人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.5 空间中的距离导学案

空间中的距离

【学习目标】

1．通过学习空间距离的求解，提升逻辑推理、数学运算素养．

【学习重难点】

1．掌握向量长度计算公式．（重点）

2．会用向量方法求两点间的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离和面到面的距离．（重点、难点）

【学习过程】

一、新知初探

1．空间中两点之间的距离

空间中两点之间的距离指的是这两个点连线的线段长．

2．点到直线的距离

给定空间中一条直线l及l外一点A，因为l与A能确定一个平面，所以过A可以作直线l的一条垂线段，垂线段的长称为点A到直线l的距离．

3．点到平面的距离

（1）给定空间中一个平面α及α外一点A，过A可以作平面α的一条垂线段，垂线段的长称为点A到平面α的距离．

（2）一般地，若A是平面α外一点，B是平面α内一点，n是平面α的一个法向量，则点A到平面α的距离为d＝．

4．相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离

（1）当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离，如果直线l与平面α平行，n是平面α的一个法向量，A、B分别是l上和α内的点，则直线l与平面α之间的距离为d＝．

（2）当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离．

如果平面α与平面β平行，n是平面β的一个法向量，A和B分别是平面α和平面β内的点，则平面α和平面β之间的距离为d＝．

二、初试身手

1．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）可以用，求空间两点A、B的距离．（    ）

（2）设n是平面α的法向量，A是平面α内一点，AB是平面α的一条斜线，则点B到α的距离为d＝．（    ）

（3）若直线l与平面α平行，直线l上任意一点与平面α内任意一点的距离就是直线l与平面α的距离．（    ）

2．设A（3,3,1），B（1,0,5），C（0,1,0），则AB的中点M到点C的距离|CM|等于（    ）

A． B．

C． D．

3．在四面体P­ABC中，PA，PB，PC两两垂直，M是平面ABC内一点，且点M到其他三个平面的距离分别是2,3,6，则点M到顶点P的距离是（    ）

A．7

B．8

C．9

D．10

4．已知平面α的一个法向量n＝（1,0,1），点A（－1,1,0）在α内，则平面外点P（－1,1,1）到平面α的距离为________．

三、合作探究

类型1：空间两点间的距离

【例1】如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD，ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a（0<a<）．

（1）求MN的长；

（2）a为何值时，MN的长最小？

类型2：点到直线的距离

【例2】已知直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离．

类型3：点到平面的距离

【例3】如图所示，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，求点A到平面A1BD的距离．

类型4：线面平行、平行平面间的距离

【例4】如图，矩形ADFE和梯形ABCD所在平面互相垂直，AB∥CD，∠ABC＝∠ADB＝90°，CD＝1，BC＝2，DF＝1．

（1）求证：BE∥平面DCF；

（2）求点B到平面DCF的距离．

【学习小结】

1．空间中各种距离一般都可以转化为点点距、点线距、点面距，其中点点距、点线距最终都可用空间向量的模来求解，而点面距则可由平面的法向量来求解．

2．要熟练地掌握平面法向量的求法，其基本方法是待定系数法，还要学会单位法向量的求法．

【精炼反馈】

1．已知平面α的一个法向量n＝（－2，－2,1），点A（－1,3,0）在α内，则P（－2,1,4）到α的距离为（    ）

A．10 B．3

C． D．

2．已知平面α的一个法向量n＝（－2，－2,1），点A（x,3,0）在平面α内，则点P（－2,1,4）到平面α的距离为，则x＝（    ）

A．－1 B．－11

C．－1或－11 D．－21

3．若正四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为（    ）

A．

B．1

C．

D．

4．在Rt△ABC中，∠C＝30°，∠B＝90°．D是BC边的中点，AC＝2，DE⊥平面ABC，DE＝1，则点E到斜边AC的距离是________．

5．三棱柱A1B1C1­ABC是各条棱长均为a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点．

（1）求证：平面AB1D⊥平面ABB1A1；

（2）求点C到平面AB1D的距离．