2021-2022学年河南省信阳高级中学高二下学期4月月考数学（文）试题含解析

2021-2022学年河南省信阳高级中学高二下学期4月月考数学（文）试题

一、单选题

1．设I为全集，、、是I的三个非空子集且.则下面论断正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】画出关于且含7个不同区域的韦恩图，根据韦恩图结合集合的交并补运算确定各选项中对应集合所包含的区域，并判断包含关系.

【详解】将分为7个部分(各部分可能为空或非空)，如下图示：

所以、、，

则，，，

所以，故，A错误；

，故，B错误；

，C正确；

，显然与没有包含关系，D错误.

故选：C

2．复数=（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】首先，再利用复数的除法运算，计算结果.

【详解】复数.

故选：B

3．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝（       ）

A．58 B．88 C．143 D．176

【答案】B

【详解】试题分析：等差数列前n项和公式，．

【解析】数列前n项和公式．

4．已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据已知条件求得圆心和半径，由此求得圆的方程.

【详解】直线与直线平行，

直线与直线都与圆相切，

所以圆的圆心在直线上，

由可求得.

直线与直线的距离为，

所以圆的半径为，

所以圆的方程为.

故选：B

5．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则（       ）

A．p1＜p2＜p3 B．p2＜p1＜p3

C．p1＜p3＜p2 D．p3＜p1＜p2

【答案】C

【详解】列表得:

所以一共有36种等可能的结果,两个骰子点数之和不超过5的有10种情况,点数之和大于5的有26种情况,点数之和为偶数的有18种情况,所以向上的点数之和不超过5的概率p1==,点数之和大于5的概率p2==,点数之和为偶数的概率记为p3==.

点睛：考查古典概型及其概率计算公式.首先列表,然后根据表格点数之和不超过5,点数之和大于5,点数之和为偶数情况,再根据概率公式求解即可.

6．设等比数列的前n项和为，若，则=（       ）

A．2 B． C． D．3

【答案】B

【分析】直接利用等比数列的前项和性质得到答案.

【详解】等比数列的前n项和为，则成等差数列，

，即，故，故，故.

故选：B.

【点睛】本题考查了等比数列的前项和性质，意在考查学生的计算能力和转化能力.

7．若函数，，则的最大值是（       ）

A．1 B．2 C．+1 D．+2

【答案】B

【分析】利用切化为弦，结合辅助角公式先将函数化简，得到，然后由正弦函数的性质可得到其最大值.

【详解】由，则

因为，所以，所以当时，取到最大值2.

故选：B

8．某店一个月的收入和支出总共记录了个数据，，…，，其中收入记为正数，支出记为负数．该店用下边的程序框图计算月总收入和月净盈利，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（       ）．

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】直接根据程序框图表示的意义得到答案.

【详解】程序框图的第一空表示判断是收入还是支出，填写；

第二个空表示求月净盈利，填写.

故选：C.

【点睛】本题考查了完善程序框图，意在考查学生的理解能力和推断能力.

9．函数的图象大致是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】通过求函数的定义域，自变量与函数值的变化情况，利用排除法可求解

【详解】解：因为函数的定义域为，所以A不符合题意，

当时，，，则，所以B不符合题意，

当趋向于无穷大时，的增长速度快于的增长速度，所以对的趋向于零，所以D不符合题意，C符合题意，

故选：C

10．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】试题分析：设圆锥底面圆的半径为，高为，依题意，，，

所以，即的近似值为，故选B.

【解析】《算数书》中的近似计算，容易题.

11．已知P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为（       ）

A．1 B．3 C．4 D．8

【答案】C

【详解】如图所示，

由已知可设，，∵点P,Q在抛物线上，∴

∴∴P（4,8），Q（-2.，2），又∵抛物线可化为∴

∴过点P的切线斜率为，∴过点Q的切线为，即

联立，解得，∴点A的纵坐标为-4.

考点定位：本小题考查抛物线和导数知识，意在考查考生对抛物线的理解以及对利用导数求切线方程的理解

12．若，则下列不等式恒成立的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】对于，当 时，，而 ，所以A选项不正确；对于，当 时，，所以B选项不正确；令 ，则，对 恒成立，在 上为增函数，所以的最小值为 ，所以，，故C正确；令 ，则，

令，得.当 时，，当时， .

在 时取得最小值，所以D不正确．

故选：C

考点定位：本题考查不等式恒成立问题，意在考查考生用构造函数的方法，利用导数求最值来比较大小的能力

二、填空题

13．设向量.若，则实数_____.

【答案】

【分析】根据向量的垂直关系得到向量的数量积为，再将，分别用坐标表示出来，最后根据坐标形式下的向量垂直对应的关系式求解出的值.

【详解】因为，所以，

因为，所以，

所以，所以，

故答案为：.

【点睛】本题考查根据向量的垂直关系求参数，难度较易.已知，若，则有..

14．若变量，满足约束条件，且的最小值为，则_________．

【答案】

【详解】试题分析：画出如图所示的可行域，由可得，由图像可知当直线经过点A时，直线截距最小，即最小，则目标函数为因为解得即，因为点A也在直线上，所以

15．如图所示，函数的图象由两条射线和三条线段组成．若,，则正实数a的取值范围是_________．

【答案】

【详解】试题分析：由已知可得且，若，则

，解得，所以实数的取值范围是.

【解析】函数图象的应用.

【方法点晴】本题主要考查了函数的图象及其应用，其中解答中涉及函数的图象及其简答的性质，全称命题、函数的恒成立问题等知识点的综合考查，其中解答中根据已知条件和函数的图象，列出相应的不等式组是解答本题的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，属于中档试题.

16．已知正三棱锥ABC，点P，A，B，C都在半径为 的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为________．

【答案】

【详解】正三棱锥P-ABC可看作由正方体PADC-BEFG截得，如图所示，

PF为三棱锥P-ABC的外接球的直径，且,设正方体棱长为a，则，

由，得，所以，因为球心到平面ABC的距离为.

考点定位：本题考查三棱锥的体积与球的几何性质，意在考查考生作图的能力和空间想象能力

三、解答题

17．某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过立方米的部分按4元/立方米收费，超出立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：

（1）如果为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，至少定为多少？

（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当时，估计该市居民该月的人均水费．

【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）10.5元.

【详解】试题分析：（1）根据水量的频率分布直方图知月用水量不超过立方米的居民占，所以至少定为；（2）直接求每个数据用该组区间的右端点值与各组频率的乘积之和即可.

试题解析：（1）由用水量的频率分布直方图知，

该市居民该月用水量在区间内的频率依次为．

所以该月用水量不超过立方米的居民占，用水量不超过立方米的居民占．依题意，至少定为

（2）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：

根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：

（元）．

【解析】1、频率分布直方图的应用；2、根据频率分布直方图求平均值.

18．在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c．已知，．

（1）求证：

（2）若，求△ABC的面积．

【答案】（1）见解析

（2）

【详解】解：（1）证明：由 及正弦定理得：

，

即

整理得：，所以，又

所以

由（1）及可得，又

所以，

所以三角形ABC的面积

【点评】本题考查解三角形，三角形的面积，三角恒等变换、三角和差公式以及正弦定理的应用.高考中，三角解答题一般有两种题型：一、解三角形：主要是运用正余弦定理来求解边长，角度，周长，面积等；二、三角函数的图像与性质：主要是运用和角公式，倍角公式，辅助角公式进行三角恒等变换，求解三角函数的最小正周期，单调区间，最值（值域）等.来年需要注意第二种题型的考查.

19．如图所示，四棱锥中，底面，，，.

(1)求证：平面；

(2)若侧棱上的点满足，求三棱锥的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）证明，得到平面.

（2）根据题意得到，计算体积得到答案.

【详解】(1)底面，平面，故，

，，故.

，故平面.

(2)，

，故.

20．如图，椭圆的顶点为，，，，焦点为，，，．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点，与椭圆相交于A，B两点的直线，．是否存在上述直线l使成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)；

(2)不存在，理由见解析.

【分析】（1）根据椭圆的几何性质知，由已知条件得知，求出，即可得方程．

（2）当与轴不垂直，设A、B，直线为，结合已知得，再根据向量数量积的运算律可得，联立直线和椭圆求与的第二个关系式即可判断存在性，再考虑与轴垂直结合已知判断存在性.

【详解】(1)由知：①，由知：②，又③

由上述三式，解得，，故椭圆C的方程为.

(2)设A，B分别为，，假设使，成立的直线l存在，

(i)当l不垂直于x轴时，设l为，

由ln于P且得：，即，

由，.

，即.

将代入椭圆，得：，

所以④，⑤，

，

将④、⑤代入化简得：⑥，

将代入⑥化简得：，故不成立，即此时直线l不存在.

(ii)当l垂直于x轴时，满足的直线l为或，

当时，A，B，P分别为，，，故，，所以.

当时，同理有，即此时直线l也不存在.

综上，使成立的直线l不存在.

21．已知函数，（，e为自然对数的底数）．

(1)若曲线在点处的切线平行于x轴，求a的值；

(2)求函数的极值；

(3)当时，若直线与曲线没有公共点，求k的最大值．

【答案】(1)；

(2)答案见解析；

(3).

【分析】（1）求出，由导数的几何意义有，即可求a的值；

（2）分类讨论a判断的符号，从而确定的单调性，即可得极大值或极小值；

（3）将问题转化为或在上没有实数解，分类讨论k，结合导数、零点存在性定理、函数的值域，求的范围．

【详解】(1)由题设，又曲线在处的切线平行于轴，

所以，解得．

(2)①当时，在上为增函数，所以无极值．

②当时，令，得：，可得．

所以上；上．

则在上单调递减，在上单调递增，

故在处取得极小值，无极大值．

综上，当时无极小值；当时在处取得极小值，无极大值．

(3)当时，

法一：令，

所以:与没有公共点等价于在上没有实数解．

假设，此时，，又的图象连续不断，

由零点存在定理知：在上至少有一解与题设矛盾，所以．

当时知：在上没有实数解．

所以的最大值为．

法二：由:与没有公共点等价于在上没有实数解，即（）在上没有实数解．

①当时，方程（）可化为在上没有实数解．

②当时，方程（）化为．

令，则，令得：，

当变化时的变化情况如下表：

且当趋于正无穷时趋于正无穷，故的值域为．

所以，当时，方程（）无实数解，可得的取值范围是．

综上，的最大值为．

【点睛】关键点点睛：第三问，将公共点问题转化为方程在上没有实数解，综合应用分类讨论、导数研究单调性、零点存在性定理、函数的值域判断参数的范围.

22．选修44：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cos θ.

（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.

【答案】（Ⅰ）圆，（Ⅱ）1

【详解】试题分析：（Ⅰ）把化为普通方程，再化为极坐标方程；（Ⅱ）通过解方程组可以求得.

试题解析：（Ⅰ）消去参数得到的普通方程.

是以为圆心，为半径的圆.

将代入的普通方程中，得到的极坐标方程为

.

（Ⅱ）曲线的公共点的极坐标满足方程组

若，由方程组得，由已知，

可得，从而，解得（舍去），.

时，极点也为的公共点，在上.所以.

【解析】

参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用

【名师点睛】

“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与参数方程的互化公式及应用.

23．设函数．

（1）画出的图像；

（2）当，，求的最小值．

【答案】（1）见解析

（2）

【详解】分析：（1）将函数写成分段函数，再画出在各自定义域的图像即可．

（2）结合（1）问可得a，b范围，进而得到a+b的最小值

详解：（1） 的图像如图所示．

（2）由（1）知，的图像与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最大值为，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为．

点睛：本题主要考查函数图像的画法，考查由不等式求参数的范围，属于中档题．