2021-2022学年西藏拉萨中学高二3月月考数学(理)试题含解析
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这是一份2021-2022学年西藏拉萨中学高二3月月考数学(理)试题含解析,共16页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2021-2022学年西藏拉萨中学高二3月月考数学(理)试题一、单选题1.已知集合,,则为( )A. B. C. D.【答案】B【分析】解不等式求得集合,由此求得.【详解】.所以,由于,所以,故选B.2.已知抛物线,则抛物线的焦点到其准线的距离为( )A. B. C. D.【答案】D【分析】将抛物线方程化为标准方程,由此确定的值即可.【详解】由可得抛物线标准方程为:,,抛物线的焦点到其准线的距离为.故选:D.3.等差数列中,,其前n项和为,则( )A.33 B.78 C.99 D.66【答案】B【分析】设等差数列的公差为d,由等差数列的通项公式求得,再运用等差数列的求和公式计算可得选项.【详解】设等差数列的公差为d,因为,所以,整理得,所以.故选:B.4.下列说法中正确的是( )A.命题“p且q”为真命题,则p,q恰有一个为真命题B.命题“,”,则“,”C.△ABC中,是的充分不必要条件D.设等比数列的前n项和为,则“”是“”的充要条件【答案】D【分析】利用逻辑连接词判定选项A错误;利用全称命题的否定判定选项B错误;结合正弦定理、边角关系判定选项C错误;利用等比数列的通项公式判定选项D正确.【详解】对于A:若命题“p且q”为真命题,则p,q都为真命题,即选项A错误;对于B:因为命题“,”的否定为:,;即选项B错误;对于C:由正弦定理,得等价于,由三角形的边角关系,得等价于,所以在△ABC中,是的充要条件,即选项C错误;对于D:设等比数列的公比为,由得,即,因为,所以;若,则,即,即;即“”是“”的充要条件,即选项D正确.故选:D.5.为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是( )A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间【答案】C【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率,即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率,然后求和即得到样本的平均数的估计值,也就是总体平均值的估计值,计算后即可判定C.【详解】因为频率直方图中的组距为1,所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为,故A正确;该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为,故B正确;该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为,故D正确;该地农户家庭年收入的平均值的估计值为,(万元),超过6.5万元,故C错误.综上,给出结论中不正确的是C.故选:C.【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值,属基础题,样本的频率可作为总体的频率的估计值,样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值,可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于.6.双曲线:的一条渐近线与直线垂直,则它的离心率为( )A. B. C. D.【答案】A【分析】先利用直线的斜率判定一条渐近线与直线垂直,求出,再利用双曲线的离心率公式和进行求解.【详解】因为直线的斜率为,所以双曲线的一条渐近线与直线垂直,所以,即,则双曲线的离心率.故选:A.7.已知实数满足约束条件,则的最大值为( )A. B. C. D.不存在【答案】C【分析】由满足约束条件,画出可行域,平移直线,由直线在y轴上的截距最小求解.【详解】由满足约束条件,画出可行域如图所示:由转化为,平移直线,当直线经过点A时,直线在y轴上的截距最小,此时,目标函数取得最大值,最大值为,故选:C8.如图,在棱长均相等的四面体中,点为的中点,,设,,,则( )A. B.C. D.【答案】C【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得;【详解】解:在棱长均相等的四面体中,点为的中点,,即,设,,,.故选:C9.某种产品的价格x(单位:元/kg)与需求量y(单位:kg)之间的对应数据如下表所示:x1015202530y1110865根据表中的数据可得回归直线方程为,则以下结论错误的是( )A.变量y与x呈负相关 B.回归直线经过点C. D.该产品价格为35元/kg时,日需求量大约为3.4kg【答案】D【分析】算出后可得,从而可判断各项的正误.【详解】,故即,故ABC都正确.此时,令,则,故D错误.故选:D10.如图,在正方体中,E,F分别为棱,的中点,则直线与所成角的余弦值为( )A. B. C. D.【答案】A【分析】建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,利用空间向量法求出异面直线所成角的余弦值;【详解】解:以D为原点,以,,的方向分别作为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则,,,,所以,,所以所求角的余弦值为.故选:A11.已知等比数列的前项和为,且,,成等差数列,则( )A. B. C.3 D.4【答案】B【分析】先利用,,成等差数列解出,再利用求和公式化简求值即可.【详解】设等比数列公比为,由,,成等差数列可得,,化简得,解得,.故选:B.12.如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A,B,交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=6,则此抛物线方程为( )A.y2=9x B.y2=6xC.y2=3x D.y2=x【答案】B【分析】分别过A,B作准线的垂线,交准线于E,D,设|BF|=a,运用抛物线的定义和直角三角形的性质,求得p,可得所求抛物线的方程.【详解】如图分别过点A,B作准线的垂线,分别交准线于点E,D,设|BF|=a,则由已知得:|BC|=2a,由抛物线定义得:|BD|=a,故∠BCD=30°,在直角三角形ACE中,因为|AE|=|AF|=6,|AC|=6+3a,2|AE|=|AC|,所以6+3a=12,从而得a=2,|FC|=3a=6,所以p=|FG|=|FC|=3,因此抛物线方程为y2=6x.故选:B 二、填空题13.抛物线的焦点坐标为_____.【答案】【详解】试题分析:根据抛物线方程求得p,则根据抛物线性质可求得抛物线的焦点坐标.解:抛物线方程中p=2,∴抛物线焦点坐标为(-1,0)故填写【解析】抛物线的简单性质点评:本题主要考查了抛物线的简单性质.属基础题.14.若,,且,则的最小值为__________.【答案】3【分析】利用=结合基本不等式即可求其最小值.【详解】∵,,且,∴=,当且仅当时等号成立.故答案为:3.15.记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,,,则________.【答案】【分析】由三角形面积公式可得,再结合余弦定理即可得解.【详解】由题意,,所以,所以,解得(负值舍去).故答案为:.16.已知为椭圆C:的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且,则四边形的面积为________.【答案】【分析】根据已知可得,设,利用勾股定理结合,求出,四边形面积等于,即可求解.【详解】因为为上关于坐标原点对称的两点,且,所以四边形为矩形,设,则,所以, ,即四边形面积等于.故答案为:. 三、解答题17.已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足.(1)求B;(2)若D为边AC的中点,且,,求a.【答案】(1)(2)【分析】(1)利用正弦定理将边角关系转化为角角关系,再利用同角三角函数基本关系进行求解;(2)延长BD到点M使,连接AM,在中利用余弦定理进行求解.【详解】(1)解:由及正弦定理,得,因为,所以,又,所以,因为,所以.(2)解:延长BD到点M使,连接AM,在中,,,,,由余弦定理,得,即,解得或(舍),所以.18.在①;②,这两个条件中任选一个,补全下列试题后并完成解答(选择多个条件并分别解答的按第1个给分)设等差数列的前项和为,且___________.(1)求数列的通项公式;(2)令,求数列的前项的和.【答案】(1)(2)【分析】(1)选条件①退位相减即可,选条件②利用条件计算公差,再算通项;(2)按照裂项相消求和即可.【详解】(1)选条件①, 当,当,,经检验符合.选条件②,;(2),.19.大会原定于2020年10月15-28日在昆明举办,受新冠肺炎疫情影响,延迟到今年10月11-24日在云南昆明举办,同期举行《生物安全议定书》、《遗传资源议定书》缔约方会议.为助力的顺利举行,来自全省各单位各部门的青年志愿者们发扬无私奉献精神,用心用情服务,展示青春风采.会议结束后随机抽取了50名志愿者,统计了会议期间每个人14天的志愿服务总时长,得到如图的频率分布直方图:(1)求的值,估计抽取的志愿者服务时长的中位数;(2)用分层抽样的方法从这两组样本中随机抽取6名志愿者,记录每个人的服务总时长得到如图所示的茎叶图:①已知这6名志愿者服务时长的平均数为67,求的值;②若从这6名志愿者中随机抽取2人,求所抽取的2人恰好都是这组的概率.【答案】(1),65;(2)①7;②﹒【分析】(1)频率分布直方图小矩形面积为频率,根据总频率为1即可求x;再根据频率分布直方图中位数的计算方法求出中位数;(2)①平均数为总数除以数量,根据茎叶图数据即可求出m;②利用枚举法枚举出基本事件即可﹒【详解】(1),解得,前三组频率之和:,设中位数为,则,解得,∴中位数为65﹒(2)①,解得,②组中所抽取2人编号为,组中所抽取4人标号为,则基本事件如下:,,共15个,所抽取2人都在的基本事件有6个,∴概率.20.已知椭圆的离心率为,右焦点为,斜率为1的直线与椭圆交于两点,以为底边作等腰三角形,顶点为.(1)求椭圆的方程;(2)求的面积.【答案】(1)(2)﹒【分析】(1)根据椭圆的简单几何性质知,又,写出椭圆的方程;(2)先斜截式设出直线,联立方程组,根据直线与圆锥曲线的位置关系,可得出中点为的坐标,再根据△为等腰三角形知,从而得的斜率为,求出,写出:,并计算,再根据点到直线距离公式求高,即可计算出面积.【详解】(1)由已知得,,解得,又,所以椭圆的方程为.(2)设直线的方程为,由得,①设、的坐标分别为,(),中点为,则,,因为是等腰△的底边,所以.所以的斜率为,解得,此时方程①为.解得,,所以,,所以,此时,点到直线:的距离,所以△的面积.【解析】1、椭圆的简单几何性质;2、直线和椭圆的位置关系;3、椭圆的标准方程;4、点到直线的距离.【思路点晴】本题主要考查的是椭圆的方程,椭圆的简单几何性质,直线与椭圆的位置关系,点到直线的距离,属于难题.解决本类问题时,注意使用椭圆的几何性质,求得椭圆的标准方程;求三角形的面积需要求出底和高,在求解过程中要充分利用三角形是等腰三角形,进而知道定点与弦中点的连线垂直,这是解决问题的关键.21.如图,四棱锥中,底面是边长为2的正方形,,,且,为的中点.(1)求平面与平面夹角的余弦值;(2)在线段上是否存在点,使得点到平面的距离为?若存在,确定点的位置;若不存在,请说明理由.【答案】(1)(2)存在,点为线段的靠近点的三等分点【分析】(1)根据题意证得平面,进而证得平面,得到平面,以点为坐标原点,,,所在直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系,求得平面和平面的法向量,结合向量的夹角公式,即可求解;(2)设点,求得平面的法向量为,结合向量的距离公式列出方程,求得的值,即可得到答案.【详解】(1)解:因为四边形为正方形,则,,由,,,所以平面,因为平面,所以,又由,,,所以平面,又因为平面,所以,因为且平面,所以平面,由平面,且,不妨以点为坐标原点,,,所在直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系,如图所示,则,,,,可得,,,设平面的法向量为,则,取,可得,所以,易得平面的法向量为,则,由平面与平面夹角为锐角,所以平面与平面夹角的余弦值.(2)解:设点,可得,,设平面的法向量为,则,取,可得,所以,所以点到平面的距离为,解得,即或,因为,所以,故当点为线段的靠近点的三等分点时,点到平面的距离为.22.在平面直角坐标系xOy中,抛物线E:上一点到焦点F的距离.不经过点S的直线l与E交于A,B.(1)求抛物线E的标准方程;(2)若直线AS,BS的斜率之和为2,证明:直线l过定点.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】(1)利用抛物线的定义即可求出p;(2)根据斜率公式,韦达定理列方程求出直线方程即可.【详解】(1)抛物线D:的焦点,准线方程为,因为抛物线上一点到焦点F的距离,由抛物线的定义得,所以.所以抛物线E的标准方程是;(2)将代入可得或(舍),所以点S坐标为,由题意直线l的斜率不等于0,设直线l的方程是,,,联立,得,由韦达定理得,因为直线,的斜率之和为2,所以,所以,将代入上式可得,所以直线l的方程是,显然它过定点.
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