2021-2022学年湖南省长沙市长郡中学高一下学期期中考试数学试卷含答案

长郡中学2021—2022学年度高一第二学期期中考试

数学

时量：120分钟  满分：100分

得分_____________

一、选择题（共8道小题，每小题3分，共24分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1.已知平面向量，，，则

A.-2   B.-8   C.6   D.4

2.复数满足（i为虚数单位），则的共轭复数的虚部为

A.5i.   B.5   C.-i   D.-1

3.已知，，，则

A.2   B.   C.1   D.

4.如图为正八边形，其中为正八边形的中心，则

A.   B.   C.   D.

5.设为平面，点，则下列结论正确的是

A.过点有且只有一条直线与平行   B.过点没有直线与平行

C.过点有且只有一个平面与平行   D.过点有无数个平面与平行

6.在中，，，.则

A.   B.   C.   D.

7.若复数在复平面内所对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是

A.   B.   C.   D.

8.如图，在正四棱台中，，，若半径为的球与该正四棱台的各个面均相切，该球的表面积

A.   B.   C.   D.

二、选择题（共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9.已知复数，，则下列结论正确的是

A.若，则   B.若，则

C.      D.若，则

10.设，为两个平面，则的充分条件可以是

A.内的所有直线都与平行   B.内有三条直线与平行

C.和平行于同一条直线   D.和都平行于同一平面

11.青花瓷（blue  and  white  porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为2，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值可以是

A.   B.2   C.   D.3

12.如图，正方体中，点E，F，G，H，I分别为棱AB，CD，BC，，AD的中点，则下列结论正确的是

A.   B.

C.平面  D.平面

三、填空题（共4道小题，每小题3分，共12分）

13.在中，，，，则__________.

14.长方体的外接球的表面积为，，，则长方体的体积为__________.

15.已知平行四边形中，，点为边的中点，则的值为__________.

16.如图，正四面体的体积为，E、F、G、H分别是棱AD、BD、BC、AC的中点，则_________，多面体的外接球的体积为__________.（注：第1空1分，第2空2分）

四、解答题（本题共6小题，共48分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分8分）

如图，四边形中，，，，，，为锐角.

（1）求；

（2）求四边形的面积.

18.（本小题满分8分）

已知向量，满足，，.

（1）求与的夹角；

（2）若，求的值.

19.（本小题满分8分）

已知复数，满足.

（1）求；

（2）求.

20.（本小题满分8分）

如图，在三棱柱中，点是棱的中点，，，分别是CP，AC，的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面.

21.（本小题满分8分）

（1）如图，，不共线，是直线上的动点，证明：存在实数，，使得，并且.

（2）用向量法证明下列结论：三角形的三条中线交于一点.

22.（本小题满分8分）

如图，圆锥的顶点为P，底面圆心为O，点B、C、D在底面圆周上，，，，M为线段OD上一点，，A为PC的中点.

（1）证明：平面POB；

（2）求四棱锥的体积.

长郡中学2021—2022学年度高一第二学期期中考试

数学参考答案

一、选择题（共8道小题，每小题3分，共24分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

二、选择题（共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

三、填空题（共4道小题，每小题3分，共12分）

13.

14.

15.9

16.1，

四、解答题（本题共6小题，共48分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.【解析】（1）连接，因为，为锐角，所以，

在中，由余弦定理得，，

所以.

（2）在中，因为，

所以为直角三角形，，

的面积为，

的面积为，

所以四边形的面积.

18.【解析】（1）∵，∴，

∴，∴.

∵，∴，

∴与的夹角为.

（2）∵，

∴，，，

解得.

19.【解析】（1）因为复数，

又因为，所以，

解得

所以.

（2）

.

20.【解析】（1）证明：如图，连接AP，

在中，∵R，Q分别是AC，PC的中点，∴.

又平面，平面，

（注：表示直线的两个字母都包含在表示平面的几个字母之中，则可以不书写直线在平面内，否则必须书写.但直线不在平面内必须书写，不书写该步骤不给分.）

∴平面.

（2）如图，在中，∵E，P分别是，的中点，

∴.

又平面，平面（注：此处“平面”可以不书写），

∴平面.

在平行四边形中，∵，分别是，的中点，

∴.

又平面，平面，

∴平面.

又，

∴平面平面.

21.【解析】（1）因为是直线上的动点，

所以不妨设（为实数），

则，，

令，，

则有，并且.

所以存在实数，，使得，并且.

（2）如图，中，D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点，

求证：AD、BE、CF交于一点.

（注：此处对定理的已知和求证必须说明（符号化），不书写该步骤不给分.）

证明：不妨设BE、CF交于一点G，连接AG，

因为D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点，

所以，，，

根据（1）的结论得，

在中，，，，为实数.

在中，，，，为实数.

所以  解得

所以，

即，，A、G、D三点共线，

所以AD、BE、CF交于一点.

22.【解析】（1）如图，由已知得.

取BP的中点T，连接OT，TA，

由A为PC中点知，.

又，故，四边形为平行四边形，所以.

因为平面，平面，

所以平面.

（2）因为A为PC的中点，所以A到平面OBCM的距离为.

取BC的中点E，连接OE，OC.

由得，.

由得四边形为梯形，

故.

所以四棱锥的体积.