备战2022年广东高考数学仿真卷（15）

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备战2022年广东高考数学仿真卷（15）一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）已知为虚数单位，若复数为实数，则　　A． B． C．1 D．2【答案】【详解】为实数，所以．故选：．2．（5分）已知集合，，则　　A．， B．， C．， D．【答案】【详解】，，，．故选：．3．（5分）双曲线的离心率不大于的充要条件是　　A． B． C． D．【答案】【详解】双曲线的离心率不大于，解得：．故选：．4．（5分）展开式中的系数为　　A． B．10 C． D．5【答案】【详解】展开式中的系数，故选：．5．（5分）元宵节是中国传统佳节，放烟花、吃汤圆、观花灯是常见的元宵活动．某社区计划举办元宵节找花灯活动，准备在3个不同的地方悬挂5盏不同的花灯，其中2盏是人物灯．现要求这3个地方都有灯（同一地方的花灯不考虑位置的差别），且人物灯不能挂在同一个地方，则不同的悬挂方法种数有　　A．114 B．92 C．72 D．42【答案】【详解】根据题意，分2步分析：①将5盏不同的灯分为3组，要求两盏人物灯不在同一组，若分为3、1、1的三组，有种分组方法，若分为2、2、1的三组，有种分组方法，则有种分组方法，②将分好的三组全排列，安排到3个不同的地方，有种情况，则有种安排方法，故选：．6．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别是、，过的直线，与交于，两点，设为坐标原点，若，则四边形面积的最大值为　　A．1 B． C． D．【答案】【详解】设过的直线的方程为，，，，．联立，可得，，，因为，所以四边形为平行四边形，则四边形的面积．当时，四边形面积的最大值为．故选：．7．（5分）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础、著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间，均分为三段，去掉中间的区间段，，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，，，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；．如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数的最小值为　　参考数据：，A．6 B．7 C．8 D．9【答案】【详解】第一次操作去掉了区间长度的，第二次去掉2个长度为 的区间，即，第三次去掉了 4 个长度为 的区间，即和为，以此推类，第次将去掉 个长度为 的区间，即长度和为．次操作所去掉长度和满足数列，则 的前 项和可表示为，，由题意，同取对数，即，解得，故选：．8．（5分）设实数，满足，且．则的最小值是　　A． B． C． D．【答案】【详解】由题意可知，，当时，，当且仅当且即，时取等号，当时，，当且仅当且时取等号，综上可得，最小值．故选：．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别是，，点是椭圆上异于，的任意一点，则下列说法正确的是　　A． B．存在点满足 C．直线与直线的斜率之积为 D．若△的面积为，则点的横坐标为【答案】【详解】由椭圆方程可得：，，，，，，，，对于，由椭圆的定义可知，故错误；对于，若，则点在圆：上，联立椭圆方程可得方程组无解，故错误；对于，设点的坐标为，则，直线与直线的斜率之积为，故正确；对于，三角形的面积为，解得，代入椭圆方程可得，故正确．故选：．10．（5分）已知三棱柱为正三棱柱，且，，是的中点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是　　A．正三棱柱外接球的表面积为 B．若直线与底面所成角为，则的取值范围为， C．若，则异面直线与所成的角为 D．若过且与垂直的截面与交于点，则三棱锥的体积的最小值为【答案】【详解】因为外接圆的半径，且，故正三棱柱外接球的半径，故其表面积为，故正确，取的中点，连接，，，，由正三棱柱的性质可知平面平面，所以当点与重合时，最小，当点与重合时，最大，所以，，故错，将正三棱柱补成如图所示的直四棱柱，则（或其补角）为异面直线与所成的角，易得，，所以，故错，因，故要使三棱锥的体积最小，则三棱锥的体积最大，设的中点为，作出截面如图所示，因为，所以点在以为直径的圆上，所以点到底面距离的最大值为，所以三棱锥的体积的最小值为，故正确，故选：．11．（5分）函数的所有极值点从小到大排列成数列，设是的前项和，则下列结论中正确的是　　A．数列为等差数列 B． C． D．【答案】【详解】，令可得或，，易得函数的极值点为或，，从小到大为，，不是等差数列，错误；，正确；，，则根据诱导公式得，正确；，错误．故选：．12．（5分）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线，弦过焦点，为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是　　A．存在点，使得 B． C．对于任意的点，必有向量与向量共线 D．面积的最小值为【答案】【详解】设，，，．设直线，联立，化为，得到，．设过点的切线为，联立，整理可得，由△，可得．同理可得过点的切线斜率为，对于，，，故错；对于，可得，处的切线方程分别为：，，可得，，，又因为直线的斜率为，，．故正确；对于，设的中点为，则由，轴，向量，向量与向量共线，故正确；对于，如图，设准线与轴的交点为，面积的，当最短时（最短为，也最短，最短为，面积的最小值为，故正确．故选：．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）记，则　60　．【答案】【详解】，；故答案为：60．14．（5分）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即．若对同一“表高”两次测量，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍（所成角记，，则　　．【答案】【详解】根据题意：，，所以．故答案为：．15．（5分）已知的边，且，则的面积的最大值为　　．【答案】【详解】由题意，设中角，，所对应的边长度分别为，，，则有，由，可得，整理得，，，，，由正弦定理可得，，则有，故的面积，，，，，当时，的面积取得最大值．16．（5分）已知，，若方程有四个不等实根，则的取值范围为 　　．【答案】，【详解】由，，且，得，两边除以，得，即．令，则，①令，，得．当时，，单调递增，当时，，单调递减．当时，有极大值也是最大值为（1）．由的图象可知，若方程有四个不等实根，则只需①在上有两个不等实数根，令，则，解得．故答案为：．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）请从下面的三个条件：①；②；③中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．已知三角形的内角，，所对的边分别为，，，，，_____．（1）求角的大小；（2）若为边上一点，且为的平分线，求的长．【答案】见解析【详解】（1）选择条件①，由正弦定理，得，因为，所以，由，可得，故，因为，故，因此．选择条件②，由正弦定理，得，因为，所以，所以，可得，又，所以．选择条件③，因为，所以由余弦定理，得，又，所以，由正弦定理，可得，又，所以，所以，因为，所以．（2）由，可得，解得．18．（12分）已知正项等差数列的前项和为，满足，．（1）求数列的通项公式；（2）若，记数列的前项和，求．【答案】见解析【详解】（1）设等差数列的公差为，则由，得相减得，即，又，所以，由，得，解得，舍去）由，得；（2），．19．（12分）如图，多面体中，四边形是菱形，平面，，，，．（1）设点为棱的中点，求证：对任意的正数，四边形为平面四边形；（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】见解析【详解】（1）证明：设在平面内的射影为，因为，所以，故点在的垂直平分线上，因为是菱形，且，故直线与的交点即为的中点，因为平面，平面，所以，故，共面，所以为平面四边形；（2）解：分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图所示， 则，0，，，0，，，，，，当时，由，又为等腰三角形的底边的中点，故，所以故，又，设，，，则有，解得，设平面的法向量为，因为，则有，即，令，则，故，又，所以，故直线与平面所成角的正弦值为．20．（12分）某企业从生产的一批零件中抽取100个作为样本，检测其质量指标值，得到如图的频率分布直方图．并依据质量指标值划分等级如表所示： 质量指标值或等级级级（1）根据频率分布直方图估计这100个零件的质量指标的平均数（每组数据以区间的中点值为代表）；（2）以样本分布的频率作为总体分布的概率，解决下列问题：（ⅰ）从所生产的零件中随机抽取3个零件，记其中级零件的个数为，求的分布列和数学期望；（ⅱ）该企业为节省检测成本，采用混装的方式将所有零件按400个一箱包装，已知一个级零件的利润是12元，一个级零件的利润是4元，试估计每箱零件的利润．【答案】见解析【详解】（1）由频率分布直方图可得，．（2）一个零件为级的概率为，所有可能的取值为0，1，2，3，，，，，故随机变量的分布列为：01230.0010.0270.2430.729，．设每箱零件中级零件由个，每箱零件的利润为元，则级零件有个，由题意可得，，，．21．（12分）已知动点到直线的距离比到点的距离大1．（1）求动点的轨迹的方程；（2）点是直线上任意一点，过点作曲线的切线，其中为切点，请判断是锐角、直角还是钝角？并写出你的理由．【答案】见解析【详解】（1）设动点的坐标为，由已知条件可知，到的距离与其到直线的距离相等，由抛物线的定义可知，的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线，所以点轨迹的方程为；（2）曲线的方程为，即，则，设，则切线的斜率为，切线的方程为，即，令得，即，，所以，，，所以，所以是钝角．22．（12分）已知函数，．（1）若函数（其中：为的导数）有两个极值点，求实数的取值范围；（2）当时，求证：．【答案】见解析【详解】（1）依题意知：，，，有两个极值点，在有两个变号零点，令得：，，关于的一元二次方程有两个不等的正根，记为，，，即，解得，，故的取值范围为：．（2）证明：当时，，设，，，先证，令，，当时，，在，上单调递增，又，时，即．再证，令，，当时，，单调递增；当时，，单调递减．（1），成立，，时， 单调递增，当，，（1），当，，，，，命题得证．