2021-2022学年湖北省武汉市钢城第四中学高一下学期期中考试数学试卷含答案

  钢城四中2021—2022（下）期中考试卷

一 、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.下列各式的运算结果为纯虚数的是

A.  B.  C.  D.

2. 已知四边形的三个顶点，，，且，则顶点的坐标为

A.  B.  C.  D.

3. 如图所示，中，点是线段的中点，是线段的靠近的三等分点，则

A.  B.

C.  D.

4. 已知向量 ， ，则

A.  B.  C.  D.

5. 将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则

A.  B.  C.  D.

6. 若，则

A.  B.  C.  D.

7. 在中，角、、所对的边分别为、、，且若，则 的形状是

A. 等腰且非等边三角形    B. 直角三角形    C. 等边三角形     D. 等腰直角三角形

8. 如图，在中，是线段上的一点，且，过点的直线分别交直线，于点，，若，，则的最小值是

A.  B.  

C.  D.

二 、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9. 复数，是虚数单位，则下列结论正确的是

A.  B. 的共轭复数为

C. 的实部与虚部之和为 D. 在复平面内的对应点位于第一象限

10.下列命题中：其中正确的是

A. 若，则或

B. 若不平行的两个非零向量，满足，则

C. 若与平行，则

D. 若，，则

11.已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是

A. 函数的图象关于点对称

B. 函数的图象关于直线对称

C. 函数在单调递减

D. 该图象向右平移个单位可得的图象

12.如下图所示，B是AC的中点，，P是平行四边形BCDE内含边界的一点，且，以下结论中正确的是

A.  当P是线段CE的中点时，，

B. 当时，

C. 若为定值时，则点P的轨迹是一条线段

D. 的最大值为

三 、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，填错位置，书写不清，模棱两可均不得分.）

13.已知复数，满足，则______．

14.化简的结果是______．

15.在圆中，为圆心，，为圆上的两点，且满足4，则在方向上的投影向量的模是______．

16.已知为锐角三角形，满足，外接圆的圆心为，半径为，则的取值范围是______．

四 、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（10分）已知、、是同一平面内的三个向量，其中，， . 

（1）若，求的值；  

（2）若与共线，求的值．

18.（12分）（1）已知，，其中，，求； 

（2）已知，，且，求的值．

19.（12分）已知函数． 

（1）求的最小正周期和单调递增区间； 

（2）当时，求的最值．

20.（12分）在中，三个内角，，所对的边分别为，，，且 .

（1）求； 

（2）若 8，三角形的面积，求．

21.（12分）如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台，已知射线，为湿地两边夹角为的公路长度均超过2千米，在两条公路，上分别设立游客接送点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得2千米，2千米． 

（1）求线段的长度； 

（2）若，求两条观光线路与之和的最大值．

22.（12分）已知向量，函数f1，，． 

（1）当 0时，求的值； 

（2）是否存在实数，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．

答案和解析

13.【答案】;     14.【答案】;    15.【答案】2;      16.【答案】;

17.【答案】解：， ， 

， 

， 

解得． 

由已知：，， 

， 

：， 

．;

18.【答案】解：，，，， 

，， 

． 

，，， 

，，，， 

， 

．;

19.【答案】解：函数 

； 

的最小正周期为； 

令，； 

解得，； 

单调递增区间为，； 

当时，， 

； 

时，取得最小值为， 

时，取得最大值为．;

20.【答案】解：（1）由已知得，（a-c）sinA+csinC=bsinB， 

根据正弦定理得（a-c）a+-=0， 

化简得=+-ac， 

由余弦定理得=+-2accosB， 

所以cosB=， 

由0＜B＜π，得B=． 

（2）由（1）可知B=，S△ABC=acsinB=4，可得ac=16， 

又a+c=8，解得a=4，c=4， 

所以=+-2accosB=16，解得b=4．;

21.【答案】解：（1）在△AMN中，由余弦定理得，MN2=AM2+AN2-2AM•ANcos120°=， 所以千米. 

（2）设∠PMN=α，因为∠MPN=60°，所以∠PNM=120°-α， 

在△PMN中，由正弦定理得，． 

因为， 

所以PM=4sin（120°-α），PN=4sinα， 

因此PM+PN=4sin（120°-α）+4sinα 

= 

, 

因为0°＜α＜120°，所以30°＜α+30°＜150°． 

所以当α+30°=90°，即α=60°时，PM+PN取到最大值． 

答：两条观光线路距离之和的最大值为千米．;

22.【答案】解：， 

当时，， 

则； 

令，得或， 

方程或在上有四个不同的实根， 

则，得，则， 

即实数的取值范围是．;