浙江省杭州市临安中学2022届高三下学期仿真模拟数学试题

浙江省杭州市临安中学2022届高三下学期仿真模拟数学试题

第I卷（选择题）

1．已知集合，则（       ）

A． B． C． D．或

2．已知复数，其中为虚数单位，则

A． B． C． D．2

3．双曲线的焦点坐标为（        ）

A． B． C． D．

4．展开式中的系数是（       ）

A． B．28 C．16 D．

5．已知m为非零实数，则“”是“”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．函数（其中为自然对数的底数）的图象如图所示，则（       ）

A．，

B．，

C．，

D．，

7．已知是三个不同的平面，．则（        ）

A．若，则  B．若，则

C．若，则  D．若，则

8．下列函数中，在上有零点的函数是（ ）

A． B．

C． D．

9．已知数列是公差不为0的等差数列，前n项和为，若对任意的，都有，则的值不可能为　　

A．2 B． C． D．

10．如图，在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，E，F分别是棱AD，BP上的动点，且满足AE=2BF，则线段EF中点的轨迹是

A．一条线段 B．一段圆弧

C．抛物线的一部分 D．一个平行四边形

第II卷（非选择题）

11．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则此几何体的所有棱中，最长的棱为_____cm，该几何体的体积是_____cm3．

12．在中，，，点D在线段AC上，满足，且，则______________，______________.

13．已知甲盒中仅有2个黑球，乙盒中有3个黑球和3个白球，先从乙盒中任取2个球放入甲盒中，再从甲盒中任取2个球出来，记为甲盒中取到的黑球的个数，则______，_______．

14．如图，在平面内直线EF与线段AB相交于C点， ∠BCF＝， 且AC = CB = 4， 将此平面沿直线EF折成的二面角－EF－， BP⊥平面， 点P为垂足.则△ACP的面积为__________， 求异面直线AB与EF所成角的正切值为___________.

15．当实数满足不等式组，（为常数）时，的最大值为，则__________.

16．焦点为的抛物线上有三点满足的重心是，且恰成等差数列，则直线的方程是_______．

17．已知单位向量，向量，满足，且，其中，当取到最小时，_______．

18．已知函数．

（1）求图象的对称轴；

（2）当时，求的值域．

19．如图，已知三棱锥中，平面平面，，，．

（1）证明：；

（2）求直线和平面所成角的正弦值．

20．各项均为正数的数列的前n项和为，，数列为等比数列，且.

(1)求数列､的通项公式；

(2)记，为数列的前n项和，对任意的.恒成立，求及实数的取值范围.

21．设椭圆的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率.

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围.

22．已知函数，其中.

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）若，设，

（ⅰ）证明：函数在区间内有唯一的一个零点；

（ⅱ）记（ⅰ）中的零点为，证明：当时，.

参考答案：

1．B

【解析】

先求出集合B，然后再求两个集合的交集即可

【详解】

解：由，得，

所以，

因为，所以

故选：B

2．C

【解析】

【详解】

试题分析：由题意得，，∴，故选C.

考点：复数的运算.

3．D

【解析】

【分析】

由题意可知，双曲线的焦点在轴，利用求出，即可求出焦点坐标.

【详解】

由题意可知，，，

所以，即，

因为双曲线的焦点在轴，

所以焦点坐标为，

故选：D.

4．B

【解析】

【分析】

利用二项展开式通项公式可求.

【详解】

解：设展开式中含的项为第项，则，

令，则，故含项的系数为28.

故选：B.

5．A

【解析】

【分析】

解分式不等式，求得的范围，由此判断出正确选项.

【详解】

由，得，解得，故“”是“”的充分不必要条件.故选A.

【点睛】

本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查分式不等式的解法，属于基础题.

6．C

【解析】

【分析】

根据函数的对称轴确定的范围，再根据函数有最大值确定的范围.

【详解】

函数关于对称，而根据图象可知，，

函数可拆成，，根据图象可知，函数有最大值，

有最大值，即图象开口向下，

.

故选C

【点睛】

本题考查由函数图象确定解析式参数的范围，意在考查识图能力，属于基础题型.

7．D

【解析】

【分析】

根据空间垂直关系和平行关系进行判定.

【详解】

对于A，若，不一定垂直，不正确；

对于B，若，还可能平行，不正确；

对于C，若，还可能相交，不正确；

对于D，若，，所以.

故选：D.

8．D

【解析】

【分析】

利用导数可求得在区间上的单调性，利用函数值符号、零点存在定理或者特殊值法判断各函数在区间上是否存在零点即可.

【详解】

对于A，，当时，，

在上单调递减，，在上无零点，A错误；

对于B，，在上单调递减，

又，，，使得，

则当时，单调递增；当时，单调递减；

在处取得最小值，又，，

在上无零点，B错误；

对于C，由A选项可知：当时，，

，，，

在上无零点，C错误；

对于D，，在上有零点，D正确.

故选：D.

9．D

【解析】

【分析】

由等差数数列前n项和公式推导出，由此能求出的值不可能为．

【详解】

数列是公差不为0的等差数列，前n项和为，对任意的，都有，

，，

，

当时，成立；

当时，成立；

当时，成立；

当时，不成立．

的值不可能为．

故选D．

【点睛】

本题考查等差数列的两项比值的求法，考查等差数列性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．

10．A

【解析】

构造平行四边形，结合线段成比例，根据三角形相似，可得到线线平行，据此将点的轨迹问题进行转化，即可求得.

【详解】

设的中点为，取中点，

作//交与，连接，取中点为，

因为//，，

且//，，

故可得//，

故四边形是平行四边形，

则//，

因为，故可得，

又因为//，是确定的角，

故，

故而点的运动轨迹是在线段上，

则点的轨迹也在平行于的一条线段上.

故选：A.

【点睛】

本题考查空间几何体中动点的轨迹问题，本题中，将点的轨迹转化至平面是解决问题的关键.

11．     3     2

【解析】

【分析】

由三视图还原几何体，易知面，为直角梯形，求棱长及其体积.

【详解】

由三视图可得到如下几何体为四棱锥，

且面，为直角梯形，

所以，，，故最长的棱为3，

体积.

故答案为：3，2

12．          .

【解析】

根据题意画出图形，结合图形求出和的值，再求的值；利用正弦定理求出AC和AD的值.

【详解】

如图所示，

中，，，，且，

则；

所以，；

；

，

，

，，

.

故答案为：；.

【点睛】

本题考查了解三角形的应用问题，考查了运算求解能力，属于中档题.

13．          ##1.5

【解析】

【分析】

根据试验过程，利用概率的乘法公式即可求解；直接列举X的所有可能取值，分别求出概率，即可求出数学期望.

【详解】

由题意可得.

随机变量X的取值为0,1,2.

；；.

所以期望.

故答案为：，.

14．         

【解析】

【分析】

过作，连接，过作，交延长线于，根据二面角定义有二面角－EF－的平面角为且为矩形，进而可得求△ACP的面积，又直线AB与EF所成角为或其补角，应用余弦定理求余弦值，进而求其正切值即可.

【详解】

过作，连接，过作，交延长线于，

由BP⊥平面，平面，故，，则面，

由面，则，故二面角－EF－的平面角为，

综上，为矩形，

又∠BCF＝ 且AC = CB = 4，则，故，且，

所以；

由上知：直线AB与EF所成角为或其补角，

而，则，又，

故，

所以.

故答案为：，

15．

【解析】

【分析】

画出可行域，向上平移基准直线到可行域边界位置，求得直线与直线交点的坐标，将坐标代入目标函数列方程，解方程求得的值.

【详解】

画出可行域如下图所示，向上平移基准直线到可行域边界位置，由解得，代入得，解得.

故填：.

【点睛】

本小题主要考查已知线性目标函数的最大值求参数，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.

16．

【解析】

【分析】

由等差中项及重心的性质可得且，讨论确定中点，根据点在抛物线上求直线的斜率，即可得方程.

【详解】

由题设成等差数列，

所以，则，

而为的重心，则，可得且，

所以，

当，则，故中点为，而，

可得，此时直线为，即；

当，则，故中点为，同理得直线为；

综上，直线的方程.

故答案为：

17．0

【解析】

【分析】

由平面向量的数量积的运算律、结合基本不等式求解

【详解】

由题意得，故，

又，，故，，

同理得，

故，

显然，故，当且仅当时等号成立，

此时取到最小值2，，得，得．

故答案为：0

18．（1）；（2）．

【解析】

【分析】

(1)把函数式化为含一个角的一个函数的一次形式即可得解；

(2)由给定区间求出(1)中函数的相位的范围即可得解.

【详解】

（1）

，

由，得图象对称轴：；

（2）由，得，对递增，对递减，

所以，，

故函数由的值域为．

19．（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】

（1）取的中点，的中点，连、、，利用等腰三角形三线合一的性质得出，利用面面垂直的性质可得出平面，进而得出，再证明出，可得出平面，由此可得出；

（2）过点作垂足为点，推导出平面，计算出，可得出点到平面的距离为，由此可计算出直线和平面所成角的正弦值为，进而得解.

【详解】

（1）取的中点，的中点，连、、.

，为的中点，，

又，为的中点，，，

又 ，为的中点，，

又 平面平面，交线为，平面，平面，

平面，，

又，平面，平面，；

（2）由（1）知平面，平面，平面平面，

过点作垂足为点，

平面平面，平面，平面，

所以，即是点到平面的距离，

平面，平面，，

，，，

，，

又是的中点，点到面的距离，

与面所成角的正弦值为.

【点睛】

本题考查利用线面垂直证明线线垂直，同时也考查了线面角的正弦值的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

20．(1)，

(2)，

【解析】

【分析】

（1）先求出，再当时，由，得，两式相减化简可得，从而可得数列是公差为1，首项为1的等差数列，则可求出，从而可求出，进而可求出，

（2）当n为奇数时，利用裂项相消求和法可求出，当n为偶数时，利用等比数列的求和公式求出，从而可求出，进而可求出实数的取值范围

(1)

∵①，

∴，∵，∴

当时，②，

由①-②得

∴，又，

∴，

∴数列是公差为1，首项为1的等差数列.

∴

∵，，数列为等比数列，

∴

(2)

n为奇数时，

∴

n为偶数时，

∴

∴

∵，∴单调递增，

∴，∴

21．(1) 椭圆方程为;(2) 直线l的斜率的取值范围为.

【解析】

【详解】

试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确a的值，由，得，再利用，可解得a的值；（Ⅱ）先化简条件：，即M再OA的中垂线上，，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求；利用两直线方程组求H，最后根据，列等量关系即可求出直线斜率的取值范围.

试题解析：（Ⅰ）解：设，由，即，可得，又，所以，因此，所以椭圆的方程为.

（Ⅱ）解：设直线的斜率为（），则直线的方程为.

设，由方程组，消去，整理得.

解得，或，由题意得，从而.

由（Ⅰ）知，，设，有，.

由，得，所以，解得.

因此直线的方程为.

设，由方程组消去，解得.

在中，，即，

化简得，即，解得或.

所以，直线的斜率的取值范围为.

【考点】椭圆的标准方程和几何性质，直线方程

【名师点睛】在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：

（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；

（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；

（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．

22．（Ⅰ）答案见解析（Ⅱ）（ⅰ）证明见解析（ⅱ）证明见解析

【解析】

【分析】

（Ⅰ）求导后，求出的两根，再讨论两根的大小可得的单调性；

（Ⅱ）（ⅰ）根据的单调性以及可证结论成立；

（ⅱ）构造函数，转化为证明，转化为证明，再构造函数，利用导数可证不等式成立.

【详解】

（Ⅰ），

令，得或，

当时，由，得或，由，得，

所以在和上单调递增，在上单调递减；

当时，由，得，由，得，所以在上单调递增；

当时，由，得或，由，得，

所以在和上单调递增，在上单调递减，

综上所述：当时，在和上单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递增；

当时，在和上单调递增，在上单调递减，

（Ⅱ）（ⅰ）当时，，

与的单调性相同，

由（Ⅰ）知，当时，在上单调递减，在上单调递增，

所以，

，

所以函数在区间内有唯一的一个零点；

（ⅱ）设，则，

由，得，由，得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

又因为，所以要证明当时，，即证，

只要证明，

即证，即证，

因为，即，

所以只要证明，即证，

因为在上单调递增，所以只需证明，

因为，所以只需证明，

因为，

设，

则，

所以在上单调递减，所以，

所以，

所以原不等式得证.

【点睛】

关键点点睛：构造函数，转化为证明，转化为证明，再构造函数，利用导数证明不等式成立是解题关键.