备战2022年广东高考数学仿真卷（2）

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备战2022年广东高考数学仿真卷（2）一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（5分）已知，则下面选项中一定成立的是　　A． B． C． D．【答案】【详解】解：，，时，，错误；，，，正确；，，同选项，错误；，时，，错误．故选：．2．（5分）中国数学奥林匹克由中国数学会主办，是全国中学生级别最高、规模最大、最具影响力的数学竞赛．某重点高中为参加中国数学奥林匹克做准备，对该校数学集训队进行一次选拔赛，所得分数的茎叶图如图所示，则该集训队考试成绩的众数与中位数分别为　　A．85，75 B．85，76 C．74，76 D．75，77【答案】【详解】解：由茎叶图可知，集训队考试成绩为71，72，73，74，74，75，75，77，83，84，85，85，85，86，故众数为85，中位数为．故选：．3．（5分）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则　　A． B． C． D．【答案】【详解】解：因为函数的图象与函数的图象关于直线对称，所以与互为反函数，故，所以．故选：．4．（5分）函数，的最大值为　　A．4 B．5 C．6 D．7【答案】【详解】解：函数，由于，故，，由于函数的对称轴为，当时，取得最大值，故选：．5．（5分）在数列中，，，若，则　　A．10 B．9 C．8 D．7【答案】【详解】解：因为，故令，则有，所以，又，所以，故数列是首项为3，公差为3的等差数列，所以，解得．故选：．6．（5分）2020年12月31日，国务院联防联控机制发布，国药集团中国生物的新冠病毒灭活疫苗已获药监局批准附条件上市，其保护效力达到世界卫生组织及药监局相关标准要求，现已对18至59岁的人提供．根据某地接种年龄样本的频率分布直方图（如图）估计该地接种年龄的中位数为　　A．40 B．39 C．38 D．37【答案】【详解】解：由频率分布直方图得：，的频率为：，，的频率为：，估计该地接种年龄的中位数为：．故选：．7．（5分）已知，，直线上存在点，满足，则的倾斜角的取值范围是　　A． B． C． D．【答案】【详解】解：设，则，又，且，所以点的轨迹为线段，因为线段的方程为，即，，，联立方程组，解得，直线的斜率为，设的倾斜角为，则，因为，所以，即，，解得．故选：．8．（5分）已知是自然对数的底数，设，，，则　　A． B． C． D．【答案】【详解】解：已知是自然对数的底数，，，，设，则，当时，，函数在上是增函数，当时，，函数在上是减函数，（3），（2），而，所以，又因为，，为常用不等式，可得，令，，当时，，函数在上是减函数，故（2）（e），则，即，则，故：故选：．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）已知点为坐标原点，直线与抛物线相交于，两点，则　　A． B． C．的面积为 D．线段的中点到直线的距离为2【答案】【详解】解：设，，，，联立，得，所以，，，，对于，故正确；对于，，，故不正确；对于：点到直线的距离，所以，故正确；对于：线段的中点坐标为，，即，所以线段的中点到直线的距离为3，故不正确．故选：．10．（5分）已知函数，若，则下列不等式一定成立的有　　A． B． C． D．【答案】【详解】解：根据题意，函数，易得在上为增函数，对于，无法判断与的大小，故不一定成立，错误，对于，若，则有，则，正确，对于，当，时，，则有，错误，对于，若，则，则有，正确，故选：．11．（5分）已知函数，则下列说法正确的是　　A．若函数的最小值为，则 B．若，则使得成立 C．若，，都有成立，则 D．若函数在上存在最大值，则正实数的取值范围是【答案】【详解】解：对于，函数，其中，因为函数的最小值为，所以，解得，故错误；对于，若函数，则，因为，所以，，，，，此时，所以不存在使得成立，故错误；对于，若，则，因为，，所以，，，，，因为，都有成立，所以，解得，即，故正确；对于，，其中，因为函数在上存在最大值，所以，即，，所以，，，，，故正确．故选：．12．（5分）在梯形中，，将沿折起，使到的位置与不重合），，分别为线段，的中点，在直线上，那么在翻折的过程中　　A．与平面所成角的最大值为 B．在以为圆心的一个定圆上 C．若平面，则 D．当平面时，四面体的体积取得最大值【答案】【详解】解：如图，在梯形中，因为，，所以得到，，，在将沿翻折至的过程中，与的大小保持不变，由线面角的定义可知，与平面所成角的最大值为，故选项正确；因为大小不变，所以在翻折的过程中，的轨迹在以为轴的一个圆锥的底面圆周上，而是的中位线，所以点的轨迹在一个圆锥的底面圆周上，但此圆的圆心不是点，故选项不正确；当平面时，，因为，所以，所以，故选项正确；在翻折的过程中，△的面积不变，故当平面时，四面体的体积取得最大值，故选项正确．故选：．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知椭圆的焦点在轴上，且离心率为，则的方程可以为　  （答案不唯一）　．【答案】【详解】解：椭圆的焦点在轴上，且离心率为，设，，则，所以椭圆方程为：，故答案为：（答案不唯一）．14．（5分）已知为第二象限角，且，则　  　．【答案】【详解】解：因为为第二象限角，即，，所以，，因为，所以，所以，，，．故答案为：．15．（5分）中，内角，，对的边长分别为，，，且满足，则的最小值是　  　．【答案】【详解】解：，，，所以，由正弦定理得，，由余弦定理得，，当且仅当时取等号，此时．故答案为：．16．（5分）在中，点，是线段上的两点，，，则　  　，的取值范围是　  　．【答案】；，【详解】解：根据题意，画出大致图形如下：结合题意及图形，可知，，，又，，，，由题意可知点在线段上，假设点与点重合，则，，，即，或，或，即，或，假设点与点重合，则，，，此时，或，综合可得，，，，，，即，故答案为：；，．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知数列，满足．（1）若是等差数列，，，求数列的前项和；（2）若是各项均为正数的等比数列，判断是否为等比数列，并说明理由．【答案】（1）（2）不是【详解】解：（1）由，且，，得，，又是等差数列，设公差为，则，则，，，则数列的前项和；（2）令，由，得，，当时，，是公比为2的等比数列；当时，不是常数，数列不是等比数列．18．（12分）的内角、、的对边分别为、、，设．（1）求；（2）若，是边上一点，且，的面积为，求．【答案】（1）（2）【详解】解：（1）由正弦定理知，，，，由余弦定理知，，，．（2）设，，则，，，，即①，，，，在中，由正弦定理知，，，即②，由①②得，，．19．（12分）如图，是半圆的直径，是半圆上异于，的一点，点在线段上，满足，且，，，．（1）证明：；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析（2）【详解】解：（1）证明：是半圆的直径，是半圆上异于，的一点，故，，，，，，，，，，，，平面，平面，；（2）以为原点，，所在直线分别为轴，轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图示：则：，0，，，0，，，2，，，1，，，0，，，0，，则，1，，，1，，，，，设平面的法向量为，，，则，令，则，，，1，，设平面的法向量为，，，则，令，得，，，，，，，结合图像，二面角的余弦值为．20．（12分）为了调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，某中学数学教师对新入学的180名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于12小时的有76人，统计成绩后，得到如下的列联表： 学生本学期检测数学标准分数大于等于120分学生本学期检测数学标准分数不足120分合　计周做题时间不少于12小时60 76周做题时间不足12小时 64 合　计  180（1）请完成上面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”；（2）（ⅰ）若将频率视为概率，从全校本学期检测数学标准分数大于等于120分的学生中随机抽取12人，求这些人中周自主做数学题时间不少于12小时的人数的期望．（ⅱ）通过调查问卷发现，从全校本学期检测数学标准分数大于等于120分的学生中随机抽取12人，这12人周自主做数学题时间的情况分三类，类：周自主做数学题时间大于等于16小时的有4人：类：周自主做数学题时间大于等于12小时小于16小时的有5人：类：周自主做数学题时间不足12小时的有3人．若从这随机抽出的12人中再随机抽取3人进一步了解情况，记为抽取的这3名同学中类人数和类人数差的绝对值，求的数学期望．附：参考公式和数据：，．附表：0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”（2）（ⅰ）7.2（ⅱ）见解析【详解】解：（1）由题中的数据可以直接填表， 学生本学期检测数学标准分数大于等于120分学生本学期检测数学标准分数不足120分合　计周做题时间不少于12小时601676周做题时间不足12小时4064104合　计10080180，能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”；（2）从全校本学期检测数学标准分数大于等于120分的学生中随机抽取一人，自主做数学题时间不少于12小时的概率为，设从120名学生中抽取12人，这些人周做题不少于12小时的人数为随机变量，，，即数学期望为7.2．可能取值为0，1，2，3，，，，，．21．（12分）已知椭圆，，为其左、右焦点，离心率为，，．（1）求椭圆的标准方程；（2）设点，，点在椭圆上，过点作椭圆的切线，斜率为，，的斜率分别为，，则是否是定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．（3）设点，，点在椭圆上，点在的角分线上，求的取值范围．【答案】（1）（2） 是定值（3）【详解】解：（1）有题设知，解得，椭圆；（2） 是定值，下面证明之．因为点，，过点 作椭圆 的切线，斜率为且， 与 联立消 得，由题设得，即，因为点在椭圆上，，代入上式得，， 定值）， 是定值；（3）由题设知，点，， 即， 即，点在的角分线上，点 到直线和直线的距离相等，，点 在椭圆 上，故得，，，得， 的取值范围是．22．（12分）已知函数．（1）求实数的值，使；（2）若，证明：当时，．【答案】（1）（2）见解析【详解】解：（1）由题意得是的最小值点，同时也是极小值点，故，，代入得，解得：，当时，，则，当时，，，故，当时，，单调递增，结合，知时，，故在递减，在递增，成立，故；（2）证明：若，则，，则，，单调递增，则，单调递增，故，故只需证明即可，令（a），则（a），故（a）单调递增，故（a），故原命题成立．