2021-2022学年山西省运城市高中联合体高一下学期期中联考数学试题含答案

2021-2022学年山西省运城市高中联合体高一下学期期中联考数学试题

一、单选题

1．复数（       ）

A． B． C．1 D．

【答案】D

【分析】利用复数的运算法则运算即得.

【详解】因为.

故选：D.

2．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若，，，则c的值为（       ）

A． B．2 C． D．

【答案】A

【分析】利用正弦定理可得，即求.

【详解】根据正弦定理得，

所以.

故选：A.

3．已知向量，，若，则（       ）

A．10 B．6 C． D．

【答案】C

【分析】先利用平面向量平行的坐标表示进行求解，再求其数量积.

【详解】因为，所以，

解得，则.

故选：C.

4．如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测画法的直观图是等腰梯形，已知，，则该平面图形的面积为（       ）

A．3 B． C．6 D．

【答案】B

【分析】利用直观图求出，画出原图形，确定其为直角梯形，且，，利用梯形面积公式进行求解.

【详解】过点作的垂线，垂足分别为E，D，

因为是等腰梯形，且，，

所以，

因为，

所以，

画出原图形如下：

由直观图和原图形知：，原来图形为直角梯形，且，

所以原来图形的面积.

故选：B

5．如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，点E在线段BD上，且，若，则（       ）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【分析】先利用平行四边形法则和数乘向量运算得到，再比较系数得到、的值即可求解.

【详解】由ABCD为平行四边形中，

因为，所以，

又因为，

所以，

又因为，

所以，，

则.

故选：B.

6．已知，则“”是“为钝角三角形”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】先利用正弦定理、余弦定理得出C为钝角，即证明充分性；再举反例说明非必要性.

【详解】由及正弦定理，得，

所以，又C为三角形内角，所以C为钝角，

即为钝角三角形，

即“”是“为钝角三角形”的充分条件；

但若为钝角三角形，比如取，，

此时，故不成立，

即“”不是“为钝角三角形”的充分条件；

所以即“”是“为钝角三角形”的充分不必要条件.

故选：A.

7．我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺.问积几何？”这里的“羡除”，是指由三个等腰梯形和两个全等的三角形围成的五面体.在图1所示羡除中，，，，，等腰梯形ABCD和等腰梯形ABFE的高分别为8和4，且这两个等腰梯形所在的平面互相垂直.按如图2的分割方式进行体积计算，得该“羡除”的体积为（       ）

A．84 B．102 C．128 D．160

【答案】D

【分析】根据题意将组合体分割成一个直三棱柱和两个四棱锥，再利用柱体、椎体的体积公式求解.

【详解】按照图2中的分割方式，该几何体是由一个直三棱柱和两个全等的四棱锥组合而成，

中间为直三棱柱，直三棱柱的底面为直角三角形，

两条直角边长分别为4、8，直三棱柱的高为8，

所以直三棱柱的体积为；

两侧为两个全等的四棱锥，四棱锥的底面为直角梯形，

直角梯形的面积为，四棱锥的高为，

所以两个四棱锥的体积之和为，

因此，该“羡除”的体积为.

故选：D.

8．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图2中正六边形ABCDEF的边长为，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆的直径，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】可得 ，然后求出的范围可得答案.

【详解】如图，取AF的中点Q，

根据题意，是边长为的正三角形，易得，

又

，

根据图形可知，当点P位于正六边形各边的中点时有最小值为3，此时，

当点P位于正六边形的顶点时有最大值为，

此时，∴.

故选：A

二、多选题

9．复数z满足，则下列说法正确的是（       ）

A．z的实部为1 B．z的虚部为2

C． D．

【答案】BD

【分析】先利用复数的乘法、除法运算法则得到复数的代数形式，再利用实部、虚部、共轭复数的概念及模长公式进行判定.

【详解】由于，

所以

，

则z的实部为，即选项A错误；

z的虚部为2，即选项B正确；

，即选项C错误；

，即选项D正确.

故选：BD.

10．下列命题正确的是（       ）

A．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台

B．棱锥是由一个底面为多边形，其余各面为具有公共顶点的三角形围成的几何体

C．若棱柱被一平面所截，则分成的两部分一定还是棱柱

D．当球心到平面的距离小于球半径时，球面与平面的交线总是一个圆

【答案】BD

【分析】根据棱台的定义可判断A; 根据棱锥的定义可判断B; 若棱柱被一平面所截，该平面位置关系不确定，因此分成的两部分不一定是棱柱，判断C；当球心到平面的距离小于球半径时，球面与平面的交线总是一个圆，判断D.

【详解】对于A，有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体不一定为棱台，因为不能保证各侧棱的延长线交与一点，错误；

对于B，由棱锥的定义知由一个底面为多边形，其余各面为具有公共顶点的三角形围成的几何体是棱锥，正确；

对于C，若棱柱被一平面所截，则分成的两部分不一定是棱柱，错误；

对于D，当球心到平面的距离小于球面半径时，球面与平面的交线总是一个圆，正确，

故选：BD

11．设为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数，的最小值为1，则（       ）

A．若确定，则唯一确定 B．若确定，则唯一确定

C．若确定，则唯一确定 D．若确定，则不唯一确定

【答案】BD

【分析】根据向量的数量积表示出，进而转化为二次函数求最值问题，再根据选项可求得答案.

【详解】解：因为

令，

则当时，取得最小值1，

即有，

可见当确定时，唯一确定下来；但确定时，的值在可能有两个．

故选：BD．

12．在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若，则a的值可以为（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】BCD

【分析】由正弦定理的角化边公式以及余弦定理得出，再由余弦定理结合基本不等式得出，从而得出答案.

【详解】由三角形三边关系，得到；

因为，

由正弦定理得，，即，

由余弦定理得，

因为，所以，且，，

所以，

所以，当且仅当时，等号成立，故.

故选：BCD

三、填空题

13．已知，则______.

【答案】1

【分析】由复数分类的定义可知，实部和虚部都为0，则复数为0，联立方程求解即可

【详解】因为，，

所以 解得.

所以

故答案为：

14．已知，是两个不共线的向量，若与共线，则实数k的值为______.

【答案】

【分析】由向量平行得出，建立方程组得出的值.

【详解】由题意，向量与共线，可得，

即，可得，解得.

故答案为：

15．已知正四棱锥的侧棱长为4，且，若一只蚂蚁从点A出发沿着该四棱锥的侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短距离为______.

【答案】

【分析】立体图形中爬行距离最短问题可以转换到平面展开图中求两点距离最短，即为线段的长，解三角形求出线段的长度即可

【详解】将该四棱锥沿PA剪开，展成平面图形，如图，根据两点间的线段距离最短.

即蚂蚁爬行的最短的路线为，

由，，，

，

从而最短距离为.

16．在中，角、、所对的边分别为、、，，的平分线交于点，且，则的最小值为______.

【答案】

【分析】利用等面积法可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.

【详解】由题意可知，，

由角平分线性质和三角形面积公式得，

化简得，，

因此，

当且仅当时取等号，则的最小值为.

故答案为：.

四、解答题

17．已知复数在复平面内所对应的点为.

(1)若复数为纯虚数，求的值；

(2)若点在第三象限，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先化简，再利用为纯虚数列方程组即可求解（2）依题意的实部和虚部均小于，解此不等式组即可求解

【详解】(1)由题意得，

因为为纯虚数，

所以，解得.

(2)复数在平面内所对应的点为，

因为点在第三象限，所以，解得，

所以实数的取值范围为.

18．已知平面向量，的夹角为150°，且，.

(1)求在上的投影向量；

(2)若与垂直，求实数k的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由投影向量的定义进行求解即可；

（2）先利用平面向量的数量积定义求出，再将向量垂直转化为数量积为0，进而利用平面向量的运算性质进行求解.

【详解】(1)解：因为，

且与方向相同的单位向量为，

所以在上的投影向量为.

(2)解：由题意，得，

因为与垂直，所以，

所以，

即，

解得.

19．如图，中，，，，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C，M，与BC交于点N），将绕直线BC旋转一周得到一个旋转体.

(1)求该旋转体中间一个空心球的表面积的大小；

(2)求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出空心球的半径，即可得答案；

（2）旋转一周后得到的组合体为一个圆锥中挖去一个球，由此可求答案.

【详解】(1)连接OM，则，

设，，

在中，，

∴.

(2)∵，，，∴，

∴.

20．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积.

(1)求角B的大小；

(2)求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）结合三角形面积公式和余弦定理可得，进而求解；

（2）由（1）可知，根据锐角三角形，可得，结合差角公式和二倍角公式化简可得，利用正弦型函数的性质求解即可.

【详解】(1)解：在中，面积为，

又，，

所以，所以，

又锐角，，所以.

(2)解：由（1）得，，又是锐角三角形，得，

所以

，

由，所以，

所以的取值范围是.

21．已知平行四边形ABCD中，，，.

(1)求点D的坐标；

(2)求平行四边形ABCD的面积.

【答案】(1)

(2)10

【分析】（1）利用向量相等则对应坐标相等可求点D的坐标；

（2）根据向量夹角公式求出，夹角余弦值，可得夹角正弦值，再用三角形面积公式即可.

【详解】(1)因为四边形ABCD是平行四边形，

所以，设点D的坐标为，

所以，所以，，

即点D的坐标；

(2)，，，，

所以，

因为，，所以，

所以平行四边形ABCD的面积.

22．随着节假日外出旅游人数增多，倡导文明旅游的同时，生活垃圾处理也面临新的挑战，某海滨城市沿海有A，B，C三个旅游景点，在岸边BC两地的中点处设有一个垃圾回收站点O（如图），A，B两地相距20km，从回收站O观望A地和B地所成的视角为60°，且，设.

(1)用x分别表示和，并求出x的取值范围；

(2)若B地到直线AC的距离为BD，求BD的最大值.

【答案】(1)，，

(2)

【分析】（1）先分别在和中利用余弦定理得到、的关系式，再利用平面向量的运算法则进行求解；

（2）先利用三角形的面积公式得到关于的表达式，再利用函数的单调性进行求解.

【详解】(1)解：在中，，，

由余弦定理，得，

又，所以，       ①

在中，，，

由余弦定理，得，             ②

①＋②，得，

即，

①－②，得，

所以.

又，

所以，即，

又，即，

所以.

(2)解：，

故，

又，设，

所以，，

又和在上都是增函数，

所以在上是增函数，

所以的最大值为，

即BD的最大值为.