2021-2022学年湖南省长沙市长郡中学高一下学期期中考试数学试卷含答案
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长郡中学2021—2022学年度高一第二学期期中考试
数学
时量:120分钟 满分:100分
得分_____________
一、选择题(共8道小题,每小题3分,共24分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1.已知平面向量,,,则
A.-2 B.-8 C.6 D.4
2.复数满足(i为虚数单位),则的共轭复数的虚部为
A.5i. B.5 C.-i D.-1
3.已知,,,则
A.2 B. C.1 D.
4.如图为正八边形,其中为正八边形的中心,则
A. B. C. D.
5.设为平面,点,则下列结论正确的是
A.过点有且只有一条直线与平行 B.过点没有直线与平行
C.过点有且只有一个平面与平行 D.过点有无数个平面与平行
6.在中,,,.则
A. B. C. D.
7.若复数在复平面内所对应的点位于第四象限,则实数的取值范围是
A. B. C. D.
8.如图,在正四棱台中,,,若半径为的球与该正四棱台的各个面均相切,该球的表面积
A. B. C. D.
二、选择题(共4小题,每小题4分,共16分.在每小题给出的选项中,有多项符合要求.全部选对的得4分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)
9.已知复数,,则下列结论正确的是
A.若,则 B.若,则
C. D.若,则
10.设,为两个平面,则的充分条件可以是
A.内的所有直线都与平行 B.内有三条直线与平行
C.和平行于同一条直线 D.和都平行于同一平面
11.青花瓷(blue and white porcelain),又称白地青花瓷,常简称青花,是中国瓷器的主流品种之一,属釉下彩瓷.原始青花瓷于唐宋已见端倪,成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘,已知图二中正六边形的边长为2,圆的圆心为正六边形的中心,半径为1,若点在正六边形的边上运动,动点,在圆上运动且关于圆心对称,则的取值可以是
A. B.2 C. D.3
12.如图,正方体中,点E,F,G,H,I分别为棱AB,CD,BC,,AD的中点,则下列结论正确的是
A. B.
C.平面 D.平面
三、填空题(共4道小题,每小题3分,共12分)
13.在中,,,,则__________.
14.长方体的外接球的表面积为,,,则长方体的体积为__________.
15.已知平行四边形中,,点为边的中点,则的值为__________.
16.如图,正四面体的体积为,E、F、G、H分别是棱AD、BD、BC、AC的中点,则_________,多面体的外接球的体积为__________.(注:第1空1分,第2空2分)
四、解答题(本题共6小题,共48分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分8分)
如图,四边形中,,,,,,为锐角.
(1)求;
(2)求四边形的面积.
18.(本小题满分8分)
已知向量,满足,,.
(1)求与的夹角;
(2)若,求的值.
19.(本小题满分8分)
已知复数,满足.
(1)求;
(2)求.
20.(本小题满分8分)
如图,在三棱柱中,点是棱的中点,,,分别是CP,AC,的中点.
(1)求证:平面;
(2)求证:平面平面.
21.(本小题满分8分)
(1)如图,,不共线,是直线上的动点,证明:存在实数,,使得,并且.
(2)用向量法证明下列结论:三角形的三条中线交于一点.
22.(本小题满分8分)
如图,圆锥的顶点为P,底面圆心为O,点B、C、D在底面圆周上,,,,M为线段OD上一点,,A为PC的中点.
(1)证明:平面POB;
(2)求四棱锥的体积.
长郡中学2021—2022学年度高一第二学期期中考试
数学参考答案
一、选择题(共8道小题,每小题3分,共24分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
答案 | B | D | B | A | C | D | D | C |
二、选择题(共4小题,每小题4分,共16分.在每小题给出的选项中,有多项符合要求.全部选对的得4分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)
题号 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | ABC | AD | BCD | ACD |
三、填空题(共4道小题,每小题3分,共12分)
13.
14.
15.9
16.1,
四、解答题(本题共6小题,共48分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.【解析】(1)连接,因为,为锐角,所以,
在中,由余弦定理得,,
所以.
(2)在中,因为,
所以为直角三角形,,
的面积为,
的面积为,
所以四边形的面积.
18.【解析】(1)∵,∴,
∴,∴.
∵,∴,
∴与的夹角为.
(2)∵,
∴,,,
解得.
19.【解析】(1)因为复数,
又因为,所以,
解得
所以.
(2)
.
20.【解析】(1)证明:如图,连接AP,
在中,∵R,Q分别是AC,PC的中点,∴.
又平面,平面,
(注:表示直线的两个字母都包含在表示平面的几个字母之中,则可以不书写直线在平面内,否则必须书写.但直线不在平面内必须书写,不书写该步骤不给分.)
∴平面.
(2)如图,在中,∵E,P分别是,的中点,
∴.
又平面,平面(注:此处“平面”可以不书写),
∴平面.
在平行四边形中,∵,分别是,的中点,
∴.
又平面,平面,
∴平面.
又,
∴平面平面.
21.【解析】(1)因为是直线上的动点,
所以不妨设(为实数),
则,,
令,,
则有,并且.
所以存在实数,,使得,并且.
(2)如图,中,D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点,
求证:AD、BE、CF交于一点.
(注:此处对定理的已知和求证必须说明(符号化),不书写该步骤不给分.)
证明:不妨设BE、CF交于一点G,连接AG,
因为D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点,
所以,,,
根据(1)的结论得,
在中,,,,为实数.
在中,,,,为实数.
所以 解得
所以,
即,,A、G、D三点共线,
所以AD、BE、CF交于一点.
22.【解析】(1)如图,由已知得.
取BP的中点T,连接OT,TA,
由A为PC中点知,.
又,故,四边形为平行四边形,所以.
因为平面,平面,
所以平面.
(2)因为A为PC的中点,所以A到平面OBCM的距离为.
取BC的中点E,连接OE,OC.
由得,.
由得四边形为梯形,
故.
所以四棱锥的体积.
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