2022年贵州省遵义市红花岗区中考数学二模试卷（含解析）

2022年贵州省遵义市红花岗区中考数学二模试卷

一．选择题（本题共12小题，共48分）

1. 有理数，，，中，最小的数是

A.  B.  C.  D.

2. 当前新冠肺炎疫情仍处于全球大流行状态，进入冬季后报告病例数不断上升．近日我国部分省区发现新冠病毒奥密克戎变异株．南非专家称，奥密克戎毒株致人再感染新冠病毒的风险是其他毒株的倍．奥密克戎毒株的半径约为米，将数用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的
   
    

A. 图形的平移 B. 图形的旋转 C. 图形的轴对称 D. 图形的相似

4. 下列计算中，正确的是

A.  B.  C.  D.

5. 如图，一块三角板，，点，点分别落在直尺的两条平行边上，，则的度数为

A.  B.  C.  D.

6. 月日至日，我市每日最高气温如图所示，则下列说法错误的是

A. 中位数是 B. 平均数是
C. 众数是 D. 天里的最高气温的极差为

7. 
   如图为小丽和小欧依序进入电梯时，电梯因超重而警示音响起的过程，且过程中没有其他人进出．该电梯乘载的重量超过公斤时警示音响起．已知小丽为公斤、小欧为公斤．若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为公斤，则所有满足题意的可用下列哪一个不等式表示

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点，为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点作图痕迹如图所示，连接，则的度数为

A.  B.  C.  D.

9. 如图为某披萨店的公告．某会员购买一个榴莲披萨付款元，则一个榴莲披萨调价前的原价为

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元

10. 如图，中，，，它的面积为，与轴的夹角为，双曲线经过点，则的值为

A.
B.
C.
D.

11. 已知，均为正数，且，，是一个三角形的三边的长，则这个三角形的面积是

A.  B.  C.  D.

12. 如图，等边三角形的边长为，点是边的中点，点是边上的一个动点，以为边作等边三角形，连接，则的最小值为

1. 
   B.
   C.
   D.

二．填空题（本题共4小题，共16分）

13. 在直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______．
14. 为半圆的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点在半圆上，斜边过点，一条直角边交该半圆于点若，则线段的长为______．
     

15. 如图，剪一个边长为的等边三角形，让它沿直线在桌面上向右滚动，当等边三角形第次落在直线上时，等边三角形的内心运动过的路程长为______．

16. 在数学探究活动中，小美将矩形纸片先对折，展开后折痕是，点为边上一动点，连接，过点作交于点将沿翻折，点恰好落在线段上，已知矩形中，，那么的长为______．

三．计算题（本题共1小题，共8分）

17. 计算：；
    解方程：．
    
    
    
    
    
    
     

四．解答题（本题共7小题，共78分）

18. 先化简，再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     
19. 随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样，便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
    
    这次活动共调查了______人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为______；将条形统计图补充完整．
    如果某个社区共有个人，那么选择微信支付的人约有多少人？
    在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
    
    
    
    
    
    
     
20. 在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，顶点都是整点的三角形称为整点三角形．如图，已知整点，，请在所给网格区域内按要求画整点三角形．
    在图中，画出一个面积最大的，并求出这个的面积．
    若为等腰三角形，请在图中画出点的所有可能，并写出所有点的坐标．

21. 如图，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角，量得树干倾斜角，大树被折断部分和坡面所成的角，米．求这棵大树折断前的高度．结果保留根号

22. 据统计每年汽车追尾而造成的交通事故占交通事故总数的以上．注意车速，保持车距是行车安全中必须遵守的．某公路上正在行驶的甲车，发现前方处的乙车低速行驶，则甲车刹车减速，减速后甲车行驶的路程单位：与时间单位：的关系如下表所示．

根据所得数据中甲车行驶的路程单位：与时间单位：的变化规律，利用初中所学函数值试求出与之间的函数关系式，并写出的取值范围．
若乙车以的速度匀速行驶，甲车是否与乙车发生追尾？若发生追尾，请计算出时间的值；若能避免发生追尾事故，请说明原因．






 

23. 如图，在中，，，，点为边上的一点，以点为圆心，半径为作半圆，与交于点．
    如图，与半圆相切时，求证与半圆相切；
    如图，点为中点时，将线段连同半圆绕点旋转．若半圆与的直角边相切，设切点为，连接，求的长．

24.已知抛物线的对称轴为直线，交轴于点、，交轴于点点的坐标为直线与抛物线交于点、点在点的右边，交轴于点．
求该抛物线的解析式；
若，且的面积为，求的值；
若，直线交轴于点，当的值为多少时，的面积为最大，并求出的面积最大值．







答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：根据有理数比较大小的方法，可得
，
在，，，这四个数中，最小的数是．
故选：．
有理数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小．
 

2.【答案】
 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法以及近似数与有效数字．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】
 

【解析】解：泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的图形的相似，
故选：．
根据图形的变换和相似三角形的应用等知识直接回答即可．
本题考查了相似三角形的应用、图形的变换等知识，解题的关键是了解物高与影长成正比，难度不大．
 

4.【答案】
 

【解析】解：、原式，故不合题意；
B、原式，故不合题意；
C、原式，故不合题意；
D、原式，故符合题意；
故选：．
A、根据幂的乘方运算法则计算可判断；、根据合并同类项法则可判断；、根据算术平方根概念可判断；、根据单项式的乘法运算法则计算可判断．
此题考查的是幂的乘方运算、合并同类项法则、算术平方根、单项式的乘法运算，掌握其运算法则是解决此题的关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：，，
，
直尺的两条平行，
．
故选：．
根据三角形的外角的性质得到，然后根据平行线的性质即可求解．
本题考查了平行线的性质，三角形外角性质的应用，能求出的度数是解此题的关键，注意：两直线平行，内错角相等．
 

6.【答案】
 

【解析】解：个数排序后为，，，，，，，位于中间位置的数为，所以中位数为，故A说法错误，符合题意；
B.平均数为，故B说法正确，不符合题意；
C.个数据中出现次数最多的为，所以众数为，故C说法正确，不符合题意；
D.，所以天里的最高气温的极差为，故D说法正确，不符合题意．
故选：．
分别确定个数据的中位数、平均数、众数及极差后即可确定正确的选项．
本题考查了统计的知识，解题的关键是了解如何确定一组数据的中位数、平均数、众数及极差，掌握相关定义是解答本题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：依题意得：，
解得：．
故选：．
根据小丽进入电梯未超重而小欧进入电梯超重，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围．
本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：四边形是菱形，
，
，
由作图可知，，
，
，
故选：．
根据，求出，即可解决问题．
本题考查作图基本作图，菱形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握基本作图作已知线段的垂直平分线是解决问题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：设一个榴莲披萨调价前的原价为元，
依题意得：，
解得：，
一个榴莲披萨调价前的原价为元．
故选：．
设一个榴莲披萨调价前的原价为元，利用付款金额会员折扣率原价，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：在中，，，
设，则，
如图，过点作轴于点，
，
，
，
，
，，
，，
∽，
，
的面积为，
的面积为．
，

．
故选：．
过点作轴于点，易证∽，由相似三角形的性质可得，进而可得的面积，再根据反比例函数系数的几何意义可得的值．
本题考查反比例函数系数的几何意义，含角的直角三角形的边角关系，相似三角形的性质与判定，根据相似比得出的面积是解题关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：如图：
在矩形中，、分别为、的中点，
设，，
，，，
．
故选：．
构造矩形，、分别为、的中点，设，，将所求三角形面积转化为即可求解．
本题考查二次根式的应用；能够通过构造矩形及直角三角形，将所求三角形的面积转化为矩形和直角三角形的面积是解题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，过作于，过作于，过作于，如图：

等边三角形的边长为，点是边的中点，
，，，，
，，
设，则，，，
、是等边三角形，
，，
，
，
又，
≌，
，，
，
，
令，，消去可得，
即点在直线上运动，
而直线与轴交点为，即直线与轴交点为，
，
，
，
，
过作直线与，则的最小值即为，
在中，，
的最小值为，
故选：．
以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，过作于，过作于，过作于，由等边三角形的边长为，点是边的中点，得，，设，则，，，证明≌，可得，即知点在直线上运动，直线与轴交点为，可得，，过作直线与，则的最小值即为，由所对直角边等于斜边的一半可得的最小值为．
本题考查等边三角形中的旋转变换，解题的关键是作辅助线，求出点的轨迹，本题有一定的难度．
 

13.【答案】
 

【解析】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆关于原点对称的点坐标的关系是解题关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：连接，，
，
，，
是等腰直角三角形．
，
，
．
故答案为：．
连接，，根据圆周角定理可得出，，故是等腰直角三角形，根据勾股定理即可得出结论．
本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解设初始位置的等边三角形为设第一次等边三角形落在上的三角形的内心为，
连接，，过点作于点，如图，

点，为等边三角形的内心，
，，
．
点移动一次的轨迹为以等边三角形的一个顶点为圆心，的长为半径，圆心角的度数为的弧，
，为等边三角形，，
．
．
点移动一次的弧长为．
当等边三角形第次落在直线上时，等边三角形的内心运动过的路程长为：，
故答案为：．
根据题意求得点移动一次的轨迹的长度，将结论乘以即可得出结论．
本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内心的性质，点的轨迹，依据题意求得点移动一次的轨迹的长度是解题的关键．
 

16.【答案】或
 

【解析】解：连接交于点，

由折叠得：
是的垂直平分线，
，，
设，则，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
由折叠得：
，，
，
，，
，
，
，
∽，
，
，
，
在中，，
，
或，
的长为：或，
故答案为：或．
连接交于点，由折叠可得，是的垂直平分线，从而可得，，先设，则，根据矩形的性质可得，，再根据同角的余角相等可得，从而证明∽，进而利用相似三角形的性质可得，然后求出的长，再根据同角的余角相等可得，从而可得，进而可证明∽，利用相似三角形的性质可求出，最后在中，利用勾股定理列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，翻折变换折叠问题，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

17.【答案】解：

；
，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根．
 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答；
按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，实数的运算，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】解：原式

，
当时，
原式．
 

【解析】先将括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的除法，最后代入求值．
本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的和计算法则是解题关键．
 

19.【答案】 
 

【解析】解：本次活动调查的总人数为人，
则表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为，
微信人数为人，银行卡人数为人，
故答案为：，，
将条形统计图补充完整如下：

如果某个社区共有个人，那么选择微信支付的人约有人；
将微信记为、支付宝记为、银行卡记为，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小明和小亮两人恰好选择同一种支付方式的有种，
小明和小亮两人恰好选择同一种支付方式的概率为．
用支付宝、现金及其他的人数和除以这三者的百分比之和可得总人数；再用乘以“支付宝”人数所占比例即可得示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数，然后用总人数乘以对应百分比可得微信、银行卡的人数，从而补全图形；
由社区共有的人数乘以选择微信支付的人所占的比例即可；
画出树状图，共有种等可能的结果，其中小明和小亮两人恰好选择同一种支付方式的有种，再利用概率公式即可求得答案．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图和扇形统计图．
 

20.【答案】解：如图中，或即为所求，；
如图中，点，，即为所求．，，．

 

【解析】根据要求作出图形即可答案不唯一；
根据等腰三角形的定义作出图形即可．
本题考查作图复杂作图，等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：延长交于点，过点作，垂足为，
在中，，
，
，
，
在中，，米，，，
米，米，
在中，，
米，米，
米，
答：这棵大树折断前高约为米．
 

【解析】延长交于点，过点作，根据三角形内角和定理求出的度数，根据余弦和正弦的定义分别求出和的长，根据等腰直角三角形的性质计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，正确标注坡角、倾斜角、灵活运用锐角三角函数的概念是解题的关键，注意特殊角的三角函数值的应用．
 

22.【答案】解：由表格数据可知与之间是二次函数关系，并且图象经过原点，
设二次函数表达式为，
二次函数经过，，
则，
解得，
二次函数表达式为；
顶点式为，
当时，行驶距离达到最大值米，即停止前进，
则的取值范围为：；
由题意可得：，
，
解得和，
，
，
答：秒后，甲车会与乙车发生追尾．
 

【解析】先用待定系数法求二次函数解析式，再化为顶点式结合题意可得出的取值范围；
根据路程关系结合追击的情况：即乙的路程加上甲乙相距的米等于甲的路程，此时发生追尾，列出方程求解即可．
本题主要考查待定系数法求函数解析式和一元二次方程的应用，根据追击关系找到等量关系列出方程是解题关键．
 

23.【答案】证明：过点作于点，如图，

，，，
．
与半圆相切，
，，
，
，，
，
，
∽，
，
，
半径，
，
这样，直线经过半径的外端，并且垂直于半径，
与半圆相切；
当半圆与的直角边相切时，连接，如图，

点为中点时，
，
是半圆的切线，
，
．
；
当半圆与的直角边相切时，连接，如图，

点为中点时，
，
是半圆的切线，
，
，
，
综上，若半圆与的直角边相切，的值为或．
 

【解析】过点作于点，通过计算得到的长等于半圆的半径，利用切线的定义即可判定结论成立；
利用分类讨论的方法分两种情况讨论解答：当半圆与的直角边相切时，当半圆与的直角边相切时，连接，利用切线的性质定理和勾股定理求得，即可求得结论．
本题主要考查了圆的切线的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是常添加的辅助线．
 

24.【答案】解：由题意得：
，
解得：．
该抛物线的解析式为．
，
．
．
令，则，
．
．
．
设，，
．
．
，是方程的两个根，且．
，，
．
，
．
解得：或．
，
．
若，则直线的解析式为．
．
．
．
解得：，．
，．
设直线的解析式为，
，
解得：．
直线的解析式为．
令，则．
．
，
．
．




．
，
当时，的面积为最大，最大值为．
 

【解析】利用待定系数法交点即可；
将直线的解析式与抛物线解析式联立，求得点，的坐标，进而得到，的横坐标的差，利用已知条件列出关于的方程，解方程即可求解；
利用中的方法求得的面积，再利用二次函数的性质即可求得结论．
本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数图象的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，一元二次方程根与系数的关系，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．