2022届河南省顶级名校高三考前真题重组导向卷（三）理科数学试题及答案

2022届高三考前真题重组导向卷（三）

理科数学

一．选择题

1．已知，是虚数单位，若，，则（  ）

A．1或 B．或 C． D．

2．设集合则=（  ）

A． B． C． D．

3．下列命题为真命题的是（       ）

A．且 B．或

C．，                     D．，

4．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（       ）

A． B． C． D．

5．两人进行乒乓球比赛，先赢三局着获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（  ）

A．10种 B．15种 C．20种 D．30种

6．在平面直角坐标系中，已知向量点满足.曲线，区域.若为两段分离的曲线，则（  ）

A． B． C． D．

7．设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点），记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则（  ）

A． B．

C． D．

8．已知函数，.若在区间内没有零点，则的取值范围是（   ）

A．     B．        C．       D．

9．已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（  ）

A． B． C． D．

10．若过点可以作曲线的两条切线，则（       ）

A．      B．     C．      D．

11．已知的内角，面积满足所对的边，则下列不等式一定成立的是

A． B． 

C． D．

12．设函数满足则时，

A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值

C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值

二．填空题

13．已知 的展开式中含有 项的系数是54，则n=_____________.

14．设函数则满足的x的取值范围是____________

15.设双曲线x2–=1的左、右焦点分别为F1，F2．若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是_______．

16．已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为____.

三．解答题

17．已知首项都是1的两个数列（），满足.

（1）令，求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和

18．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．

（1）证明：；

（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?

19. 在核酸检测中, “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束.

现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.

（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.

(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;

(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为.设X是检测的总次数，求X的

分布列与数学期望E(X).

(II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)

20．已知抛物线：的焦点为，过且斜率为的直线与抛物线交于，两点，在轴的上方，且点的横坐标为4.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）设点为抛物线上异于，的点，直线与分别交抛物线的准线于，两点，轴与准线的交点为，求证：为定值，并求出定值.

21．已知函数有两个零点.

（Ⅰ）求a的取值范围；

（Ⅱ）设x1，x2是的两个零点，证明：.

22．已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：（θ为参数），C2：（t为参数）.

（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.

23．已知.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若时不等式成立，求的取值范围.

理科数学答案

1-4.ACDB

5【答案】C

【解析】

【详解】

试题分析：第一类：三局为止，共有种情形；第二类：四局为止，共有种情形；第三类：五局为止，共有种情形；故所有可能出现的情形共有种情形故选C.

6.【答案】A

试题分析：设，则 ，，区域 表示的是平面上的点到点的距离从到之间，如下图中的阴影部分圆环，要使 为两段分离的曲线，则，故选A.

7.B【详解】

方法1：如图为中点，在底面的投影为，则在底面投影在线段上，过作垂直，易得，过作交于，过作，交于，则，则，即，，即，综上所述，答案为B.

方法2：由最小角定理，记的平面角为（显然）

由最大角定理，故选B.

方法3：（特殊位置）取为正四面体，为中点，易得

，故选B.

8.【答案】D试题分析：，，所以，

因此，选D.

9.【答案】D详解：因为为等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,

由斜率为得，，

由正弦定理得,

所以，故选D.

10【答案】D在曲线上任取一点，对函数求导得，

所以，曲线在点处的切线方程为，即，

由题意可知，点在直线上，可得，

令，则.

当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，

所以，，

由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，

当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：

由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.

11.【答案】A

试题分析：由题设得：

（1）

由三角形面积公式及正弦定理得：

所以

又因为，所以

所以恒成立，所以

故选A.

12.【答案】D

函数满足，

，令，

则，

由，得，令，

则

在上单调递减，在上单调递增，

的最小值为.

又在单调递增，

既无极大值也无极小值，故选D.

13.【答案】

14.【答案】

由题意得： 当时，恒成立，即；当时， 恒成立，即；当时，，即.综上，x的取值范围是.

15.【答案】．

试题分析：由已知得，则，设是双曲线上任一点，由对称性不妨设在双曲线的右支上，则，，，为锐角，则，即，解得，所以，则．

16.【答案】不妨设球的半径为4，球的表面积为，

因为圆锥底面面积是这个球面面积的，

所以圆锥的底面积为，圆锥的底面半径为；

由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离，球的半径以及圆锥底面的半径三者可以构成一个直角三角形，

由此可以求得球心到圆锥底面的距离是，

所以圆锥体积较小者的高为，同理可得圆锥体积较大者的高为；

所以这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为．

故答案为：

17（1）因为，

所以

所以数列是以首项，公差的等差数列，故

（2）由知

于是数列前n项和

相减得

所以

18.（1）[方法一]：几何法

因为，所以．

又因为，，所以平面．又因为，构造正方体，如图所示，

过E作的平行线分别与交于其中点，连接，

因为E，F分别为和的中点，所以是BC的中点，

易证，则．

又因为，所以．

又因为，所以平面．

又因为平面，所以．

 [方法二] 【最优解】：向量法

因为三棱柱是直三棱柱，底面，

，，，又，平面．所以两两垂直．

以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图．

，．

由题设（）．

因为，

所以，所以．

（2）[方法一]【最优解】：向量法

设平面的法向量为，

因为，

所以，即．

令，则

因为平面的法向量为，

设平面与平面的二面角的平面角为，

则．

当时，取最小值为，

此时取最大值为．

所以，此时．

 [方法二] ：几何法

如图所示，延长交的延长线于点S，联结交于点T，则平面平面．

作，垂足为H，因为平面，联结，则为平面与平面所成二面角的平面角．

设，过作交于点G．

由得．

又，即，所以．

又，即，所以．

所以．

则，

所以，当时，．

19.（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；所以总检测次数为20次；

②由题意，可以取20，30，

，，

则的分布列:

所以；

（2）由题意，可以取25，30，

两名感染者在同一组的概率为，不在同一组的概率为，

则.

20（1）由题意得：，

因为点的横坐标为4，且在轴的上方，

所以，

因为的斜率为，

所以，整理得：，

即，得，

抛物线的方程为：.

（2）由（1）得：，，淮线方程，

直线的方程：，

由解得或，于是得.

设点，又题意且,

所以直线：，令，得，

即，

同理可得：，

.

21.试题解析：（Ⅰ）．

（Ⅰ）设，则，只有一个零点．

（Ⅱ）设，则当时，；当时，．所以在单调递减，在单调递增．

又，，取满足且，则

，

故存在两个零点．

（Ⅲ）设，由得或．

若，则，故当时，，因此在单调递增．又当时，所以不存在两个零点．

若，则，故当时，；当时，．因此在单调递减，在单调递增．又当时，，所以不存在两个零点．

综上，的取值范围为．

（Ⅱ）不妨设，由（Ⅰ）知，，在单调递减，所以等价于，即．

由于，而，所以

．

设，则．

所以当时，，而，故当时，．

从而，故．

22.(1)[方法一]：消元法

由得的普通方程为．

由参数方程可得，

两式相乘得普通方程为．

[方法二]【最优解】：代入消元法

由得的普通方程为，

由参数方程可得，

代入中并化简得普通方程为．

(2)[方法一]：几何意义+极坐标

将代入中解得，故P点的直角坐标为．

设P点的极坐标为，

由得，，．

故所求圆的直径为，

所求圆的极坐标方程为，即．

[方法二]：

由得所以P点的直角坐标为．

因为．

设圆C的极坐标方程为，所以，

从而，解得．

故所求圆的极坐标方程为．

[方法三]：利用几何意义

由得所以P点的直角坐标为，

化为极坐标为，其中．

如图，设所求圆与极轴交于E点，则，

所以，所以所求圆的极坐标方程为．

[方法四]【最优解】：

由题意设所求圆的圆心直角坐标为，则圆的极坐标方程为．

联立得解得．

设Q为圆与x轴的交点，其直角坐标为，O为坐标原点．

又因为点都在所求圆上且为圆的直径，

所以，解得．

所以所求圆的极坐标方程为．

[方法五]利用几何意义求圆心

由题意设所求圆的圆心直角坐标为，

则圆的极坐标方程为．

联立得，

即P点的直角坐标为．

所以弦的中垂线所在的直线方程为，

将圆心坐标代入得，解得．

所以所求圆的极坐标方程为．

23.详解：（1）当时，，即

故不等式的解集为．

（2）当时成立等价于当时成立．

若，则当时；

若，的解集为，所以，故．

综上，的取值范围为．