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    专题22 最大角米勒角问题-2021年中考数学二次函数压轴题核心考点突破
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    专题22 最大角米勒角问题-2021年中考数学二次函数压轴题核心考点突破

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    这是一份专题22 最大角米勒角问题-2021年中考数学二次函数压轴题核心考点突破,文件包含专题22最大角米勒角问题解析版doc、专题22最大角米勒角问题原卷版doc等2份课件配套教学资源,其中PPT共0页, 欢迎下载使用。

    最大角米勒角问题

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    【问题描述】

    1471年,德国数学家米勒向诺德尔提出这样一个问题:

    如图,点AB直线l的同一侧,在直线l上取一点P,使得APB最大,求P点位置.

    【问题铺垫】

    圆外角:如图,像APB这样顶点在圆外,两边和圆相交的角叫圆外角.

    相关结论:圆外角等于这个角所夹两条弧的度数差(大减小)的一半.

    如图,

    换句话说,对同一个圆而言,圆周角>圆外角.

    【问题解决】

    结论:当点P不与AB共线时,作PAB的外接圆,当圆与直线l相切时,APB最大.

    证明:在直线l上任取一点M(不与点P重合),连接AMBM

    AMB即为圆O的圆外角,

    ∴∠APB>AMBAPB最大.

    当圆与直线l相切时,APB最大.

     

    特别地,若点ABP分别在一个角的两边,如下图,则有.(切割线定理)

    证明:∵∠POA=BOPOPA=OBP(弦切角定理)

    ∴△AOP∽△POB

    即可通过OAOB线段长确定OP长,便知P点位置.

    专项训练

    如图,抛物线轴交于A-10两点,与y轴交于点C,过点CCDy轴交抛物线于另一点D,作DEx轴,垂足为点E,双曲线经过点DBD

    1)求抛物线的表达式;

    2)动点P从点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动,运动时间为t秒,当t为何值时,BPD的度数最大?(请直接写出结果)


    【分析】

    1)考虑到点D纵坐标与点C相同,为3,代入反比例解析式,可得D点坐标为(23),

    根据AD坐标可得抛物线解析式:

    2)求t即求P点位置.

    思路2:切割线定理

    延长BDy轴于M点,则当时,BPD最大.

    考虑到B30)、D23),可得直线BD解析式:

    故直线BDy轴交点M点坐标为(09),

    P点坐标为

    t的值为

     


    练习:如图,在平面直角坐标系中,A10)、B50)直线l经过点C-12),点P是直线l上的动点,若APB的最大值为45°,求直线l的解析式.

    【分析】

    考虑到直线l未知但APB的最大值已知为45°,故构造圆.

    ABP外接圆圆心为M点,则AMB=2APB=90°

    故可确定M点位置.

    根据A10)、B50),不难求得M点坐标为(32),

    连接MCMP,考虑到圆M与直线CP相切,故MPCPCPM是直角三角形.

    MC=4MP=MA=

    ,即CPM是等腰直角三角形,

    易求P点坐标为(14),

    C点坐标为(-12),

    可求直线l的解析式为y=x+3

     

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