周长为.

19．如图，在三棱柱中，，.

（1）证明：；

（2）若，求二面角的余弦值.

【答案】(1)见解析(2)

【详解】试题分析：（1）易知△ 与△均为等边三角形，点为的中点，可得，，进而得平面，从而得证；

（2）由勾股定理可得，从而以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，分别求平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用法向量求解二面角即可..

试题解析：

（1）证明：设点为的中点，连接，，由，，知△与△均为等边三角形，点为的中点，可得，，，相交于点，所以平面，又平面，所以．

（2）由（1）知△与△均是边长为是等边三角形，，又在△中，，由余弦定理得，所以，故，，以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系．

可得，，，，

，，，

设为平面的一个法向量，则

，得，同理可得平面的一个法向量为，

由，

所以，二面角的余弦值为．

点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.

20．某电器专卖店试销A、B、C三种新型空调，销售情况如下表所示：

(1)根据型空调连续前3周销售情况，预估型空调连续5周的平均周销量为10台，那么当型空调周销售量的方差最小时，求，的值；

（注：方差，其中为的平均数）

(2)为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从该电器专卖店第二周和第三周售出的空调中分别随机抽取一台，求抽取的两台空调中型空调台数的分布列和数学期望.

【答案】(1)或；

(2)分布列见解析，期望为

【分析】（1）先由平均数求得，再用方差公式表示出方差，借助二次函数求出最值即可；

（2）分别求出为0，1，2的概率，列出分布列，再按照期望公式计算期望即可.

【详解】(1)由连续5周的平均周销量为10台可得，则，

又方差

，

因为，故或时，方差最小，即或方差最小；

(2)的取值为0，1，2，，，，则分布列如下：

故期望为：.

21．已知椭圆：上任意一点，过点作轴，为垂足，且.

(1)求动点的轨迹的方程；

(2)设直线与曲线相切，且与椭圆交于，两点，求面积的最大值（为坐标原点）.

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）设出点、点、点的坐标，结合平面向量的坐标运算建立参数关系式，代入椭圆的方程即可求得动点的轨迹的方程；

（2）设直线，根据直线与曲线相切建立关系式得到，将直线与椭圆联立，进而求解弦长，利用基本不等式求解最值，结合高为定值即可求出面积的最大值.

【详解】(1)设，则，所以，

由得，即，

又因为点在椭圆上，可得，即，故动点的轨迹的方程为；

(2)易得直线的斜率不为0，设直线，由直线与曲线相切可得，即，设，

由得，显然，

所以，，

又，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为，

而在中边上的高始终为1，所以面积的最大值为.

22．已知函数.

（1）设函数，讨论的单调性；

（2）当时，恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）.

【解析】（1）求导得后分类讨论即可求解；

（2）求函数的导数，利用导函数确定函数的单调性，根据单调性求出函数在上的最小值，根据恒成立即可求解.

【详解】（1）由已知得，所以.

①当时，，在上单调递增.

②当时，令，则；

令，则.

所以在上单调递减，上单调递增

综上所述，当时，在上单调递增；

当时，在上单调递减，在上单调递增

（2），

令，得

设，

则

当时，，在上单调递增，

所以的值域是.

当时，没有实根，，在上单调递增，

所以，符合题意

当时，，

所以有唯一实根，

即有唯一实根，

当时，，在上单调递减，

所以，不符合题意

综上所述，，

即的取值范围是.

【点睛】关键点点睛：本题为了确定导函数在上的正负，需要构造函数，利用导数确定在上递增，求出，分类讨论可得在上的正负是解题的关键.