人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系学案

空间向量的坐标与空间直角坐标系

【学习目标】

1．通过空间向量的直角坐标运算的学习，提升数学运算、逻辑推理素养．

2．通过对空间直角坐标系的学习，提升数学抽象素养．

3．理解空间直角坐标系的定义、建系方法，以及空间的点的坐标确定方法并能简单运用．

【学习重难点】

1．掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．（重点）

2．掌握空间向量的坐标运算．（重点）

3．掌握空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直的关系．（重点、难点）

【学习过程】

一、新知初探

1．空间中向量的坐标

一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底，在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组（x，y，z）为向量p的坐标，记作p＝（x，y，z）．其中x，y，z都称为p的坐标分量．

2．空间向量的运算与坐标的关系

假设空间中两个向量a，b满足a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），则有以下结论：

（1）a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2）；

（2）若u，v是两个实数，ua＋vb＝（ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2）；

（3）a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2；

（4）|a|＝＝；

（5）当a≠0且b≠0时，cos〈a，b〉＝＝．

3．空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直

（1）当a≠0时，a∥b⇔b＝λa⇔（x2，y2，z2）＝λ（x1，y1，z1）⇔，当a的每一个坐标分量都不为零时，有a∥b⇔＝＝．

（2）a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0．

4．空间直角坐标系

（1）在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy，然后过O作一条与xOy平面垂直的数轴z轴．这样建立的空间直角坐标系记作Oxyz．

（2）在空间直角坐标系Oxyz中，x轴、y轴、z轴是两两垂直的，它们都称为坐标轴，通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面．

（3）z轴正方向的确定：在z轴的正半轴看xOy平面，x轴的正半轴绕O点沿逆时针方向旋转90°能与y轴的正半轴重合．

（4）空间直角坐标系的画法：在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，一般把x轴、y轴画成水平放置，x轴正方向与y轴正方向夹角为135°（或45°），z轴与y轴（或x轴）垂直．

（5）空间中一点的坐标：空间一点M的坐标可用有序实数组（x，y，z）来表示，有序实数组（x，y，z）叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，其中x叫做点M的横坐标（或x坐标），y叫做点M的纵坐标（或y坐标），z叫做点M的竖坐标（或z坐标）．

（6）三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了八个部分，每一部分都称为一个卦限，按逆时针方向，在坐标平面xOy的上方，分别是第Ⅰ卦限，第Ⅱ卦限，第Ⅲ卦限，第Ⅳ卦限，在平面xOy的下方，分别是第Ⅴ卦限，第Ⅵ卦限，第Ⅶ卦限，第Ⅷ卦限，根据点的坐标的特征，第Ⅰ卦限的点集用集合可表示为{（x，y，z）|x＞0，y＞0，z＞0}．

5．空间向量坐标的应用

（1）点P（x，y，z）到坐标原点O（0,0,0）的距离OP＝．

（2）任意两点P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2）间的距离P1P2＝．

二、初试身手

1．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）以原点为始点的向量的坐标和点P的坐标相同．（    ）

（2）若a·b＝0，则a⊥b．（    ）

（3）在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点一定是（0，b，c）．（    ）

（4）在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标为（a,0，c）．（    ）

2．（教材P19例2改编）已知向量a＝（3，－2,1），b＝（－2,4,0），则4a＋2b等于（    ）

A．（16,0,4） B．（8，－16,4）

C．（8,16,4） D．（8,0,4）

3．已知{e1，e2，e3}是单位正交基底，则p＝－e1＋2e2＋3e3的坐标为________．

4．在空间直角坐标系中，点P（3,4,5）与Q（3，－4，－5）两点的位置关系是________．

三、合作探究

【例1】（1）如图，在棱长为1的正方体ABCD­A′B′C′D′中，E，F，G分别为棱DD′，D′C′，BC的中点，以{，，}为基底，求下列向量的坐标．

①，，；

②，，．

（2）已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是（－1,2,1），（1,3,4），（0，－1,4），（2，－1，－2）．若p＝，q＝．求①p＋2q；②3p－q；③（p－q）·（p＋q）．

【例2】在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是D1D、BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系，写出E，F，G，H的坐标．并求GH的长度．

【例3】已知空间三点A（－2,0,2），B（－1,1,2），C（－3,0,4），设a＝，b＝．

（1）若|c|＝3，c∥．求c；

（2）若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k．

【例4】如图所示，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点．

（1）求证：EF⊥B1C；

（2）求EF与C1G所成角的余弦值；

（3）求FH的长．

【学习小结】

1．利用空间向量的坐标运算可以判断两个向量的平行、垂直，可以求向量的模以及两个向量的夹角．

2．几何中的平行和垂直可以用向量进行判断，距离、夹角问题可以借助于空间直角坐标系利用数量积解决．

【精炼反馈】

1．已知向量a＝（1,1,0），b＝（－1,0,2），则3a＋b为（    ）

A．（－2，－3，－2） B．（2,3,2）

C．（－2,3,2） D．（4,3,2）

2．在空间直角坐标系中，点P（1,3，－5）关于平面xOy对称的点的坐标是（    ）

A．（－1,3，－5） B．（1,3,5）

C．（1，－3,5） D．（－1，－3,5）

3．点P到原点O的距离是（    ）

A． B．1

C． D．

4．已知向量a＝（1,1,0），b＝（－1,0,2）且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是________．

5．已知空间三点A（1,1,1），B（－1,0,4），C（2，－2,3），则与的夹角θ的大小是________．