备战2022年广东高考数学仿真卷（10）

备战2022年广东高考数学仿真卷（10）

一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1．（5分）若复数，则　　

A．1 B．2 C． D．6

【答案】

【详解】解：复数，

，

，

故选：．

2．（5分）已知集合，，则　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】解：集合，

或，

，

．

故选：．

3．（5分）“”是“函数在，上为增函数”的　　

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】

【详解】解：若在，上为增函数，

则在，上恒成立，

即，，

，，，

是在，上为增函数的充分不必要条件．

故选：．

4．（5分）地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准．震级是用距震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示的．里氏震级的计算公式为：（其中（常数）是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅；是指我们关注的这个地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅），地震的级数就是当地震发生时，以地震波的形式放出的能量的指示参数焦耳，其中为地震级数，它直接同震源中心释放的能量（热能和动能）大小有关，震源放出的能量越大，震级就越大．已知汶川地震最大振幅是玉树地震最大振幅的倍，若玉树地震波产生的能量为，则汶川地震波产生的能量为　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】解：设玉树地震最大振幅为，则汶川地震最大振幅为，

，，

，

，

故选：．

5．（5分）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感．为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度随时间变化的规律　　

A． B． 

C． D．，，

【答案】

【详解】解：由题意知茶水温度随时间的增大而减小，在，上是单调减函数，

所以中的函数都不满足题意，只有选项满足题意．

故选：．

6．（5分）已知点为的外心，的边长为2，则　　

A． B．1 C．2 D．4

【答案】

【详解】解：点为的外心，的边长为2，如图：

设的中点为，连接，则，

，

故选：．

7．（5分）已知是边长为2的正三角形的边上的一点，则的取值范围是　　

A．， B．， C． D．

【答案】

【详解】解：由题意，如图：是边长为2的正三角形的边上的一点，过作于，，

则，．

故选：．

8．（5分）已知函数，则不等式的解集是　　

A．， B．， C．，， D．，，

【答案】

【详解】解：的定义域为，

，

为上的奇函数，

又．

是上的增函数．

由，得，

则，即，

解得：．

不等式的解集是：，．

故选：．

二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）

9．（5分）已知双曲线的方程为，则下列说法正确的是　　

A．焦点为 B．渐近线方程为 

C．离心率 D．焦点到渐近线的距离为4

【答案】

【详解】解：双曲线的方程为，焦点在轴上，焦点坐标，所以不正确；

渐近线方程为所以正确；

双曲线的离心率，所以正确；

焦点到渐近线的距离为：，所以不正确；

故选：．

10．（5分）已知函数，下列说法正确的是　　

A．是周期函数 

B．在区间，上是增函数 

C．若，则 

D．函数在区间，上有且仅有1个零点

【答案】

【详解】解：．

其图象如图：

由图可知，是周期为的周期函数，故正确；

在区间，上不是单调函数，故错误；

若，由，，

则只有，即，只能是函数的最值点的横坐标，

可得，故正确；

函数的图象是把的图象向上平移1个单位得到的，则在区间，上有且仅有2个零点，故错误．

说法正确的是．

故选：．

11．（5分）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．这是因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他最为得意的发现，于是留下遗言：他死后，墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形．设圆柱的体积与球的体积之比为，圆柱的表面积与球的表面积之比为，若，则　　

A．的展开式中的常数项是56 

B．的展开式中的各项系数之和为0 

C．的展开式中的二项式系数最大值是70 

D．，其中为虚数单位

【答案】

【详解】解：设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，

则圆柱的体积，球的体积，可得，

圆柱的表面积，

球的表面积为，则，可得．

，

其二项展开式的通项为，

令，得，常数项为，故错误；

各项系数和为（1），故正确；

二项式系数的最大值为，故正确；

，故错误．

故选：．

12．（5分）设，是抛物线上两个不同的点，为坐标原点，若直线与的斜率之积为，则下列结论正确的有　　

A． B． 

C．直线过抛物线的焦点 D．面积的最小值是2

【答案】

【详解】解：取，，满足，

从而，故错误；

由题意可知直线的斜率不为0，设直线的方程为，，，，，

联立方程，消去整理可得：，则，，

因为，所以，故直线过定点，正确；

因为抛物线的焦点，所以直线过焦点，则由抛物线的性质可得，正确；

由以上可知直线的方程为，

则，

原点到直线的距离为，

则三角形的面积为，

当且仅当时取等号，此时三角形的面积的最小值为2，故正确，

故选：．

三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13．（5分）已知向量，的夹角为，，，则　  　．

【答案】

【详解】解：因为向量，的夹角为，，，

所以，

所以．

故答案为：．

14．（5分）写出一个对称中心为，的函数　  　．

【答案】

【详解】解：，答案不唯一，正确即可．

15．（5分）若数列满足递推公式，且，，则　  　．

【答案】2021

【详解】解：，，且，

，

故答案为：2021．

16．（5分）三棱锥的四个顶点均在半径为2的球面上，已知是边长为2的正三角形，，则面积的最大值为　  　．

【答案】

【详解】解：由于为等边三角形，设中心为，设球的球心为，

如图所示：

所以，，

则，

点到的距离，

所以，

的最大值为．

故答案为：．

四．解答题（共6小题，满分70分）

17．（10分）设的内角、、的对边分别为、、，，且为钝角．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求的取值范围．

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ），

【详解】解：（Ⅰ）由和正弦定理可得，

，即

又为钝角，，，

，；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

，

，

，，

由二次函数可知

的取值范围为，

18．（12分）已知数列满足，且．

（1）证明：数列是等差数列；

（2）记，为的前项和，求．

【答案】（1）见解析（2）

【详解】（1）证明：，且，

，

又，

数列是首项为，公差为的等差数列；

（2）解：由（1）可得：，

，

又，

．

19．（12分）茂名市是著名的水果之乡，“高农业”蓬勃发展，荔枝，华李、香蕉、龙眼等“岭南佳果”驰名中外．某商铺推出一款以新鲜水果为原料的加工产品，成本为每份10元，然后以每份20元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的作垃圾处理．

（1）若商铺一天准备170份这种产品，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量份的函数解析式．

（2）商铺记录了100天这种产品的日需求量（单位：份），整理得图．

若商铺计划一天准备170份或180份这种产品，用表示准备170份的利润，表示准备180份的利润，你认为应准备哪个数量更合理？请说明理由．（以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率）

【答案】（1）（2）商铺应该准备170份

【详解】解：（1）由题意可知，

（2）若准备170份时，的可能取值为1100，1300，1500，1700，

；

；

；

；

；

若准备180份时，的可能取值为1000，1200，1400，1600，1800，

；

；

；

；

；

，

以为，所以商铺应该准备170份．

20．（12分）如图，四棱锥中，矩形，其中，，，点为矩形的边上一动点．

（1）为线段上一点，，是否存在点，使得平面，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由；

（2）若，求直线与平面所成角的余弦值．

【答案】（1）存在（2）

【详解】解：（1）存在点满足平面，此时

证明如下：

在线段上取一点，使得，

因为，，所以且，

又因为且，

所以且，

故四边形是平行四边形，

所以，又平面，平面，

所以平面；

（2）因为平面，又平面，

所以，又，，，平面，

所以平面，又平面，

所以，

设，因为，解得，即为的中点，

以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

则，

所以，

设平面的法向量为，

则有，即，

令，则，，故，

，

所以直线与平面所成角的正弦值为，

故直线与平面所成角的余弦值为．

21．（12分）已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到右焦点的距离最长为3．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点的直线与椭圆交于，两点，的中垂线与轴交于点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

【答案】（1）（2） 为定值，且定值为 4

【详解】解：（1）由题意可设椭圆的半焦距为，

则，

解得．

故椭圆的标准方程为．

（2）当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，，，，，

的中点为，，

联立，整理得．

由题意可知，则，

从而，

因为为的中点，所以，即．

直线的方程可设为，

令，得，则．

故．

当直线斜率的斜率为0时，，，则．

综上， 为定值，且定值为 4．

22．（12分）已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，设函数的两个零点为，，试证明：．

【答案】（1）在上单调递增；在上单调递增，在，上单调递减（2）见解析

【详解】（1）解：函数的定义域为，，

当时，恒成立，可得在上单调递增；

当时，令，可得，令，可得，

此时在上单调递增，在，上单调递减．

（2）证明：当时，，，

此时在上单调递增，在上单调递减，

所以（1），由，（e），

不妨设，则有，

令，，

，

当时，，单调递增，

因为，所以（1），

所以，

又因为，所以，

因为，，在上单调递减，

所以，即．