山西省晋中市左权县2021-2022学年八年级（下）期中数学试卷（含解析）

山西省晋中市左权县2021-2022学年八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 左权县是闻名全国的民间文化艺术之乡，传统文化深沉厚重，形式丰富独特．其中小花戏、开花调、布老虎、剪纸、小会吊挂等被列为国家或省市级非物质文化遗产．下列动物剪纸作品是中心对称图形的是

A.  B.
C.  D.

2. 若，则

A.  B.
C.  D.

3. 一个等腰三角形的两边长分别为，，则它的周长为

A.  B.  C.  D. 或

4. 年左权县将倾力打造泽城村“中国北方国际写生基地”，实现“山水写生消费产业“的全链条发展，为方便百姓利用直播带货，助推家乡产业发展，中国移动通信公司已经资助建设直播仓．目前，政府为更好地服务农民，将在村庄、、之间的空地上新建一座仓库已知、、恰好在三条公路的交点处，要求仓库到村庄、、的距离相等，则仓库应选在

A. 三条角平分线的交点 B. 三边的垂直平分线的交点
C. 三条中线的交点 D. 三条高所在直线的交点

5. 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是

A.  B.
C.  D.

6. 下列命题中，是假命题的是

A. 两条直角边分别相等的两个直角三角形全等
B. 两个锐角分别相等的两个直角三角形全等
C. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
D. 斜边和一个锐角分别相等的两个直角三角形全等

7. 不等式组的整数解为

A. ，，， B. ， C. ，， D. ，，

8. 如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，则的长为
    

A.  B.  C.  D.

9. 某商品进价元，标价元，为了促销，现决定打折销售，但每件利润不少于元，则最多打几折销售

A. 折 B. 折 C. 折 D. 折

10. 如图，中，，，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为

A. ， B. ， C. ， D. ，

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 已知，，则代数式的值是______．
12. 与的和不小于，用不等式表示为______．
13. 如图所示，直角三角形的周长为，在其内部的个小直角三角形周长之和为______．

14. 如图，直线与直线相交于点，则不等式的解集是______．
    
    
     

15. 如图，把等边沿着折叠，使点恰好落在边上的点处，且，若，则______．
    
     

三、解答题（本大题共8小题，共55分）

16. 计算：
    分解因式：；
    解不等式组，并将解集表示在数轴上．
17. 下面是小亮同学解一元一次不等式的步骤，请认真阅读，并完成相应的任务：
    解：
    
    
    任务：
    填空：解不等式时，从______步开始出现错误的，具体原因是______．
    由原不等式化为第步的依据是______．
    任务：写出该一元一次不等式的正确解题过程．
    任务：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次不等式时还需要注意的事项给其他同学一条建议．
18. 如图，在中，，是边上的中点，于点，于点求证：．
    
    
     

19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为、、．
    
    在图中将向右平移个单位，做出平移后的，并写出点的对应点的坐标；
    在图中画出绕点按顺时针旋转后的，并写出点的对应点的坐标．
20. 甲、乙两家超市以相同的单价出售同种消毒液，为了吸引顾客，他们推出了各自的优惠方案：
    甲超市：累计购买消毒液超出元后，超出部分按原价折优惠；
    乙超市：累计购买消毒液超出元后，超出部分按原价折优惠．
    某顾客预计购买消毒液的原价为元．
    请用含的代数式分别表示该顾客在两家超市购买消毒液应付的费用；直接写出即可
    你会推荐该顾客到哪家超市购买？请说明你的理由．
21. 请阅读下列材料，并完成相应的任务：
    探究发现：
    小明计算下面几个题目：
    ；；；后发现，形如的两个多项式相乘，计算结果具有一定的规律，请你帮助小明完善发现的规律：__________________．
    面积说明：
    上面规律是否正确呢？小明利用多项式乘法法则计算发现这个规律是正确的，小明记得学习乘法公式时，除利用多项式乘法法则可以证明公式外，还可以利用图形面积说明乘法公式，于是画出如图，说明他发现的规律．
    
    逆用规律：
    学过因式分解后，小明知道了因式分解与整式乘法是逆变形，他就逆用发现的规律对下面因式分解的多项式进行了因式分解，请你用小明发现的规律分解下面因式：．
    拓展提升：
    现有足够多的正方形和矩形卡片如图，试画出一个用若干张号卡片、号卡片和号卡片拼成的矩形每两块纸片之间既不重复，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹，使该矩形的面积为并利用你所画的图形面积对进行因式分解．
22. 如图，和都是等腰直角三角形，，联结，．
    求证：；
    联结，若，，，求的长；
    如图，当点恰好落在边上时，，，三者的数量关系是______．

23. 综合与实践：
    问题情境：
    在数学综合与实践课上，张老师启示大家利用直线、线段以及点的运动变换进行探究活动．变换条件如下：如图，直线，，两两相交于，，三点，得知是等边三角形，点是直线上一动点点不与点，重合，点在直线上，连接，，使．
    独立思考：
    张老师首先提出了这样一个问题：如图，当是线段的中点时，确定线段与的数量关系，请你直接写出结论： ______填“”“”或“”．
    提出问题：
    “奋斗”小组受此问题的启发，提出问题：若点是线段上的任意一点，其他条件不变，中的结论是否成立？该小组认为结论仍然成立，理由如下：如图，过点作，交于点请你补充完整证明过程
    拓展延伸：
    “缜密”小组提出的问题是：动点的运动位置如图，图所示，其他条件不变，根据题意补全图形，并判断线段与的数量关系是否发生变化？请你选择其中一种予以证明．
    “爱心”小组提出的问题是：若等边的边长为，，则的长为______请你直接写出结果

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：选项B、、都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

2.【答案】

【解析】解：、，
，故本选项不合题意；
B、，
，故本选项不合题意；
C、，
，故本选项不合题意；
D、，
，故本选项符合题意；
故选：．
根据不等式的性质，逐项判断即可．
此题主要考查了不等式的基本性质：不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变；不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
 

3.【答案】

【解析】解：当为腰时，，故此种情况不存在；
当为腰时，符合题意．
故此三角形的周长．
故选：．
由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．
本题考查的是等腰三角形的性质和三角形三边关系，解答此题时注意分类讨论，不要漏解．
 

4.【答案】

【解析】解：仓库到村庄、、的距离相等，
仓库应选在三条角平分线的交点．
故选：．
根据角平分线的性质进行判断．
本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为：也考查了角平分线的性质．
 

5.【答案】

【解析】解：原式是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B.原式右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C.原式不符合因式分解的定义，不是因式分解，故本选项符合题意；
D.原式符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项符合题意；
故选：．
根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写成几个整式积的形式，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题主要考查了因式分解的定义，因式分解与整式的乘法是互为逆运算，要注意区分．
 

6.【答案】

【解析】解：由可知，两条直角边分别相等的两个直角三角形全等，故A正确，不符合题意；
不能由判定三角形全等，故B不正确，符合题意；
由可得，斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，故C正确，不符合题意；
由可知，斜边和一个锐角分别相等的两个直角三角形全等，故D正确，不符合题意；
故选：．
根据三角形全等判定定理逐项判断，即可得到答案．
本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理．
 

7.【答案】

【解析】解：不等式组整理得：，
不等式组的解集为，
则不等式组的整数解为，，．
故选：．
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而确定出整数解即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 

8.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质；正确作出辅助线是解答本题的关键。此类题要通过作辅助线来沟通各角之间的关系，证明 为等边三角形即可。
连接 ， ，由垂直平分线的性质得到 ， ，再通过等腰三角形的性质得到 ，进而得到 是等边三角形，再通过线段间的关系转化，得到 ，即可解答。
【解答】
解：连接 ， ，

的垂直平分线交 于 ，交 于 ， 的垂直平分线交 于 ，交 于 ，
，
，
，


，

是等边三角形，

，




故选 C 。   

9.【答案】

【解析】解：设打折销售，每件利润不少于元，根据题意可得：
，
解得：，
答：最多打折销售．
故选：．
利用每件利润不少于元，相应的关系式为：利润进价，把相关数值代入即可求解．
此题主要考查了一元一次不等式的应用，本题的关键是得到利润的关系式，注意“不少于”用数学符号表示为“”．
 

10.【答案】

【解析】解：，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点重合，
，，
是等边三角形，
，，
，
平移的距离和旋转角的度数分别为：，．
故选：．
利用旋转和平移的性质得出，，，进而得出是等边三角形，即可得出以及的度数．
此题主要考查了平移和旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，得出是等边三角形是解题关键．
 

11.【答案】

【解析】解：，，
．
故答案为：．
首先提公因式，再代入计算即可．
此题主要考查了因式分解的应用，关键是掌握确定公因式的方法．
 

12.【答案】

【解析】解：与的和为，“不小于”用数学符号表示为“”，
可列不等式为：，
故答案为：．
关系式为：与的和，把相关数值代入即可．
考查列一元一次不等式的问题，易错点是理解“不小于”用数学符号表示应为“”．
 

13.【答案】

【解析】解：由平移的性质可得，个小直角三角形较长的直角边平移后等于边，较短的直角边平移后等于边，斜边之和等于边长，
个小直角三角形的周长之和的周长，
直角三角形的周长为，
这个小直角三角形的周长之和．
故答案为：．
小直角三角形与平行的边的和等于，与平行的边的和等于，则小直角三角形的周长等于直角的周长，据此即可求解．
本题主要考查了平移和矩形的性质，正确理解小直角三角形的周长等于直角的周长是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：根据题意，可得不等式的解集：，
故答案为：．
根据图象即可确定解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数图象是解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】

【分析】
根据等边三角形的性质得到 ， ，根据直角三角形的性质得到 ， ，根据折叠的性质得到 ， ，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了翻折变换 折叠问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．
【解答】

解： 是等边三角形，
， ，
，
，
，
， ，
把等边 沿着 折叠，使点 恰好落在 边上的点 处，
， ，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．   

16.【答案】解：


；
，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
在数轴上表示不等式组的解集如图所示：
 

【解析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解，即可解答；
按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

17.【答案】  去分母时不等式左边第二项没有乘  不等式的基本性质

【解析】解：任务：
解不等式时，从步开始出现错误的，具体原因是去分母时不等式左边第二项没有乘；
由原不等式化为第步的依据是不等式的基本性质；
故答案为：，去分母时不等式左边第二项没有乘；不等式的基本性质；
任务：
正确解题过程为：
去分母得：，
移项得：，
合并得：，
解得：；
任务：
建议：不等式左右两边乘同一个负数时，不等号方向要改变．
任务：观察解不等式的步骤，找出出错的步骤，分析其原因即可；
写出不等式第步的依据即可；
任务：写出不等式正确解答过程即可；
任务：写出一条建议，符合题意即可．
此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．
 

18.【答案】证明：如图，连接．

，点是边上的中点，
平分，
、分别垂直、于点和．
．

【解析】本题考查的是等腰三角形的性质，角平分线的性质的有关知识，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键，连接，是的中点，那么就是等腰三角形底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的特性，可知道也是的角平分线，根据角平分线的点到角两边的距离相等，那么．
 

19.【答案】解：如图，为所作，点的坐标为；
如图，为所作，点的坐标为；
 

【解析】利用点平移的坐标变换规律得到、、的坐标，然后描点即可；
利用网格特点和旋转的性质画出、的对应点即可；
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
 

20.【答案】解：在甲超市购买消毒液应付的费用为元，
在乙超市购买消毒液应付的费用为元；
当时，
解得，
购买消毒液原价为元时到两家超市费用相同；
当时，
解得，
购买消毒液原价小于元时到乙超市费用较少；
当时，
解得，
购买消毒液原价大于元时到甲超市费用较少；
答：购买消毒液原价为元时到两家超市费用相同，购买消毒液原价小于元时到乙超市费用较少，购买消毒液原价大于元时到甲超市费用较少．

【解析】根据各自的优惠方案直接可得答案；
分三种情况列出方程或不等式，即可解得答案．
本题考查列代数式及一元一次方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出一元一次方程，一元一次不等式．
 

21.【答案】   

【解析】解：规律为：．
故答案为：，，；
按照小明发现的规律：，
，
；
如图所示：

．
利用多项式乘多项式的法则相乘即可得到结论．
观察运算结果发现，一次项系数是两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积，即可得到答案．
画出图形，即可得出答案，根据图形和矩形面积公式求出即可．
本题主要考查了因式分解的应用，通过运算能总结出规律是解题关键．
 

22.【答案】

【解析】证明：，
，
即，
和都是等腰直角三角形，
，，
≌，
；
解：如图，由可知，，
是等腰直角三角形，，
，，
，
，
，
；
解：，理由如下：
如图，连接，
，
，
即，
和都是等腰直角三角形，，
，，，
≌，
，，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
由“”证明≌，即可得到；
由可知，，再由等腰直角三角形的性质和勾股定理得得，，则，然后由勾股定理得，即可得出结论；
连接，由“”证≌，得，，则，再由勾股定理得，然后由等腰直角三角形的性质和勾股定理得，即可得出结论．
本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、图形的旋转、勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
 

23.【答案】  或

【解析】解：是等边三角形，点为的中点，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：；
仍然成立，过点作，交于点，
，
是等边三角形，，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
；
，如图，过点作，交延长线于点，

，
是等边三角形，，
，
，
，
，
≌，
，
，
；
当点在上时，如图，
由知，
，
当点在的延长线上时，如图，
则，
故答案为：或．
利用等腰三角形的性质可知，从而得出答案；
过点作，交于点，得是等边三角形，再利用证明≌，即可证明结论；
由同理可证明结论；
分点在边或的延长线上两种情形，分别根据，可得答案．
本题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，作平行线构造等边三角形和全等三角形是解题的关键．