数学人教B版 (2019)第一章　空间向量与立体几何1.2 空间向量在立体几何中的应用1.2.2 空间中的平面与空间向量导学案

空间中的平面与空间向量

【学习目标】

1．通过本节知识的学习，培养数学抽象素养．

2．借助向量法证明有关平行与垂直问题，提升逻辑推理、数学运算素养．

【学习重难点】

1．理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量．（重点）

2．会用平面的法向量证明平行与垂直．（重点）

3．理解并会应用三垂线定理及其逆定理证明有关垂直问题．（难点）

【学习过程】

一、新知初探

1．平面的法向量

（1）如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量，此时也称n与平面α垂直，记作n⊥α．

（2）平面的法向量的性质

①如果直线l垂直于平面α，则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量．

②如果n是平面α的一个法向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λn也是平面α的一个法向量，且平面α的任意两个法向量都平行．

③如果n为平面α的一个法向量，A为平面α上一个已知的点，则对于平面α上任意一点B，向量一定与向量n垂直，即n·＝0，从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定．

（3）如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则n∥v⇔l⊥α，n⊥v⇔l∥α，或l⊂α．

（4）如果n1是平面α1的一个法向量，n2是平面α2的一个法向量，则n1⊥n2⇔α1⊥α2，n1∥n2⇔α1∥α2或α1与α2重合．

2．三垂线定理及其逆定理

（1）三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直．

（2）三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．

二、初试身手

1．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）已知直线l垂直于平面α，向量a与直线l平行，则a是平面α的一个法向量．（    ）

（2）若直线l是平面α外的一条直线，直线m垂直于l在平面α内的投影，则l与m垂直．（    ）

（3）一个平面的法向量有无数多个，任意两个都是共线向量．（    ）

2．若直线l的方向向量为a＝（1,0,2），平面α的法向量为u＝（－2,0，－4），则（    ）

A．l∥α B．l⊥α

C．l⊂α D．l与α斜交

3．平面α的一个法向量为（1,2,0），平面β的一个法向量为（2，－1,0），则平面α与平面β的位置关系为（    ）

A．平行 B．相交但不垂直

C．垂直 D．不能确定

4．设平面α的法向量的坐标为（1,2，－2），平面β的法向量的坐标为（－2，－4，k），若α∥β，则k等于________．

三、合作探究

类型1：求平面的法向量

【例1】如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量．

类型2：利用法向量证明空间中的位置关系

【例2】如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，M分别为棱BB1，CD，AA1的中点．证明：

（1）C1M∥平面ADE；

（2）平面ADE⊥平面A1D1F．

类型3：三垂线定理及逆定理的应用

【例3】如图，已知在正方体ABCD­A1B1C1D1中，连接BD1，AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1C．

【学习小结】

1．三垂线定理以及逆定理是证明线线垂直、线面垂直的有力工具，应用时要分清定理和逆定理的关系

线射垂直线斜垂直

2．利用向量法来解决有关直线与平面、平面与平面的关系问题，不必考虑图形的位置关系，只需通过向量运算，就可得到证明的结果．

【精炼反馈】

1．若直线l的方向向量a＝（1,2，－1），平面α的一个法向量m＝（－2，－4，k），若l⊥α，则实数k＝（    ）

A．2

B．－10

C．－2

D．10

2．已知平面α的法向量为a＝（1,2，－2），平面β的法向量为b＝（－2，－4，k），若α⊥β，则k＝（    ）

A．4

B．－4

C．5

D．－5

3．若两个向量＝（1,2,3），＝（3,2,1），则平面ABC的一个法向量为（    ）

A．（－1,2，－1） B．（1,2,1）

C．（1,2，－1） D．（－1,2,1）

4．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量u＝（1，－3，z），向量v＝（3，－2,1）与平面α平行，则z＝________．

5．如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，AA1＝，M是CC1中点，求证：AB1⊥A1M．