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专题22 最大角米勒角问题-2021年中考数学二次函数压轴题核心考点突破
展开最大角米勒角问题
知识导航
【问题描述】
1471年,德国数学家米勒向诺德尔提出这样一个问题:
如图,点A、B直线l的同一侧,在直线l上取一点P,使得∠APB最大,求P点位置.
【问题铺垫】
圆外角:如图,像∠APB这样顶点在圆外,两边和圆相交的角叫圆外角.
相关结论:圆外角等于这个角所夹两条弧的度数差(大减小)的一半.
如图,.
换句话说,对同一个圆而言,圆周角>圆外角.
【问题解决】
结论:当点P不与A、B共线时,作△PAB的外接圆,当圆与直线l相切时,∠APB最大.
证明:在直线l上任取一点M(不与点P重合),连接AM、BM,
∠AMB即为圆O的圆外角,
∴∠APB>∠AMB,∠APB最大.
∴当圆与直线l相切时,∠APB最大.
特别地,若点A、B与P分别在一个角的两边,如下图,则有.(切割线定理)
证明:∵∠POA=∠BOP,∠OPA=∠OBP(弦切角定理)
∴△AOP∽△POB,
∴,
∴.
即可通过OA、OB线段长确定OP长,便知P点位置.
专项训练
如图,抛物线与轴交于A(-1,0)、两点,与y轴交于点C,过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D,作DE⊥x轴,垂足为点E,双曲线经过点D,BD.
(1)求抛物线的表达式;
(2)动点P从点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动,运动时间为t秒,当t为何值时,∠BPD的度数最大?(请直接写出结果)
【分析】
(1)考虑到点D纵坐标与点C相同,为3,代入反比例解析式,可得D点坐标为(2,3),
根据A、D坐标可得抛物线解析式:.
(2)求t即求P点位置.
思路2:切割线定理
延长BD交y轴于M点,则当时,∠BPD最大.
考虑到B(3,0)、D(2,3),可得直线BD解析式:,
故直线BD与y轴交点M点坐标为(0,9),
,,
∴,
∴,
∴P点坐标为,
故t的值为.
练习:如图,在平面直角坐标系中,A(1,0)、B(5,0)直线l经过点C(-1,2),点P是直线l上的动点,若∠APB的最大值为45°,求直线l的解析式.
【分析】
考虑到直线l未知但∠APB的最大值已知为45°,故构造圆.
记△ABP外接圆圆心为M点,则∠AMB=2∠APB=90°,
故可确定M点位置.
根据A(1,0)、B(5,0),不难求得M点坐标为(3,2),
连接MC、MP,考虑到圆M与直线CP相切,故MP⊥CP,△CPM是直角三角形.
∵MC=4,MP=MA=,
∴,即△CPM是等腰直角三角形,
易求P点坐标为(1,4),
又C点坐标为(-1,2),
可求直线l的解析式为y=x+3.
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专题24 圆内最大张角米勒角问题课件PPT: 这是一份专题24 圆内最大张角米勒角问题课件PPT,共14页。