2021-2022学年江苏省南京外国语学校高一下学期期中数学试题含解析

2021-2022学年江苏省南京外国语学校高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．计算的结果是（       ）

A．2i B．－2i C．i D．－i

【答案】C

【分析】根据复数的运算公式，直接计算结果.

【详解】.

故选：C

2．已知，，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先由同角的三角函数关系求得，再利用余弦的和角公式求解即可.

【详解】因为，，所以，

所以，

故选：C

3．已知，，则（       ）

A． B．5 C． D．3

【答案】A

【分析】先求出，再求.

【详解】因为，，所以，

所以.

故选：A

4．在中，已知，，且a，b是方程的两个根，，则（       ）

A．3 B．7 C． D．49

【答案】B

【分析】利用余弦定理即可求解.

【详解】因为a，b是方程的两个根，所以.

由余弦定理，.

即7.

故选：B

5．已知，为锐角，且，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求出的正切值，再求出角.

【详解】因为，，

所以.

因为，为锐角，所以，

所以.

故选：B

6．在中，，，下列说法错误的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】对于A，利用同角的三角函数关系即可判断；对于B，假设成立，根据，可得，进而判断；对于C，由大边对大角即可判断；对于D，利用求解即可判断.

【详解】对于选项A，在中，，所以，

所以A正确；

对于选项B，若，则为钝角，由A选项可知，则，

所以，不符合条件，所以，所以B选项错误；

对于选项C，由B选项可知为锐角，且，所以，所以C选项正确；

对于选项D，，所以D选项正确；

故选：B

7．外轮除特许外，不得进入离我国海岸线d n mile以内的区域，如果进入则对其发出警告，其退出此区域．如图，设A，B是相距s n mile的两个观察站，一外轮在P点，测得，，，满足什么关系时就该向外轮发出警告（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】作PD垂直于AB于D.在直角三角形中，表示出，进而表示出，只需时,就该向外轮发出警告

【详解】作PD垂直于AB于D,如图示.

在Rt△PAD中,.

在Rt△PBD中

所以,

所以

故当时,就该向外轮发出警告,今其退出我国海域.

故选：C

8．在中，若，，则外接圆面积为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据正弦定理，边角互化，求得三角形外接圆半径，即可求解.

【详解】根据正弦定理可知，，

得，

因为，所以，

所以外接圆面积.

故选：D

二、多选题

9．下列说法正确的是（       ）

A．复数的虚部为 B．已知复数z，若，则R

C．已知复数z，则R D．已知复数z，若 R，则R

【答案】BC

【分析】求得复数的虚部判断选项A；求得复数z判断选项B；求得判断选项C；求得复数z判断选项D.

【详解】选项A：复数的虚部为.判断错误；

选项B：已知复数z，若，则R.判断正确；

选项C：已知复数z，则R. 判断正确；

选项D：当复数时，R，但R .判断错误.

故选：BC

10．已知向量，，它们的夹角为60°，则（       ）

A． B．

C． D．向量与向量的夹角为90°

【答案】ABD

【分析】对于A，根据数量积的定义即可判断；对于B，，即可判断；对于C，即可判断；对于D，判断是否为0即可.

【详解】对于选项A，，所以A正确；

对于选项B，，所以B正确；

对于选项C，，所以C错误；

对于选项D，，所以，所以D正确，

故选：ABD

11．在中，下列说法正确的有（       ）

A．若，则一定是锐角三角形

B．若，则一定是等边三角形

C．若，则一定是等腰三角形

D．若，，则一定是等边三角形

【答案】BD

【分析】利用余弦定理即可判断A；利用正弦定理化边为角，从而可判断B；利用正弦定理化边为角结合倍角公式，从而可判断C；利用正弦定理化角为边，结合已知即可判断D.

【详解】解：对于A：若，

故，所以为锐角，

但并不能说明一定是锐角三角形，故A错误；

对于B：由于，

利用正弦定理：，整理得，

因为，所以，

所以为等边三角形，故B正确；

对于C：因为，

所以，

又，则，

所以，即，

所以或，

所以或，

所以是等腰三角形或直角三角形，故C错误；

对于D，因为，

所以，

又，

所以，

所以，

所以，所以，

所以一定是等边三角形，故D正确.

故选：BD.

12．已知函数，则（       ）

A．时，在上的最小值为－1

B．时，的最小正周期为

C．时，在R上的最大值为1

D．对任意的正整数n，的图像都关于直线对称

【答案】ACD

【分析】根据辅助角公式、降幂公式，结合正弦型函数的最值、最小正周期公式、对称性逐一判断即可.

【详解】A：时，，

因为，所以，因此当时，函数有最小值，最小值为，所以本选项正确；

B：时，，

即，

的最小正周期为，因此本选项不正确；

C：时，，因为，所以，

因此本选项正确；

D：

，所以对任意的正整数n，的图像都关于直线对称，因此本选项说法正确，

故选：ACD

【点睛】关键点睛：运用二倍角的正弦公式、辅助角公式、降幂公式化简函数解析式是解题的关键.

三、填空题

13．，，若，则______．

【答案】0.5

【分析】根据向量平行的坐标表示，即可求得的值.

【详解】，，

因为，所以，解得：.

故答案为：

14．若是关于x的实系数方程的一个根，则______．

【答案】3

【分析】将代入方程，进行求解.

【详解】将代入得：，

化简得：，即，

解得：

故答案为：3

15．如图，在中，已知，D是边BC上一点，，，，则______．

【答案】

【分析】在中，利用余弦定理求得，再在，利用正弦定理求解.

【详解】由题，在中，，

所以，

在中，，即，所以.

故答案为：

四、双空题

16．如图，在矩形ABCD中，，，，，则______；G是矩形ABCD所在平面上一点，且，若，则的最小值为______．

【答案】     44；     .

【分析】空一：运用平面向量加法的几何意义，结合平面向量数量积的运算性质进行运算即可；

空二：建立平面直角坐标系，利用平面数量积的坐标表示公式、平面向量线性运算的坐标表示公式，结合配方法进行求解即可.

【详解】空一：

因为ABCD是矩形，所以，因为，，

所以；

空二：建立如图所示的直角坐标系，

，

，因为，所以，

即，

因此，

因为，所以，

因为G是矩形ABCD所在平面上一点，

所以有，且，

因此，

当时，即时，有最小值，最小值为，

故答案为：；.

五、解答题

17．已知复平面内复数，，所对应的点分别为，，．

(1)求，的值；

(2)求．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）首先根据复数在复平面内的坐标得到复数，，，再根据复数代数形式的运算法则计算可得；

（2）首先求出，，再根据向量的夹角公式计算可得；

【详解】(1)解：因为复平面内复数，，所对应的点分别为，，，

所以，，，

所以，

(2)解：因为，，，

所以，，

所以，

，

所以

18．在中，a，b，c分别为A，B，C所对的边，．

(1)若，求，的值；

(2)求的取值范围．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）先利用二倍角公式求出，再用和差角公式和诱导公式求出；

（2）先求出，利用正弦定理即可求出的取值范围.

【详解】(1)在中，，所以B为锐角.

因为，所以.

所以.

所以.

.

(2)在中，，所以.

因为，所以，所以，所以.

由正弦定理得：.

即的取值范围为.

19．已知向量，，函数．

(1)求的周期；

(2)设，，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用数量积的运算，结合三角恒等变换，得到，再利用正弦函数的性质求解；

（2）由，得到，然后由求解.

【详解】(1)解：因为向量，，

所以函数，

，

，

，

所以的周期是；

(2)因为，

所以，

因为，

所以，，

所以，

，

，

.

20．在中，a，b，c分别为A，B，C所对的边，．

(1)若，BC边上的中线AD的长为，求c的值；

(2)若，，求．

【答案】(1)2；

(2)或.

【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简等式，再结合中线性质、余弦定理进行求解即可；

（2）根据两角和的正弦公式化简等式，再结合三角形面积公式、余弦定理进行求解即可

【详解】(1)因为，所以，

由正弦定理和余弦定理化简，得，

由余弦定理可知：

因为BC边上的中线AD的长为，

所以由余弦定理可知：，

，（舍去），即；

(2)，

，或，

当时，，

当时，由正弦定理可知：，

，

当时，，因为，所以，所以；

当时，则有，所以，即，

因此，所以的值为或.

21．如图，在边长为1的正三角形中，O为中心，过点O的直线交边AB与点M，交边AC于点N．

(1)用，表示；

(2)若，求AN的值；

(3)求的最大值与最小值．

【答案】(1)；

(2)；

(3)最大值，最小值

【分析】（1）根据平面向量基本定理和等边三角形的性质求解，

（2）设，则，由已知可得，代入（1）中的式子，再由三点共线可求得结果，

（3）设，分别在和中利用正弦定理可将用含的式子表示，从而可得，化简后利用换元法可求出其最值

【详解】(1)延长交于，

因为O为正三角形的中心，所以为的中点，

所以,

因为,

所以，

(2)设，因为，所以，

因为，,

所以,

由（1）可知，

所以，

因为三点共线，

所以，解得，

即AN的值为

(3)因为正三角形的边长为1，O为正三角形的中心，

所以，，

设，则，

在中，由正弦定理可得，

所以，

在中，同理可得,

所以

令，则

所以

，

因为，所以，，所以，

即，

令，则 在上单调递增，

所以，即，

即，所以，

所以，

所以，即，

所以，

即最大值，最小值

【点睛】关键点点睛：此题考查平面向量基本定理的应用，考查正弦定理的应用，考查三角函数恒等变换的综合应用，第（3）问解题的关键是设，然后分别在和中利用正弦定理可将用含的式子表示，从而可表示出，然后对其化简变形后可求出其最值，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题