2022年安徽省合肥市庐阳区一模数学试题（附答案）

 一模数学试题

一、单选题

1．2022的倒数是（　　）

A．－2022 B．2020 C． D．

2．计算的结果是（　　）

A． B． C． D．

3．国家卫健委每日都会公布全国31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗剂次.至2021年12月15日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗26.4亿剂次.其中26.4亿用科学记数法表示为（　　）

A． B． C． D．

4．对于下列四个立体图形，其三视图中不含有三角形的是（　　）

A． B．

C． D．

5．如图，将三角尺的直角顶点放在直线上，，，若直角被直线平分，则的度数是（　　）

A． B． C． D．

6．a，b是两个连续整数，若，则a，b分别是（　　）

A．2，3 B．3，4 C．4，5 D．5，6

7．在平面直角坐标养中，若直线不经过第四象限，则关于x的方程的实数根的个数为（　　）

A．0 B．0或1个 C．2个 D．1或2个

8．如图，四边形是菱形，边长为4，，垂直于的直线从点A出发，沿AD方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线EF与菱形的两边分别交于点E，F（点E在点F的上方），若的面积为y，直线的运动时间为x秒（），则能大致反映y与x的函数关系的图象是（　　）

A． B．

C． D．

9．已知三个实数a、b、c，满足，，且、、，则的最小值是（　　）

A． B． C． D．

10．如图，是一“赵爽弦图”，它是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形，其直角三角形的两条直角边的长分别是3和5，连接，并向两端延长，分别交、于点E、F，则的长为（　　）

A． B．4 C． D．

二、填空题

11．计算：　     　.

12．分解因式： 　                　.

13．如图，以原点O为圆心的圆交x轴于点A、B两点，交y轴的正半轴于点C，且点A的坐标为（-2，0），D为第一象限内上的一点，若，则　     　.

14．设抛物线，其中a为实数.

（1）若抛物线经过点，则m=　     　；

（2）该抛物线的顶点随着a的变化而移动，当顶点移动到最高处时，则该抛物线的顶点坐标为　         　.

三、解答题

15．解方程：

16．在平面直角坐标系中，的顶点位置如图所示.

（1）作出关于x轴对称的图形，若内部一点P的坐标为，则点P的对应点的坐标是　                                                                              　；

（2）将绕原点逆时针旋转得到，画出.

17．如图，有一宽为的旗子，小明在点D处测得点B的仰角为，随后小明沿坡度为的斜坡走到点E处，又测得点A的仰角为．已知米，米，求旗子的宽度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米.参考数据：，）

18．观察以下等式：

第1个等式：，

第2个等式：，

第3个等式：，

第4个等式：，……

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第5个等式：　              　；

（2）写出你猜想的第n个等式：　                                                                                                                　（用含n的等式表示），并证明.

19．已知：正比例函数与反比例函数的图象都经过点.

（1）求k，m的值；

（2）第一象限内的点B在这个反比例函数的图象上，过点B作轴，交y轴于点C，且，求直线的表达式.

20．如图，已知是的外接圆，过圆心O，且，垂足为点F，交的延长线于点E，连接、．

（1）若，的半径长为6，求的长；

（2）求证：．

21．某校决定开展篮球、足球、乒乓球和羽毛球四种项目的活动课，为了解学生对四种项目的喜欢情况，随机调查了部分学生很喜欢的一种项目（每名学生必选且只能选择四种活动项目的一种），并将调查结构绘制成如下的不完整的统计图表：

学生最喜欢的活动项目的人数统计表

根据图表中提供的信息，解答下列问题：

（1）m=　     　，n=　     　；

（2）根据抽样调查结果，请你估计该校2000名学生中有多少名学生最喜欢乒乓球；

（3）甲、乙两名同学在这四个活动项目中任选一个活动项目参加活动课，求甲乙同时选择乒乓球活动课的概率.

22．设抛物线，其中a、b为实数，，且经过（3，0）.

（1）求抛物线的顶点坐标（用含a的代数式表示）；

（2）若，当时，函数的最大值是6，求t的值；

（3）点A坐标为（0，4），将点A向右平移3个单位长度，得到点B.若抛物线与线段有两个公共点，求a的取值范围.

23．如图，等腰△ABC和等腰△DEC中，AB=AC=AD，DE=DC．

（1）求证：；

（2）如图，如果，求的值（提示：先求的度数）；

（3）延长线段交于点F，如果是等腰三角形，且，求的长．

答案解析部分

1．【答案】C

2．【答案】B

3．【答案】D

4．【答案】D

5．【答案】A

6．【答案】A

7．【答案】D

8．【答案】C

9．【答案】B

10．【答案】D

11．【答案】1

12．【答案】2（m+3）（m-3）

13．【答案】

14．【答案】（1）5

（2）（2，5）

15．【答案】解：原方程可化为：（x-7）（x+1）=0，

x-7=0或x+1=0；

解得：x1=7，x2=．

16．【答案】（1）解：如图，△A1B1C1为所求，点P的对应点P1的坐标是（a，-b）；故答案为（a，-b）；

（2）解：A、B、C三点旋转后的对应点分别为：，顺次连接，

如图，△A2B2C2为所求

17．【答案】解：过点E作EG⊥AC于G，作EF⊥CD，交CD的延长线于F，

在△DEF中，，

∴∠EDF=，

∴米，DF==2米，

∴EG=FC=DF+CD=（6+2）米，

在Rt△AEG中，∠AEG=，

∴AG=EG=（6+2）米，

在Rt△BCD中，∠BDC=，CD=6米，

∴米，

∴AB=AG+CG-BC=6+2+2-6=8-41.1(米)，

答：旗子的宽度约为1.1米．

18．【答案】（1）

（2）解：证明：左边===右边，∴．

19．【答案】（1）解：把点代入正比例函数y＝得，

4＝

解得m＝3，

∴点A的坐标为（3，4）

把A（3，4）代入反比例函数y＝得，

k＝3×4＝12；

（2）解：由（1）可得反比例函数的关系式为y＝，

如图，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，交BC于点N，则∠AMO＝90°， 作BH⊥x轴于点H，则∠BHO＝90°，

∵BCx轴，

∴∠ANC＝∠AMO＝90°，∠OCB+∠COH＝90°

∴AM⊥BC，

∵∠COH＝90°

∴∠OCB＝180°－∠COH＝90°

∴四边形OCBH和四边形OCNM都是矩形

∴OH＝BC，OM＝CN＝3，

∵AB＝AC，

∴△ABC是等腰三角形

∴CN＝NB＝3，

∴BC＝CN+NB＝6，

∴OH＝BC＝6

∴点B的横坐标为6，

当x＝6时，y＝＝＝2，

∴点B的坐标是（6，2），

设直线AB的表达式为，

把A（3，4），B（6，2）代入得

解得

∴ 直线AB的表达式为

20．【答案】（1）解：如图1，连接OA，

∵

∴∠ACB＝

∴∠AOB＝2∠ACB＝120°

∵OA＝OB

∴△OAB是等腰三角形

∵过圆心O，且，垂足为点F，

∴OF⊥AB

∴AF＝BF＝，∠AOF＝∠BOF＝，∠AFO＝90°

在Rt△AOF中，∠AFO＝90°，∠FAO＝90°－∠AOF＝30°，AO＝6

∴OF＝AO＝3

由勾股定理得AF＝

∴AB＝2AF＝6

∴ AB的长为6

（2）证明：如图2，延长CO交于点G，则CG是的直径，连接BG，

∵ OC是的半径

∴CG是的直径

∴ ∠CBG＝90°

∴∠OCB+∠BGC＝90°

∵，

∴∠AFE＝90°

∴∠CAB+∠E＝90°

∵∠CAB＝∠BGC

∴

21．【答案】（1）30；20

（2）解：该校2000名学生中最喜欢乒乓球的有（人）；

（3）解：列树状图如下，

共有16种等可能的情况，其中甲乙同时选择乒乓球活动课的有1种，

∴P（甲乙同时选择乒乓球活动课）=．

22．【答案】（1）解：抛物线，经过（3，0），

代入可得：，即，

所以抛物线为：，顶点坐标为．

（2）解：当时，抛物线为：，对称轴为；

①当时，即，

满足时，y随着x的增大而减小，

当时，y取最大值，

即，

解得（舍）或；

②当时，即，

当时，y取最大值8，不合题意；

③当时，

满足时，y随着x的增大而增大，

当时，y取最大值，

即，

解得（舍）或；

综上：或．

（3）解：如图，A坐标为（0，4），将点A向右平移3个单位长度，得到点B（3，4），

对称轴与线段AB交于点C（1，4），

当抛物线过点A时，即，解得，

当抛物线过点C时，即，解得，

即．

23．【答案】（1）证明：设∠B=x，∠DEC=y，

∵AB=AC，

∴∠ACB=∠B=x，

∵DE=DC，

∴∠DCE=∠DEC=y，

∴∠ACD=∠DCE-∠ACB=y-x，

∵AD=AC，

∴∠D=∠ACD=y-x，

∵∠BAE=∠DEC-∠BCA=y-x，

∴∠BAE=∠D；

（2）解：∵AB=AC，，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴，

∵∠BAE=∠D，

∴∠DEC=∠DCE=∠B+∠D，

∴，

∴，

过点E作EF⊥AB于F，

设EF=a，

∵∠FEB=，

∴BF=EF=a，，

∵，

∴AE=2EF=2a，，

∴AC=AB=，

∴BC=，

∴，

∴

（3）解：分三种情况：

①当AF=CF时，

∴∠FAC=∠FCA，

∵∠BAE=∠D，AD=AC，

∴∠BAE=∠D=∠FCA，∠EAC=2∠D，

∴

∴，

∴；

②当AC=CF时，

∵∠DAF=∠BAE=∠D，

∴∠FAC=∠AFC=2∠D，

∵AD=AC，

∴∠D=∠ACD，

∴，

∴，

∴，

∴△FAD∽△ACD，

∴，即，

∴(负值舍去)；

③当AF=AC=2时，点F于点D重合，故点B与点E重合，

此时CD=CE=AB+AD=4；

综上，CD的值为2或或4．