2022届四川省宜宾市叙州区第二中学校高三下学期高考适应性考试数学（理）试题（含答案）

叙州区二中高2019级高考适应性考试

理科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知全集，则集合B为

A. B. C. D.

2.设复数，则复数z在复平面内对应的点在

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.已知正项等比数列 的前 项和为, 则 的公比为
A. 1 B.  C. 2 D. 4

4.已知，是两个夹角为的单位向量，，，则

A.7 B.9 C.11 D.13

5.我国古代数学家僧一行应用“九服暑影算法”在《大行历》中建立了晷影长l与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距正切值的乘积，即.若对同一“表高”两次测量，“暑影长”分别是“表高”的2倍和3倍（所成角记，），则

A. B. C. D.

6.的展开式中的系数为

A.625 B.800 C.750 D.600

7.为了得到函数的图象，可以将函数的图象

A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度

C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度

8.A同学和B同学参加某市青少年围棋比赛并进入决赛，决赛采取“3局2胜”制，若A同学每局获胜的概率均为，且每局比赛相互独立，则在A先胜一局的条件下，A最终能获胜的概率是

A. B. C. D.

9.已知函数的图象关于点对称，则

A. B. C.1  D.3

10.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，则

A. B. C. D.

11.在正四棱锥中，点E是棱PD的中点.若直线PB与直线CE所成角的正切值为，则的值为

A.1 B. C.2 D.

12.若, 不等式 恒成立, 则实数 的取值范围是  
A.  B.  C.  D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.已知向量与方向相同，，则_________.

14.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，则_________.

15.已知，，则的最小值为_________.

16.已知圆，圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线上，则圆N的标准方程为________.

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17.（12分）在 中, 角 的对边分别为.
(1) 求;
(2)设 为边 上一点, , 且 , 求 面积的最小值. 从 ①, ②这两个条件中任选一个, 补充到上面问题中的横线上, 并作答.

18.（12分）某地质量检测部门从一企业的产品中随机抽取 100 件产品, 测量这批产品的某项技术指标值, 得到如图所示的 频率分布直方图.

(1) 估计这 100 件产品的技木指标值的中位数;
(2) 根据大量的测试数据, 可以认为这批产品的技术指标值 近似地服从正态分布. 根据上表计 算出样本平均数, 样本方差, 用样本平均数作为 的近似值, 用样本标准差作为 的 估计值, 从该企业这批产品中购买 50 件, 设这 50 件产品中技术指标值恰好在 98.32 与 194.32 之间的数量为, 求;
(3) 如果产品的技术指标值在 与 之间为合格品, 其他技术指标值为次品, 每抽取 100 件产品 中的合格品和次品件数分别是多少 (精确到个位数) ? 计算从 100 件产品中任取 3 件, 恰好取到 1 件次品的概 率.
参考数据：若随机变量 服从正态分布, 则,.

19.（12分）如图，在四棱锥中，面ABCD，，且，，，M为BC的中点.

（1）求证：平面平面PAM；

（2）若二面角为，求直线PC与平面PDM所成角的正弦值.

20.（12分）已知椭圆C：的离心率为，其长轴的两个端点分别为，.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）点P为椭圆上除A，B外的任意一点，直线AP交直线于点E，点O为坐标原点，过点O且与直线BE垂直的直线记为l，直线BP交y轴于点M，交直线l于点N，求N点的轨迹方程，并探究与的面积之比是否为定值.

21.（12分）已知函数，函数在处取得最大值.

（1）求a的取值范围；

（2）当时，求证：.

（二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

22.在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数），将通过伸缩变换后，得到曲线.

（1）求的普通方程；

（2）过点作直线l交曲线于M，N两点，，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线l的极坐标方程.

[选修4-5：不等式选讲]（10分）

23.已知.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若的解集包含，求实数a的取值范围.

叙州区二中高2019级高考适应性考试

理科数学参考答案

1-5:DABCD                                  6-10:BABCC                                    11-12:CC

13.2           14.或        15.           16.

17.(1) 因为,
由正弦定理, 得,
即,
所以.
由, 得, 所以, 即,因为, 所以.

(2) 选①.
由, 得, 化简得.
由余弦定理, 得, 即,
解得 (当且仅当 时取等号),
所以 的面积.
故 面积的最小值为.

选②.
由, 得,
即, 化简得.
由, 得 (当且仅当 时取等号),
所以 的面积.
故 面积的最小值为.

18：(1) 设中位数为.
因为,
所以, 解得.
所以估计这 100 件产品的技术指标值的中位数为130.375.

(2) 依题意, 得, 所以

所以从这批产品中任取一件其质量指标值恰好在 98.32 与  194.32之间的概率为0.8185.
这 50 件产品中质量指标值恰好在98.32  与 194.32 之间的数量为, 则 服从二项分布,. 所以.

(3) 依题意, 产品的技术指标值在 与 之间为合格品, 其概率为

所以每抽取 100 件产品中合格品件数为 95 件, 次品件数为 5 件.
所以从 100 件产品中任取 3 件, 恰好取到 1 件次品的概率为

19.（1）证明：在直角梯形ABCD中，由已知可得，，，，

可得，，

过A作，垂足为E，则，，求得，

则，.

面ABCD，，又，平面PAM，

平面PDM，平面平面PAM；

（2）解：由（1）知，，，则为二面角的平面角为，

则.

以A为坐标原点，分别以AE,AB,AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

，，.

设平面PDM的一个法向量为，

由，取，得.

直线PC与平面PDM所成角的正弦值为：.

20.解：（1）由题意，，又，，

则.椭圆C的方程为

（2）设，则.

直线AP的方程为，取，可得点，

直线BE的斜率为，直线l的方程为，

又直线PB的方程为，

联立直线l与PB的方程，消去y得，

，①

，，

代入①解得点N的横坐标，即N点轨迹方程为：

.故与的面积之比为.

21.（1）显然，，由已知得.

故.

若，当时，；当正数时，.

有最小值，不符合题意.

若，当时，；当时，.

有最大值.故a的取值范围为.

（2）解法一：

由（1）知，当时，，，所以.

当时，因为，只需证，

即证.

令，，

设，，，故在上为增函数.

所以，，

所以存在，使得，此时.

当时，，即；当时，，即.

故.

又因为在为减函数，且，

所以

故当时，，即，所以.

综上，当时，.

解法二：由（1）知，当时，，，所以.

当时，因为，只需证，即证.

令，，在上单递增，

所以；

令，，，由得.

当时，，单调递增；

当时，，单调递减.

当时，，故

所以

综上，当时，.

22.：（1）经过伸缩变换后，
曲线的方程为，

即，，平方相加并化简得

则的普通方程为：；

（2）设直线l的极坐标方程为，，，

曲线的极坐标方程为：，
将两方程联立得：，则，，
解得，所以直线l的极坐标方程为或.

23.（1）当时，，

当时，原不等式为，解得

当时，原不等式为，解得，无解

当时，原不等式为，解得

综上，不等式的解集为

（2）时，

所以为

记，则

解得，所以a的取值范围为