专题12+立体几何综合题-备战2022年新高考数学模拟试题分类汇编（福建专用）

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专题12 立体几何综合题
1．（2021•厦门一模）如图，在四棱锥中，侧面底面，侧面底面，，，，．
（1）证明：平面．
（2）当直线与平面所成的角最大时，求二面角的余弦值．

【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）证明：因为，，所以，因为平面平面，平面平面，所以平面，
又因为平面，所以，
平面平面，平面平面，
，所以平面，
因为平面，所以，
又因为，所以平面．
（2）解：由（1）知、、两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，设，，
则，因为，所以，
，，，，0，，，，，，0，，
平面的法向量为，
平面的法向量为，0，，
，
设直线与平面所成角大小为，二面角的大小为，
，
当，即时等号成立，取最大值．
由图可知为钝角，
所以，
故当直线与平面所成的角最大时，二面角的余弦值为．

2．（2021•龙岩一模）如图，四棱锥中，底面为矩形，侧面为等腰直角三角形，，，是的中点，二面角的大小为，设平面与平面的交线为．
（1）在线段上是否存在点，使平面？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由；
（2）若点在上，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．

【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）因为底面为矩形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面，
又因为平面平面，平面，
所以，从而．
取中点，连接，，
因为，所以，
因为、分别为矩形对边中点，所以，
所以平面，
因为，所以平面，
故当在点时，平面．
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，
由（1）知为二面角的平面角，其大小为，
因为侧面为等腰直角三角形，，
所以，所以，，，，2，，，0，，，2，，
设，，，则，，，，2，，，，，
设平面的法向量为，，，
，令，，0，，
直线与平面所成角的正弦值为，
解得，
所以线段的长为．

3．（2021•福建模拟）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的菱形，，，，，点是的中点．
（1）求证：平面；
（2）线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）1
【详解】（1）证明：在中，因为，，，所以，
因为点是的中点，所以，
在中，，，，
由余弦定理定理可得，，
故，所以，
在中，，，，所以，故，
又，，平面，所以平面；
（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，则，
设，0，，，
在中，，而，所以，故，
设平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为，
因为，
所以，即，
令，则，
又，
所以，化简可得，解得或（舍，
故．

4．（2021•福州一模）如图，在三棱台中，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）若，，求二面角的正弦值．

【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：由题意可知，四边形是等腰梯形，
过点作于点，过作于点，
则，
所以，所以，
则，
所以，
则△中，，所以△为直角三角形，且，
所以，因为，，，平面，
所以平面，因为平面，
所以平面平面；
（2）解：因为，，，，平面，
所以平面，又平面，所以，
过点作直线，以点为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则有，即，
令，则，，所以，
由（1）可知，平面，
取为平面的一个法向量，
所以，
所以二面角的余弦值为，
故二面角的正弦值为．

5．（2021•漳州一模）如图，四边形为正方形，，，，分别是边，的中点，直线与平面所成的角为．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）证明：，，，、平面，
平面，
平面平面，
点在平面的射影在线段上，
为直线与平面所成的角，即，
又，为等边三角形，
连接，，
为的中点，，
平面，平面，，
又，、平面，平面，
平面，，
，，，
，
，，，
，、平面，
平面．

（2）解：分别取，的中点为，，连接，，则，
由（1）知，平面，平面，，
为等边三角形，，
平面，平面，
，
又，、平面，平面，
，
，，两两垂直，
故以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示空间直角坐标系，
设，则，1，，，0，，，0，，，，，，，，，，，
，，，，1，，
设平面的法向量为，，，则，即，
不妨设，则，，，
由（1）可得，，为平面的一个法向量，
，，
由图知，二面角的平面角为锐角，
二面角的余弦值为．
6．（2021•泉州一模）如图，在四棱锥中，二面角是直二面角，为等腰直角三角形的斜边，，，，为线段上的动点．
（1）当时，证明：平面；
（2）若平面平面，求二面角的余弦值．

【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：如图，连接交于，，，
，且为的中点，连接，
，为的中点，则，
平面，平面，
平面；
（2）解：由（1）知，，若平面平面，
以为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，
在平面内，过作垂直于底面的直线为轴，建立空间直角坐标系，
在中，由，，，可得，则，
由等面积法求得，再由，可得，
求解三角形可得，，
故，0，，，0，，，，，，，，
，，，
，设，
，，，，
，
设平面的一个法向量为，
由，
取，得；
而平面的一个法向量为，
平面平面，，解得．
，，，，，，，
设平面的一个法向量为，
由，取，得，
取平面的一个法向量为，
．
由图可知，二面角为锐二面角，则二面角的余弦值为．

7．（2021•福建模拟）如图，四棱锥的底面为矩形，是边上的点，，．
（1）求证：平面平面；
（2）求直线和平面所成角的正弦值．

【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：在上取点，使，连接，交于，连接、、，
因为为矩形，，所以为正方形，所以，
因为，，，所以，所以，
又为因为中点，所以，
又因为，所以平面，
又因为平面，所以平面平面；
（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，
则，，，
于是，0，，，3，，，3，，，1，，
，2，，，3，，，1，，
设平面的法向量为，，，
，令，，，，
所以直线和平面所成角的正弦值为．

8．（2021•新高考Ⅰ）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．
（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．

【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：因为，为的中点，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，
所以；
（2）方法一：
取的中点，因为为正三角形，所以，
过作与交于点，则，
所以，，两两垂直，
以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，1，，
设，0，，则，
因为平面，故平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
又，
所以由，得，
令，则，，故，
因为二面角的大小为，
所以，
解得，所以，
又，所以，
故．
方法二：
过作，交于点，过作于点，连结，
由题意可知，，又平面
所以平面，又平面，
所以，又，
所以平面，又平面，
所以，
则为二面角的平面角，即，
又，
所以，则，
故，
所以，
因为，
则，
所以，则，
所以，则，
所以．


9．（2021•漳州模拟）如图，在四棱锥中，侧面底面，底面是直角梯形，，，，，．
（1）证明：平面平面；
（2）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）或
【详解】（1）证明：因为平面平面，且平面平面，
因为，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面；
（2）解：在平面内，过点作交于点，则可知平面，
以点为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
由，，，
故点，
所以，
设为平面的法向量，
则有，即，
取，则，，
故，
设，
则，
因为直线与平面所成角的正弦值为，
则，
解得或，
故存在点满足题意，此时或．

10．（2021•福建模拟）如图，在中，，，，，，沿将点折至处，使得，点为的中点．
（1）证明：平面．
（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：由，，且，平面，平面，
可得平面，因此．
由，，得，
因此，，由勾股定理可得．
又因为点为的中点，所以，
而，平面，平面，故平面．
（2）解：因为，，，平面，平面，
所以平面，又，所以平面．
如图，以为原点，建立空间直角坐标系，则，，，
易知是平面的一个法向量．
设平面的法向量为，则，即，
令，得，
易知二面角为锐角，故二面角的余弦值为．

11．（2021•福建模拟）如图，直角三角形所在的平面与半圆弧所在平面相交于，，，分别为，的中点是上异于，的点，．
（1）证明：平面平面
（2）若点为半圆弧上的一个三等分点（靠近点，求二面角的余弦值．

【答案】（1）见解析；（2）
【详解】证明：（1）因为半圆弧上的一点，所以．
在中，，分别为，的中点，所以，且．
于是在中，，
所以为直角三角形，且．
因为，，所以．
因为，，，
所以平面．
又平面，所以平面平面．
解：（2）由已知，以为坐标原点，分别以垂直于平面向上的方向，
向量所在方向作为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，0，，，，，，，，
，，．
设平面的一个法向量为，，，
则，取，得，1，．
设平面的法向量，，，
则，即，取，得．
所以，
又二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．

12．（2021•福州模拟）在三棱柱中，，平面平面，平面平面．
（1）证明：平面；
（2）在①，②与平面所成的角为，③异面直线与所成角的余弦值为．这三个条件中任选两个，求二面角的余弦值．

【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：，平面平面，平面平面，平面，
平面，
又平面，
，
同理，，
又，
平面；
（2）若选择①②，由（1）知，平面，所以三棱柱是直三棱柱，
，，
，
在直三棱柱中，平面，，
平面，
为与平面所成角，
，
在△中，，，所以，
在中，，所以，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
设平面的一个法向量为，则，可取，
设平面的一个法向量为，则，可取，
，
二面角的余弦值为；
若选②③，由（1）知，平面，所以三棱柱是直三棱柱，
在直三棱柱中，平面，，
平面，
为与平面所成角，
，
在直三棱柱中，，，
异面直线与所成角为，所以，
在△中，设，则，所以，
在中，因为，所以，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
设平面的一个法向量为，则，可取，
设平面的一个法向量为，则，可取，
，
二面角的余弦值为；
若选①③，因为，，所以，
由（1）知，平面，则，
在三棱柱中，，
所以异面直线与所成角为，所以，
在中，因为，所以，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
设平面的一个法向量为，则，可取，
设平面的一个法向量为，则，可取，
，
二面角的余弦值为；

13．（2021•泉州二模）如图1，在等腰直角三角形中，是斜边上的高．以为折痕把折起，使点到达点的位置，且，，，分别为，，的中点，为的中点，如图2．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：连结交于点，连结，
因为，分别为，的中点，
所以为的重心，故，
又为的中点，为的中点，
所以，即，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
（2）解：由题意可知，，，又，，平面，
所以平面，故以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
设，则，，
所以，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值为．

14．（2021•莆田二模）已知正方形的边长为2，沿将折起至位置（如图），为的重心，点在边上，且．
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的余弦值．

【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：连结交于点，连结，，
因为为的重心，所以，
又因为，所以，
故，又平面，平面，
故平面；
（2）解：因为，，所以，
又在中，为的中点，
所以为等腰三角形，所以，
延长交于点，则，
所以，所以，
又因为，，
所以，，互相垂直，建立空间直角坐标系如图所示，
则，0，，，0，，，，，，0，，，，，
因为为上靠近点的三等分点，所以，
因为为的重心，故，
设平面的法向量为，
因为，
故，则，
令，则，
同理可得平面的法向量为，
则有．
故二面角的余弦值为．

15．（2021•厦门模拟）在三棱柱中，是上一点，是的中点，且平面．
（1）证明：；
（2）若平面，平面平面，，求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：连结，，因为四边形是平行四边形，
所以，，三点共线，且是的中点，
因为平面平面，又平面，且平面，
所以，所以是的中点，即；
（2）解：因为平面，所以，，
因为平面平面，所以即为二面角的平面角，
因为平面平面，所以，故，，两两垂直，
以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
因为，，所以，设，
则，，
所以，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，故，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值为．

16．（2021•宁德三模）如图，在平面四边形中，且，分别将、沿直线翻转为、，不重合），连结，，．
（1）求证：；
（2）若，，点在平面内的正投影为的重心，求二面角的余弦值．

【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：取中点，连接，，，，
因为，所以，
又因为为沿折起的图形，所以，
又，，，平面，
所以平面，又平面，
所以，
又因为为中点，
所以；
（2）解：由（1）得，，，为中点，
所以，，三点共线，且，
以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
因为，，
又，所以，，
又点在平面内的正投影为的重心，
所以，
故，
设平面的一个法向量为，
则，即
令，则，，故，
设平面的一个法向量为，，
则，即
令，则，，故，
所以，
由图可知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．


17．（2021•福建模拟）如图，在四棱锥中，平面，，，，．过点做四棱锥的截面，分别交，，于点，，，已知，．
（1）求直线与平面所成的角；
（2）求证：为线段的中点．

【答案】（1）；（2）见解析
【详解】（1）解：过点作与平行的射线，以为轴，以为轴，为轴，
建立如图空间直角坐标系如图所示，
则有，0，，，，，，3，，，3，，，0，，，，2，，
设平面的法向量为，因为，
则，即，
令，则，，故，
又，设直线与平面所成的角的大小为，
则
所以，即直线与平面所成的角的大小为；
（2）证明：在上取点，且满足，
连接，，则，且，
因为，所以，且，
所以是平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，所以平面，
因为平面平面，所以，
所以，因为，所以，即为线段中点，
所以为线段的中点．


18．（2021•南平模拟）如图，已知四边形为菱形，，，是的中点，平面平面．
（1）证明：平面；
（2）若平面平面，，求与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：已知四边形为菱形，，所以是等边三角形，
因为是的中点，所以，
又，，，平面，
所以平面
又菱形中，，平面，平面，
所以平面．
而平面，平面平面，得．
因此平面．
（2）解：因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，
于是，，两两互相垂直，以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．
则，0，，，0，，，2，，，，
所以，，，
设平面的法向量，
由，得，可取，
所以．
故与平面所成角的正弦值．

19．（2021•龙岩模拟）如图，在三棱柱中，为棱的中点，，，，．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：在三棱柱中，为棱的中点，，，
，又，、平面，
平面，
又平面，，
，．．
，，
，，平面，
平面．
（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，0，，，2，，，1，，
过作平面，垂足为，连接，，
则，，四边形是平行形，
且，，
，2，，
，2，，，2，，，1，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，2，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，1，，
设二面角的平面角为，
则．
二面角的余弦值为．

20．（2021•鼓楼区校级模拟）木工技艺是我国传统文化瑰宝之一，体现了劳动人民的无穷智慧．很多古代建筑和家具保存到现代依然牢固，这其中，有连接加固功能的“楔子”发挥了重要作用．
如图，楔子状五面体的底面为一个矩形，，，平面，棱，设，分别是，的中点．
（1）证明：，，，四点共面，且平面平面；
（2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：因为平面，且平面，
又平面平面，所以，
又，分别为矩形两边，的中点，
所以，则，
故，，，四点共面；
因为，所以，
又因为，，，平面，
所以平面，又平面，
则平面平面；
（2）解：在平面内，过点作于，平面，
由（1）可知，平面平面，平面平面，
所以平面，又因为，，
则二面角的平面角为，，
在和中，，，
所以，
过作边的垂线交，于点，，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，
所以，
，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，故，
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．

21．（2021•福建模拟）如图，在四棱锥中，平面平面，平面平面，四边形为直角梯形，其中，，，是的中点．
（1）求证：；
（2）若，求直线与平面所成的角的正弦值．

【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：连接，
由已知，为中点，
又，故四边形为正方形，
所以知，
面面，
又面面，，平面，
平面，故．
同理可证，
又，故平面，
连接，可知，
又，，
可知平面，
又平面，
，
由已知，故四边形为平行四边形，
故，
可知．

（2）解：以为坐标原点，分别以的正方向为，；轴的正方向建立空间直角坐标系，
由，知，不妨设，
则可知，0，，，0，，，1，，
，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
，
又，1，，故，
设与平面所成的角为，则．
22．（2021•漳州模拟）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，，三棱锥是正三棱锥，，分别为，的中点．
（1）证明：直线平面；
（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：连结，交于点，连结，
因为四边形是菱形，
所以为的中点，
因为为的中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以直线平面．
（2）解：作平面于，则为正的中心，在线段上，
且，，，．
因为四边形是菱形，所以，
以为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，，，
所以，，，
设是平面的法向量，
则，取，
设是平面的法向量，
则，取，
所以，
又因为二面角是锐二面角，
所以二面角的余弦值为．

23．（2021•福建模拟）如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，以为直径的圆为圆心）过点，且，底面，为的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值

【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：由题意点为圆上一点，则
由底面，知，
又，、平面，平面，
平面，，
为的中点，，
，平面，
平面，平面平面．
（2）如图，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，2，，，2，，，1，，，1，，
，0，，，1，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，，，
由（1）知平面，
则平面的一个法向量，1，，
，
由图可知二面角的锐角，
则二面角的余弦值为．

24．（2021•福建模拟）如图，在五面体中，四边形为矩形，为等边三角形，且平面平面，和平面所成的角为，且点在平面上的射影落在四边形的中心，且．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成角（锐角）的余弦值．

【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：连接，取，的中点分别为，，连接，，，易得为四边形的中心，
所以平面，
设，因为和平面所成的角为，所以，因为，所以，
又因为平面平面，平面平面，，
所以平面，，则，，
所以四边形是平行四边形，所以．
因为平面，平面，
所以平面；
（2）解：

在平面中，作，
如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建系，
则，
又因为平面平面，所以是平面的一个法向量．
设平面的法向量为，
因为，
所以，解得，
所以平面的法向量为．
记平面与平面所成的角为，
所以，
所以平面与平面所成角（锐角）的余弦值为．
25．（2021•龙岩模拟）如图，四棱锥中，底面是菱形，，是棱上的点，是中点，且底面，．
（1）求证：；
（2）若，求二面角的余弦值．

【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：在菱形中，，所以为等边三角形，
又因为为的中点，所以，
又因为，所以，
因为底面，平面，所以，
因为，，平面，所以平面，
因为是棱上的点，所以平面，所以；
（2）解：因为底面，，建立空间直角坐标系如图所示，
设，则，
所以，
则，由，
所以，
设平面的法向量为，
则有，即，
令，则，故，
又因为平面的法向量为，
所以，
由图可知，二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为．

26．（2021•三明模拟）如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，且，，点在平面内的正投影点在上，若为等边三角形，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小．

【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：连接，
为等边三角形，为的中点，
，
点在平面内的正投影点在上，
平面，
平面，，
又，、平面，
平面，，
在等腰梯形中，，，
，
由余弦定理知，，
，即，
，
又平面，平面，
平面．

（2）解：以为原点，，所在直线分别为，轴，作平面，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，0，，
由题意知，，，
，，
是棱长为2的等边三角形，，
，
，，，
，，，，，，，，，
设平面的法向量为，，，则，即，
令，则，，，1，，
同理可得，平面的法向量为，1，，
，，
由图可知，二面角为钝角，
二面角的大小为．
27．（2021•厦门二模）在三棱锥中，是的重心，是面内一点，且平面．
（1）画出点的轨迹，并说明理由；
（2）平面，，，，当最短时，求二面角的余弦值．

【答案】（1）见解析；（2）
【详解】解；（1）分别取，三等分点，，其中，，
连接，，，则为点的轨迹．
①，，，
平面，平面，平面，
是的重心，，
平面，平面，平面，
，平面平面，
当在上时，平面．
②如图，假设不在上，任取上一点，连接，
平面，平面，，
平面平面，则平面，
平面平面，平面，，
得，与矛盾，故假设不成立．
综上所述，为点的轨迹；
（2）由余弦定理得，
解得，
，即，
，，
平面，，
，平面，，平面，
平面，，当点与重合时，最短．
如图，在平面内，作，
以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立直角坐标系，
则，，0，，，0，，，
，，，，
设为平面的一个法向量，
则，令，得，
设为平面的一个法向量，
则，令，符，
，
二面角的余弦值为．


28．（2021•福州模拟）如图，在五面体中，底面四边形为正方形，平面平面．
（1）求证：；
（2）若，，，，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．

【答案】（1）见解析；（2）
【详解】证明：（1）在正方形中，，
平面，平面，
平面，
又平面，且平面，
．
（2）四边形为正方形，
，
，
平面，
平面，
，
又，以为坐标原点，分别以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则，3，，，3，，，1，，
可知，1，为平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为，
，则，令，，
设平面与平面所成的锐二面角为，
则，
故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．
29．（2021•福建模拟）在三棱柱中，，分别为，的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，，且在底面上的正投影恰为点，求二面角的正弦值．

【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：如图，连接，，
因为为的中点，且四边形是平行四边形，
所以为的中点，又为的中点，
所以，
又因为平面，且平面，
所以；
（2）由（1）可得二面角即为二面角，
如图，连接，，
由在底面上的正投影恰为，
所以平面，
因此，，又因为，且为的中点，
故，即线段，，两两垂直，
以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，，，，1，，，0，，
对于平面，因为平面，且平面，
所以平面的一个法向量为，0，，
设平面的法向量为，，，
因为，2，，，0，，
由，可得，
取，则，0，，
设二面角的平面角为，
则，
因此二面角的正弦值为．

30．（2021•南安市校级二模）如图，矩形和梯形所在平面互相垂直，，，，．
（1）求证：平面；
（2）当的长为何值时，直线与平面所成角的大小为．

【答案】（1）见解析；（2）的长为时，直线与平面所成角的大小为
【详解】（1）由已知可得，，，
且、面，、面．
面面，
面，平面；
（2）如图，以为原点，建立空间直角坐标系，
，，
则，
，．，
，．
则，0，，，0，，，，，，，，，0，．
，，
设面的法向量为，
，，
直线与平面所成角的大小为．，．
的长为时，直线与平面所成角的大小为．