2021-2022学年黑龙江省大庆铁人中学高一下学期4月月考试题数学试卷含答案

铁人中学2021级高一学年下学期月考考试

数学试题

命题人：魏玉雷   审题人：李德胜

试题说明： 1.本试题满分150分，答题时间120分钟.

           2.请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡.

第Ⅰ卷(选择题60分)

一、单项选择题（本大题包括8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）

1．若复数满足(是虚数单位)，则的共轭复数＝(     )．

A．   B．     C．        D．

2.已知正三角形的边长为，那么的直观图的面积为（     ）

      A．            B．                C．             D．                  

3．在中，内角所对的边分别为.则“”是“”的（    ）．

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

4．平面向量与的夹角为，，，则等于(     )

A．     B．     C．4       D．

5.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，，则（     ）

A．.             B．              C．                D． 2

6．已知正方形的边长为，为边中点，则向量在向量上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

7．已知向量与的夹角为，，与同向，则的最小值是（    ）

A．1 B． C． D．

8.设锐角三角形的内角的对边分别为.若，，则面积的取值范围是（     ）

A.       B.          C.           D.

二．多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)

9．下列说法中错误的是（     ）

A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱

B．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱

C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台

D．正四棱锥的侧面一定是等腰三角形

10．在中，内角的对边分别为．下列四个结论正确的是(     )．

A．若，则

B．若，则满足条件的三角形共有两个

C．若，且，则为正三角形

D．若，，的面积，则

11．数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点､､分别是的外心､重心､垂心，且为的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

12.锐角中，内角所对边分别为，且，下列结论正确的是（    ）

A． B．的取值范围为

C．的取值范围为 D．的取值范围为

第Ⅱ卷(非选择题90分)

二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上)

13．已知，，若，夹角为钝角，则的取值范围为________．

14.已知等边三角形的边长为，，，，那么=________．

15.如图，在直三棱柱中，，，，，

F为棱AA1上的一动点，则当最小时，的面积为________．

16．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是__________．

三、解答题(本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.（10分）已知复数，其中．

（Ⅰ）若z为纯虚数，求m的值；

（Ⅱ）若在复平面内对应的点关于虚轴对称得到的点在第一象限，求的取值范围．

18.（12分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中．

（Ⅰ）若，，两两的夹角相等；且，，求；

（Ⅱ）若，且与垂直，求与的夹角．

19.（12分）如图，在中，已知，，，边上的两条中线，相交于点.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求的正弦值.

20.（12分）在中，内角，，所对的边分别为，，，．

（Ⅰ）设，，判断最大时的形状．

（Ⅱ）若，求周长的取值范围．

21.(12分)如图，我国的一艘海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航
行至A处，此时测得其东北方向与它相距（海里）的处有一艘外国船只，且D岛位于海监船正东处．

（Ⅰ）求此时该外国船只与岛的距离；

（Ⅱ）观测中发现，此外国船只正以每小时的速度沿正南方向航行．为了将该船拦截在离岛处，不让其进入岛内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值．(参考数据：sin36°52′≈0.6，sin53°08′≈0.8)

22.（12分）如图，边长为2的等边三角形中，是的中点，，分别是边，上的动点（不含端点），记.

（Ⅰ）在图①中，，试将，分别用含的关系式表示出来，并证明 为定值；

（Ⅱ）在图②中，，问此时是否为定值？若是，请给出证明；若不是，求的取值范围.

铁人中学2021级高一下学期月考考试数学参考答案

一．选择题（60分）

二．填空题（20分）

13.              14.        15.            16. 

三．解答题（70分）

17. （10分）

解： (1)因为复数，其中，

所以，解得：m=6.

(2)

因为在复平面内对应的点为，

所以z在复平面内对应的点关于虚轴对称得到的点.

由题意得：，解得：.

即m的取值范围为.

18.（12分）解：(1)当三向量两两夹角为0时，=

当三向量两两夹角为时，=

 (2)若a＋2b与2a－b垂直，则(a＋2b)(2a－b)＝0，即2a2＋3ab－2b2＝0．于是ab＝，从而cosθ＝＝－1，所以θ＝π．

19. （12分）（1），

，

（2），，

又因为

所以，.

20. （12分）（1）∵，∴由正弦定理得，

∴，，．

∴，

∴时，取得最大值3，

此时，又，则，是直角三角形；

（2）由（1）知，

∴，

∴，当且仅当时等号成立，∴，

又，∴，

∴三角形周长的取值范围是．

21. （12分）解：(1)依题意，在△ABD中，∠DAB＝45°．由余弦定理得

DB2＝AD2＋AB2－2AD·AB·cos45°＝200，所以DB＝10，即此时该外国船只与岛的距离为 n mile．

(2)过点作于点．在Rt△ABC中，AC＝BC＝8，所以CD＝AD－AC＝6．以为圆心，为半径的圆交于点，连接AE，DE．

在Rt△DEC中，CE＝＝6，所以BE＝2．

又AE＝＝10，所以sin∠EAC＝＝，可得∠EAC≈36°52′．

由于外国船只到达点所用时间为t＝＝(时)，所以海监船的速度v≥＝20 (n mile/h)，航向为北偏东90°－36°52′＝53°08′，速度的最小值为20 n mile/h．

22. （12分）（1）由，，

则，，，

在和中，分别应用正弦定理可得，

，

故，，

所以，

，.

从而

，

从而为定值；

（2）当，，

则，，，

在和中，分别应用正弦定理可得，

，，

故，，

所以，

，，

，.

令，，

，

设，则，

，

由，，，

，

又在上单调递减，在上单调递增，

而当或2时，，当时，，所以，

因此.