高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.1 空间中的点、直线与空间向量导学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.1 空间中的点、直线与空间向量导学案，共4页。学案主要包含了学习目标，学习重难点，学习过程，学习小结，精炼反馈等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】
1．通过学习直线的方向向量，公垂线段等概念．
2．利用向量法证明两直线垂直，求两直线所成的角，提升逻辑推理和数学运算的素养．
3．了解空间中的点与空间向量的关系．
4．理解公垂线段的概念并会求其长度．
【学习重难点】
1．理解直线的方向向量．（重点）
2．掌握利用空间向量求空间两直线所成的角的方法．（重点、难点）
3．掌握利用空间向量证明两条直线平行或垂直的方法．（重点）
【学习过程】
一、新知初探
1．空间中的点与空间向量
一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量eq \(OP,\s\up7(→))唯一确定，此时，eq \(OP,\s\up7(→))通常称为点P的位置向量．
2．空间中的直线与空间向量
一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量．此时，也称向量v与直线l平行，记作v∥l．
（1）如果A、B是直线l上两个不同的点，则v＝eq \(AB,\s\up7(→))，即为直线l的一个方向向量．
（2）如果v1是直线l1的一个方向向量，v2是直线l2的一个方向向量，则v1∥v2⇔l1∥l2或l1与l2重合．
3．空间中两条直线所成的角
（1）设v1、v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ，则θ＝〈v1，v2〉或θ＝π－〈v1，v2〉，所以sinθ＝sin〈v1，v2〉，csθ＝|cs〈v1，v2〉|．
（2）〈v1，v2〉＝eq \f(π,2)⇔l1⊥l2⇔v1·v2＝0．
4．异面直线与空间向量
设v1，v2分别是空间中直线l1与l2的方向向量．
（1）若l1与l2异面，则v1与v2的关系为v1与v2不平行．
（2）若v1与v2不平行，则l1与l2的位置关系为相交或异面．
（3）若A∈l1，B∈l2，则l1与l2异面时，v1，v2，eq \(AB,\s\up7(→))不共面．若v1，v2，eq \(AB,\s\up7(→))不共面，则l1与l2异面．
（4）公垂线段：一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线，M∈l1，N∈l2，MN⊥l1，MN⊥l2．则称MN为l1与l2的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的距离．
二、初试身手
1．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）直线l的方向向量是唯一的．（ ）
（2）若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．（ ）
（3）若向量a是直线l的一个方向向量，则向量ka也是直线l的一个方向向量．（ ）
2．（教材P36练习A①改编）设A（2,2,3），B（4,0,1）在直线l上，则直线l的一个方向向量为（ ）
A．（1,2,5）B．（3，－2，－2）
C．（1，－1，－1）D．（－1,1，－1）
3．若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝（0，－2，－1），b＝（2,0,4），则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于（ ）
A．－eq \f(2,5)B．eq \f(2,5)
C．－eq \f(2\r(5),5)D．eq \f(2\r(5),5)
4．直线l1，l2的方向向量分别为v1＝（3,0,2），v2＝（1,0，m），若l1∥l2，则m等于________．
三、合作探究
类型1：空间中点的位置确定
【例1】已知O是坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为A（3，4,0），B（2,5,5），C（0,3,5）．
（1）若eq \(OP,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)（eq \(AB,\s\up7(→))－eq \(AC,\s\up7(→))），求P点的坐标；
（2）若P是线段AB上的一点，且AP∶PB＝1∶2，求P点的坐标．
类型2：利用向量法求异面直线的夹角（或余弦值）
【例2】（1）若向量a＝（x,4,5），b＝（1，－2,2），且a与b的夹角的余弦值为eq \f(\r(2),6)，则x＝（ ）
A．3
B．－3
C．－11
D．3或－11
类型3：利用空间向量处理平行问题
【例3】（1）已知向量a＝（2,4,10），b＝（3，x,15）分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则x＝________．
（2）如图所示，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：FC1∥平面ADE．
【学习小结】
1．空间中的点与直线可以利用空间坐标与直线的方向向量来研究，更进一步研究空间几何中的平行、垂直关系．
2．在解决空间中直线与直线所成角的问题时，既可构造相应的角求解，也可以借助空间向量求解，建立空间直角坐标系或选择合适的基底都能解决问题．
3．利用空间坐标系可以研究异面直线问题，如异面直线所成的角、异面直线的距离等．
【精炼反馈】
1．若A（1,0,1），B（2,3,4）在直线l上，则直线l的一个方向向量是（ ）
A．（－1,3,3）B．（1,3,3）
C．（3,3,5）D．（2,4,6）
2．向量a＝（x,1，－2），b＝（3，x,4），a⊥b，则x＝（ ）
A．8
B．4
C．2
D．0
3．直线l1与l2不重合，直线l1的方向向量为v1＝（－1,1,2），直线l2的方向向量为v2（－2,0，－1），则直线l1与l2的位置关系为________．
4．已知向量a＝（1,0，－1），向量b＝（eq \r(2)，0,0），则〈a，b〉＝________．
5．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，求BM与AN所成角的余弦值．