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    2021-2022学年湖南省长沙市长郡中学高一下学期期中考试数学试卷含答案

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    这是一份2021-2022学年湖南省长沙市长郡中学高一下学期期中考试数学试卷含答案,共10页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

     

    长郡中学2021—2022学年度高一第二学期期中考试

    数学

    时量:120分钟  满分:100

    得分_____________

    一、选择题(共8道小题,每小题3分,共24.在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)

    1.已知平面向量,则

    A.-2   B.-8   C.6   D.4

    2.复数满足i为虚数单位),则的共轭复数的虚部为

    A.5i.   B.5   C.-i   D.-1

    3.已知,则

    A.2   B.   C.1   D.

    4.如图为正八边形,其中为正八边形的中心,则

    A.   B.   C.   D.

    5.为平面,点,则下列结论正确的是

    A.过点有且只有一条直线与平行   B.过点没有直线与平行

    C.过点有且只有一个平面与平行   D.过点有无数个平面与平行

    6.中,.

    A.   B.   C.   D.

    7.若复数在复平面内所对应的点位于第四象限,则实数的取值范围是

    A.   B.   C.   D.

    8.如图,在正四棱台中,,若半径为的球与该正四棱台的各个面均相切,该球的表面积

    A.   B.   C.   D.

    二、选择题(共4小题,每小题4分,共16.在每小题给出的选项中,有多项符合要求.全部选对的得4分,部分选对的得2分,有选错的得0.

    9.已知复数,则下列结论正确的是

    A.,则   B.,则

    C.      D.,则

    10.为两个平面,则的充分条件可以是

    A.内的所有直线都与平行   B.内有三条直线与平行

    C.平行于同一条直线   D.都平行于同一平面

    11.青花瓷(blue  and  white  porcelain),又称白地青花瓷,常简称青花,是中国瓷器的主流品种之一,属釉下彩瓷.原始青花瓷于唐宋已见端倪,成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘,已知图二中正六边形的边长为2,圆的圆心为正六边形的中心,半径为1,若点在正六边形的边上运动,动点在圆上运动且关于圆心对称,则的取值可以是

    A.   B.2   C.   D.3

    12.如图,正方体中,点EFGHI分别为棱ABCDBCAD的中点,则下列结论正确的是

    A.   B.

    C.平面  D.平面

    三、填空题(共4道小题,每小题3分,共12分)

    13.中,,则__________.

    14.长方体的外接球的表面积为,则长方体的体积为__________.

    15.已知平行四边形中,,点为边的中点,则的值为__________.

    16.如图,正四面体的体积为EFGH分别是棱ADBDBCAC的中点,则_________,多面体的外接球的体积为__________.(注:第11分,第22分)

    四、解答题(本题共6小题,共48分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

    17.(本小题满分8分)

    如图,四边形中,为锐角.

    1)求

    2)求四边形的面积.

    18.(本小题满分8分)

    已知向量满足.

    1)求的夹角;

    2)若,求的值.

    19.(本小题满分8分)

    已知复数,满足.

    1)求

    2)求.

    20.(本小题满分8分)

    如图,在三棱柱中,点是棱的中点,分别是CPAC的中点.

    1)求证:平面

    2)求证:平面平面.

    21.(本小题满分8分)

    1)如图,不共线,是直线上的动点,证明:存在实数,使得,并且.

    2)用向量法证明下列结论:三角形的三条中线交于一点.

    22.(本小题满分8分)

    如图,圆锥的顶点为P,底面圆心为O,点BCD在底面圆周上,M为线段OD上一点,APC的中点.

    1)证明:平面POB

    2)求四棱锥的体积.


    长郡中学2021—2022学年度高一第二学期期中考试

    数学参考答案

    一、选择题(共8道小题,每小题3分,共24.在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)

    题号

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    答案

    B

    D

    B

    A

    C

    D

    D

    C

    二、选择题(共4小题,每小题4分,共16.在每小题给出的选项中,有多项符合要求.全部选对的得4分,部分选对的得2分,有选错的得0.

    题号

    9

    10

    11

    12

    答案

    ABC

    AD

    BCD

    ACD

    三、填空题(共4道小题,每小题3分,共12分)

    13.

    14.

    15.9

    16.1

    四、解答题(本题共6小题,共48分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

    17.【解析】(1)连接,因为为锐角,所以

    中,由余弦定理得,

    所以.

    2)在中,因为

    所以为直角三角形,

    的面积为

    的面积为

    所以四边形的面积.

    18.【解析】(1

    .

    的夹角为.

    2

    解得.

    19.【解析】(1)因为复数

    又因为,所以

    解得

    所以.

    2

    .

    20.【解析】(1)证明:如图,连接AP

    中,RQ分别是ACPC的中点,.

    平面平面

    (注:表示直线的两个字母都包含在表示平面的几个字母之中,则可以不书写直线在平面内,否则必须书写.但直线不在平面内必须书写,不书写该步骤不给分.

    平面.

    2)如图,在EP分别是的中点,

    .

    平面平面(注:此处平面可以不书写),

    平面.

    在平行四边形中,分别是的中点,

    .

    平面平面

    平面.

    平面平面.

    21.【解析】(1)因为是直线上的动点,

    所以不妨设为实数),

    则有,并且.

    所以存在实数,使得,并且.

    2)如图,中,DEF分别是边BCCAAB的中点,

    求证:ADBECF交于一点.

    (注:此处对定理的已知和求证必须说明(符号化),不书写该步骤不给分.

    证明:不妨设BECF交于一点G,连接AG

    因为DEF分别是边BCCAAB的中点,

    所以

    根据(1)的结论得,

    中,为实数.

    中,为实数.

    所以  解得

    所以

    AGD三点共线,

    所以ADBECF交于一点.

    22.【解析】(1)如图,由已知得.

    BP的中点T,连接OTTA

    APC中点知.

    ,故,四边形为平行四边形,所以.

    因为平面平面

    所以平面.

    2)因为APC的中点,所以A到平面OBCM的距离为.

    BC的中点E,连接OEOC.

    .

    得四边形为梯形,

    .

    所以四棱锥的体积.

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