2021雅礼中学高二下学期期中考试数学试卷及参考答案

雅礼教育集团2021下学期期中考试试卷

  高二数学

时量： 120分钟      分值：150分

 命题人：莫跃武      审题人：张鎏

一、单选题

1．已知全集，，，（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

2．在定义域内既是奇函数又是减函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

3．设复数（是虚数单位），则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

4．若不等式的解集是，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

5．在中，若，则此三角形必是（    ）

A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形

【答案】A

，

所以

所以.   故选：A

6．已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为（    ）

A． B．2 C．或2 D．

【答案】A

依题意，双曲线的渐近线方程为，因两条渐近线的夹角为，于是得直线的倾斜角是或，即或，解得或，而，则，

又，则有，所以双曲线的离心率.故选：A

7．如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面ABC的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

8．已知椭圆与双曲线具有相同焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆与双曲线的离心率分别为、，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

设点为椭圆与双曲线在第一象限内的交点，设，

由椭圆和双曲线的定义可得，解得，，

由余弦定理可得

，所以，，即，

所以，，

当且仅当时，等号成立，因此，的最小值是.故选：B.

二、多选题

9．下列数列中，是等差数列的是（    ）

A．1，4，7，10 B．

C． D．10，8，6，4，2

【答案】ABD

10．下列各式中，值为的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

选项A：；

选项B：；

选项C：；

选项D：.故选：AB.

11．对于直线：，下列说法错误的是（    ）

A．直线恒过定点 B．直线斜率必定存在

C．时直线的倾斜角为 D．时直线与两坐标轴围成的三角形面积为

【答案】BC

A：由直线方程知：恒过定点，正确；

B：当时，直线斜率不存在，错误；

C：时有，即，则倾斜角为，错误；

D：时，直线，则x、y轴交点分别为，所以直线与两坐标轴围成的三角形面积为，正确；  故选：BC.

12．圆，直线，点在圆上，点在直线上，则下列结论正确的是（　　）

A．直线与圆相交

B．的最小值是

C．从点向圆引切线，切线长的最小值是

D．直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是

【答案】BCD

圆的标准方程为，圆心为，半径为.

对于A选项，圆心到直线的距离为，

所以，直线与圆相离，A错；对于B选项，的最小值为，B对；

对于C选项，如下图所示：

从点向圆引切线，设切点分别为、，连接，则，则，

当时，取得最小值，此时取得最小值，即，C对；

对于D选项，由得，即，所以，曲线表示圆的上半圆，而直线表示过点且斜率为的直线，如下图所示：

当直线与圆相切，且切点在第二象限时，则，解得，

当直线过点时，则，解得.

由图可知，当与曲线有两个不同的交点时，的取值范围是，D对.

故选：BCD.

三、填空题

13．圆关于点的对称圆的方程是___________.

【答案】

圆的圆心坐标为，半径为，

点关于点的对称点为点，因此，所求圆的方程为.

故答案为：.

14．在中，O，D分别为边，的中点，若，则___________．

【答案】

如图所示：

因为O，D分别为边，的中点，所以，

所以，即，，.故答案为：

15．如下图①至图④，作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形)，然后在剩下的每一个小三角形中又挖去一个“中心三角形”，以此类推，如果我们用着色三角形代表挖去的部分，那么剩下的白三角形则称为谢尔宾斯基三角形，该概念由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出.下列4个图形中，若着色三角形的个数依次构成数列的前4项，则__________.

【答案】

解：依题意可知，，，，且

所以， 故答案为：

16．已知双曲线的左、右焦点分别为 ，点在双曲线上．若为直角三角形，且，则双曲线的离心率为 _______________________ ．

【答案】或

根据双曲线的对称性，设点在双曲线的右支上

由为直角三角形，可知或

（1）若，由，设

由勾股定理知：，又，即

（2）若，由，设

由勾股定理知：，

又，即

综上可知，双曲线的离心率为：或故答案为：或

四、解答题

17．设递增等差数列的前项和为，已知，，

（I）求数列的通项公式；

（II）求数列的前项和.

【答案】(I) ;

(II)

 (I)在递增等差数列中，设公差为，

解得

;

(II)根据等差数列的求和公式得

18．已知抛物线C：的焦点，直线：与抛物线C相交于不同的两点.

（1）求抛物线C的方程；

（2）若，求的值.

【答案】（1）；（2）.

解：（1）因为抛物线C：的焦点，

所以，得，所以抛物线方程为

（2）设与相交于，

由得：，

，∵直线过焦点

∴∴=1∴

19．某中学（含初高中6个年级）随机选取了名男生，将他们的身高作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）求的值及样本中男生身高在（单位:cm）的人数；

（1）根据频率分布直方图估计该校男生身高的85%分位数.

【答案】（Ⅰ），4；（Ⅱ）171.5cm；（Ⅲ）183 cm.

（1）根据题意，.解得 ．

所以样本中学生身高在内（单位:）的人数为

（2）由，根据直方图，

因为

所以样本中的85%分位数落在内，

设85%分位数为，则，

解得.所以估计该校男生身高的85%分位数为183 cm

20．已知函数.

（1）求函数在上的单调递增区间；

（2）将函数的图象向右平移个单位长度，然后将所得图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标变为原来的倍，再向上平移1个单位长度得到函数的图象，求函数在上的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

 (1)依题意，，

由，，得，，

即在上单调递增，而，

所以在上的单调递增区间为；

(2)函数的图象向右平移个单位，得函数的图象，

再将纵坐标变为原来的2倍，可得函数的图象，又将横坐标变为原来的倍，可得函数的图象，

最后向上平移1个单位得到函数的图象，

因，则，于是得，

所以函数在上的取值范围为.

21．如图，正方形的边长为2，的中点分别为C，，正方形沿着折起形成三棱柱，三棱柱中，.

（1）证明:当时，求证：平面；

（2）若二面角的余弦值为，求的值。

【答案】（1）详见解析；（2）

（1）当时，点是的中点，

因为，所以，又，所以，所以，

因为，，所以平面，平面

所以，且，所以平面；

（2）因为，，两两互相垂直，所以以点为原点，以，，作为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如下图，

平面，所以向量是平面的法向量，设

，，，，，

设平面的法向量，所以，即 ，令，， ，

所以平面的一个法向量，

，

此时二面角的余弦值是

（几何法正确也得满分）

22．已知椭圆的短轴长为，过下焦点且与轴平行的弦长为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若、分别为椭圆的右顶点与上顶点，直线与椭圆相交于、两点，求四边形的面积的最大值及此时的值.

【答案】（1）；（2）四边形的面积的最大值为，此时.

（1）由题意可得，则，将代入椭圆方程可得，则，得，由题意可得，所以，，因此，椭圆的方程为；

（2）易知点、，直线的方程为，即.

不妨设、且，

，，则，

设到直线的距离为，

到直线的距离为

，

当且仅当时，等号成立，因此，四边形的面积的最大值为，此时.