湖北省孝感市安陆市2021-2022学年八年级（下）期中数学试卷（含解析）

湖北省孝感市安陆市2021-2022学年八年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共8小题，共24分）

1. 下列二次根式中，为最简二次根式的是

A.  B.  C.  D.

2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3. 在▱中，如果，那么等于

A.  B.  C.  D.

4. 若顺次连接四边形各边的中点所得四边形是菱形，则四边形一定是

A. 菱形 B. 对角线互相垂直的四边形
C. 矩形 D. 对角线相等的四边形

5. 下列命题是真命题的是

A. 对角线相等的四边形是平行四边形
B. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形

6. 如图，正方形的对角线，交于点，是边上一点，连接，过点作，交于点若四边形的面积是，则的长为

A.
B.
C.
D.

7. 如图，在菱形中，，点，分别在边，上，，的周长为，则的长为

A.  B.  C.  D.

8. 如图，是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形较长的直角边为，较短的直角边为，那么的值为
    

1.  B.  C.  D. 无答案

二．填空题（本题共8小题，共24分）

9. 化简的结果是______．
10. 已知是整数，写出一个自然数______．
11. 如图，在四边形中，，，，则的度数为______．
    
    
    
     

12. 如图，在中，，，，分别以点，为圆心，，长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为______．

13. 如图，在▱中，对角线，交于点，，于点，若，，则的长为______ ．

14. 如图，在中，，，，点是平面内一个动点，且，为的中点，在点运动过程中，设线段的长度为，则的取值范围是______ ．
15. 观察下列各式：
    当时，，
    当时，，
    当时，，
    
    根据以上规律，写出当时的等式是______．
16. 如图，在正方形外取一点，连接，，，过点作的垂线交于点，若，下列结论：≌；；点到直线的距离为；，其中正确结论的序号为______ ．

三．计算题（本题共2小题，共14分）

17. 计算：
    ；
     
18. 如图，矩形的两条对角线相交于点，，，求矩形对角线的长．
    
     

四．解答题（本题共6小题，共58分）

19. 已知：，求代数式的值．
20. 如图，平行四边形的对角线、相交于点，、分别是、的中点，求证：．

21. 如图，在的正方形网格中，网格线的交点称为格点，点，在格点上，每一个小正方形的边长为．
    以为边画菱形，使菱形的其余两个顶点都在格点上画出一个即可．
    计算你所画菱形的面积．
     

22. 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图或图摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图证明勾股定理的过程：
    将两个全等的直角三角形按图所示摆放，其中，求证：
    证明：连结，过点作边上的高，则
    ．
    又
    
    
    请参照上述证法，利用图完成下面的证明．
    将两个全等的直角三角形按图所示摆放，其中求证：．

23. 如图，在正方形中，是边上的一动点，点在边的延长线上，且，连接、．
    
    求证：；
    连接，取中点，连接并延长交于，连接．
    依题意，补全图形；
    求证：；
    若，用等式表示线段、与之间的数量关系，并证明．

据我国古代周髀算经记载，公元前年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五后人概括为“勾三，股四，弦五”．
观察：，，；，，；，，；，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从起就没有间断过计算、与、，并根据你发现的规律，分别写出能表示，，的股和弦的算式；
根据的规律，用为奇数且的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明；
继续观察，，；，，；，，；，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从起也没有间断过运用类似上述探索的方法，直接用为偶数且的代数式来表示他们的股和弦．
答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、是最简二次根式，故D符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义，即可判断．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：，故选项A中的三条线段不能构成直角三角形，故选项A不符合题意；
，故选项B中的三条线段不能构成直角三角形，故选项B不符合题意；
，故选项C中的三条线段不能构成直角三角形，故选项C不符合题意；
，故选项D中的三条线段能构成直角三角形，故选项D符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的三条线段能否构成直角三角形，从而可以解答本题．
本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
 

3.【答案】

【解析】解：如图，四边形是平行四边形，
，
，
，
，
故选D．
根据“平行四边形的对角相等”的性质推知，则易求．
本题考查的是平行四边形的性质．本题利用了平行四边形对角相等的性质求得的度数．
 

4.【答案】

【解析】解：，，，分别是边，，，的中点，
，，，，，，，，
，，
四边形是平行四边形，
假设，
，，
则，
平行四边形是菱形，
即只有具备即可推出四边形是菱形，
故选：．
根据三角形的中位线定理得到，，，要使四边形为菱形，得出，即可得到答案．
本题主要考查对菱形的判定，三角形的中位线定理，平行四边形的判定等知识点的理解和掌握，灵活运用性质进行推理是解此题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：、对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的四边形也可能是等腰梯形等四边形，故A不符合题意；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，若对角线再相等，则四边形是矩形，故B符合题意；
C、对角线互相垂直的四边形不能判定是平行四边形，也就不能判定是菱形，故C不符合题意；
D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，不能判断它的内角有直角，故D不符合题意；
故选：．
根据平行四边形及特殊平行四边形的判定，逐个判断即可．
本题考查平行四边形、特殊平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理．
 

6.【答案】

【解析】解：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
四边形的面积是，四边形的面积的面积的面积，
四边形的面积的面积的面积的面积，
的面积是，
正方形的面积是，
，
，
故选：．
根据正方形的性质，可以得到≌，然后即可发现四边形的面积等于的面积，从而可以求得正方形的面积，从而可以求得的长．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是发现四边形的面积等于的面积，利用数形结合的思想解答．
 

7.【答案】

【解析】解：如图，连接，作，垂足为，
四边形是菱形，
，，
，
是等边三角形，，
，，
，
，
≌，
，，
，
是等边三角形，
的周长是，
，
设，则，
，，
，
，，
在中，，
，
解得：负值舍去，
，
故选：．
连接，作，垂足为，先证明是等边三角形，再根据证明≌，得到是等边三角形，根据周长求出边长，设，则，，在中，根据勾股定理列方程求出，进而得到的值．
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是构造直角三角形，根据勾股定理求出．
 

8.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查勾股定理、完全平方公式等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．根据勾股定理，知两条直角边的平方和等于斜边的平方，此题中斜边的平方即为大正方形的面积 ， 即四个直角三角形的面积和，从而不难求得 ．
【解答】
解： 大正方形的面积 四个直角三角形的面积和 ．
故选 B ．   

9.【答案】

【解析】解：．
根据二次根式的性质解答．
解答此题，要弄清二次根式的性质：的运用．
 

10.【答案】答案不唯一

【解析】解：当时，原式，是整数，
故答案为：答案不唯一．
直接根据算术平方根的概念可得答案．
此题考查的是算术平方根，掌握其概念是解决此题关键．
 

11.【答案】

【解析】解：连接，
，，
，，
，，
，
是直角三角形，，
，
即的度数是．
故答案为：．
根据，，可以得到的度数，再根据勾股定理，可以求得的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断的形状，从而可以求得的度数．
本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

12.【答案】

【解析】解：连接，，
由已知可得：，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，，
，，，
，
，
，
故答案为：．
根据矩形的判定可以得到四边形是矩形，即可得到，然后根据勾股定理可以得到的长，即可得到的长．
本题考查勾股定理、矩形的判定与性质，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：如图，
，，，
，
在▱中，，，
，
在中，
，
又，
，即，
解得．
故答案为：．
在和中，分别利用勾股定理可求出和的长，又，可利用等面积法求出的长．
本题主要考查平行四边形的性质，勾股定理，等面积思想等，熟知等面积法是解题关键．
 

14.【答案】

【解析】解：如图，取的中点，连接，，

在中，，，，
，
点是的中点，
，
点是的中点，点是的中点，
是的中位线，
，
在中，，
，
点，点是定点，点是动点，且点以点为圆心，长为半径的圆上运动，
当点，，三点共线，且点在线段上时，取得最小值，
当点，，三点共线，且点在射线上时，取得最大值，
综上，的取值范围为：．
故答案为：．
取的中点，连接，，分析可知，点，点是定点，点是动点，且点以点为圆心，长为半径的圆上运动，且当点，，三点共线，且点在线段上时，取得最小值，当点，，三点共线，且点在射线上时，取得最大值，可得结论．
本题主要考查勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半，中位线定理，三角形三边关系等内容，分析清楚点的运动是本题解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：类比上述式子可得：，
即，
故答案为：．
利用题目中反映的数字的规律即可得出．
本题主要考查了算术平方根，数字变化的规律，利用类比的方法解答是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：，
．
，
在正方形中，，，
．
在和中，
，
≌，
故正确；
≌，
，
又，，
．
即，故正确；
过点作的延长线于点，如图，
，，
．
又，
．
，
．
，
，
即点到直线的距离为，故错误；
，，
在中，，
，
故正确．
综上所述，正确结论的序号为，
故答案为：．
利用同角的余角相等，易得，再结合已知条件用可证明两三角形全等；利用中的全等，可得，再结合三角形外角性质可证；过点作的延长线于点，利用勾股定理可求，利用为等腰直角三角形，可证为等腰直角三角形，再利用勾股定理可求，；在中，利用勾股定理可求，即是正方形的面积．
本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，正方形面积的计算，勾股定理等知识，综合性比较强，得出≌，进而结合全等三角形的性质分析是解题关键．
 

17.【答案】解：原式
；
原式
．

【解析】先化简各数，算零指数幂，去绝对值，再合并即可；
先用完全平方公式，平方差公式展开，再合并即可．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式混合运算的相关法则．
 

18.【答案】解：矩形，
，，，
，
，
是等边三角形，
，
，
答：矩形对角线的长是．

【解析】根据矩形的性质求出，得到等边三角形，求出，即可求出答案．
本题主要考查对等边三角形的性质和判定，矩形的性质等知识点的理解和掌握，能求出是解此题的关键．
 

19.【答案】解：当，


．

【解析】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式运算法则是解题的关键．
把的值代入多项式进行计算即可．
 

20.【答案】证明：连接、，如图所示：
四边形是平行四边形
，
、分别是、的中点
，

四边形是平行四边形
．

【解析】根据平行四边形的性质对角线互相平分得出，，利用中点的意义得出，从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定是平行四边形，从而得出．
本题考查了平行四边形的基本性质和判定定理的运用．性质：平行四边形两组对边分别平行；平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形的两组对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分．判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
 

21.【答案】解：如下图所示：

四边形即为所画菱形，答案不唯一，画出一个即可．
图菱形面积，
图菱形面积，
图菱形面积．

【解析】先以为边画出一个等腰三角形，再作对称即可；
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可求得．
本题主要考查菱形的性质，由对称性得到菱形是解题的关键．
 

22.【答案】证明：连结，过点作边上的高，则，

，
又，
，
．

【解析】此题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出五边形的面积是解本题的关键．
首先连结，过点作边上的高，则，表示出，两者相等，整理即可得证．
 

23.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，
在和中，

≌，
，
，
，
即，
；
解：依题意，补全图形如图所示：
证明：由可知，和都是直角三角形，
是的中点，
，，
；
解：，证明如下：
由可知，≌，，
，
是等腰直角三角形，
，
为的中点，
，，，
，，，，
，
，
，
，
，
又，，
在和中

≌，
，
在中，由勾股定理得：，
，，
，
．

【解析】证≌，得，再证，即可得出结论；
依题意，补全图形即可；
由直角三角形斜边上的中线性质得，，即可得出结论；
先证是等腰直角三角形，得，再证，，，得，，，然后证≌，得，再由勾股定理即可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
 

24.【答案】解：，；，；
，，的股的算式为
弦的算式为；分

当为奇数且，勾、股、弦的代数式分别为：，，分
例如关系式：弦股；关系式：勾股弦分
证明关系式：弦股
或证明关系式：勾股弦猜想得证；分

例如探索得，当为偶数且时，股、弦的代数式分别为：，分
另加分问题，
例如：连接两组勾股数中，上一组的勾、股与下一组的勾的和等于下一组的股．
即上一组为：，，为奇数且，
分别记为：、、，
下一组为：，，为奇数且，
分别记为：、、，
则：．
或证略等等．

【解析】根据所提供的例子发现股是勾的平方减去的二分之一，弦是勾的平方加的二分之一；
股是勾的平方减去的四分之一，弦是勾的平方加的四分之一．
注意由具体例子观察发现规律，证明的时候熟练运用完全平方公式．