2021-2022学年河北深州市长江中学高二上学期7月第一次月考数学试题含答案

2021-2022学年河北深州市长江中学高二上学期7月第一次月考

数学学科试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 复数满足，则的虛部为（    ）

A.  B. -2 C. 2 D.

2. 向量，，若，则（    ）

A. 1 B. -1 C. -2 D. 2

3. 在中，若，，，则边（    ）

A. 2 B.  C.  D. 1

4. 某网店本月通过甲、乙、丙、丁四家快递公司寄出的快递数依次为200，80，120，100.若用分层抽样的方法从中抽取25件快递，则抽取的甲公司的快递数为（    ）

A. 5 B. 10 C. 12 D. 20

5. 如图，已知棱长为2的正方体，，， 分别为，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A.   B.

C. 0  D. 1

6. 如图，在平行六面体中，为与的交点.若，，，则下列向量中与相等的向量是（    ）

A.   B.

C.   D.

7. 五一放假，甲、乙、丙去厦门旅游的概率分别是，，，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去厦门旅游的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 过正方形的顶点作线段平面，若，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为（    ）

A.  B.  C.  D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 给出以下结论，正确的为（    ）

A. 直线平面，直线，则 B. 若，则

C. 若，则或与相交 D. 若，，则、无公共点

10. 已知复数在复平面上对应的点为，为虚数单位，则下列正确的是（    ）

A.   B.

C.   D. 是实数

11. 从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（    ）

A. 2个球都是红球的概率为 B. 2 个球不都是红球的概率为

C. 至少有1个红球的概率为 D. 2个球中恰有1个红球的概率为

12. 已知，，分别是三内角，，的对边，且满足，，则下列说法正确的是（    ）

A.   B.

C. 的面积最大值为 D. 的面积最大值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若复数满足，则的模长为___________.

14. 设向量，，且，则__________.

15. 如图是一次数学考试成绩的样本频率分布直方图（样本容量），若成绩在60分到80分之间的学生称为“临界生”，那么样本中“临界生”人数约为___________.

16. 从含有3件正品和1件次品的4件产品中不放回地任取2件，则取出的2件中恰有1件是次品的概率为___________.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为0.8，乙破译密码的概率为0.7.记事件：甲破译密码，事件：乙破译密码.

（1）求甲、乙二人都破译密码的概率；

（2）求恰有一人破译密码的概率；

（3）求密码被破译的概率.

18. 如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，.

（1）求证：平面；

（2）求异面直线与所成角的大小.

19. 为抗击新型冠状病毒肺炎疫情，某口罩生产企业职工在做好自身安全防护的同时，加班加点生产口罩发往疫区.该企业为保证口罩的质量，从某种型号的口罩中随机抽取100个，测量这些口罩的某项质量指标值，其频率分布直方图如图所示，其中该项质量指标值在区间内的口罩恰有8个.

（1）求图中，的值；

（2）用样本估计总体的思想，估计这种型号的口罩该项质量指标值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（3）根据质量指标标准，该项质量指标值不低于85，则为合格产品，试估计该企业生产这种型号口罩的质量合格率为多少？

20. 在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，是等边三角形，为的中点，为的中点，.

（1）求证：平面.

（2）求平面与平面所成锐角的余弦值.

21. 如图，在五面体中，已知平面，，，，.

（1）求证：；

（2）求三棱锥的体积.

22. 2021年初，疫情防控形势依然复杂严峻，防疫任务依然艰巨.为了引起广大市民足够重视，某市制作了一批宣传手册进行发放.手册内容包含“工作区域防护知识”“个人防护知识”“居家防护知识”“新型冠状病毒肺炎知识”“就医流程”等内容.为了解某市市民对手册的掌握情况，采取网上答题的形式，从本市10~60岁的答题的人群中随机抽取了100人进行问卷调查，统计结果如下频率分布直方图所示：

（1）求的值，并求这组数据的中位数（结果保留两位小数）；

（2）现从年龄在的人中利用分层抽样抽取5人，再从5人中随机抽取3人进行问卷调查，年龄在的回答5道题，年龄的回答3道题，题目都不同.用表示抽取的3人中回答题目的总个数，求当的概率.

长江中学2020级高二年级第一次月考考试试题

数学参考答案

1. B 【解析】，

故的虚部为-2，故选：B.

2. D 【解析】因为向量，，，所以，解得，

故选：D.

3. A 【解析】因为，，所以，则，即，解得，

故选：A.

4. B 【解析】四家快递公司一共有件，

∴抽样比为，故甲快递公司抽取的快递件数为.故选：B.

5. C 【解析】如图分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，

则、、、，所以，，

设异面直线与所成角为，

则，故选：C.

6. A 【解析】，

故选A.

7. D 【解析】记事件至少有1人去厦门旅游，其对立事件为：三人都不去厦门旅游，

由独立事件的概率公式可得，

由对立事件的概率公式可得，故选：D.

8. C 【解析】设，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，，，，，

设平面的法向量，

则，取，得，所以平面的法向量，

设平面与平面所成的锐二面角为，

则，故选：C.

9. BC 【解析】对于A，直线平面，直线，则与的关系可以平行或者异面，故A错误；

对于B，若，则与平面只有一个交点，即相交，，故B正确；

对于C，若，则或与相交，故C正确；

对于D，若，，则与平面可以相交且与相交，故D错误；

故选：BC.

10. CD 【解析】根据题意得，，，，

所以A，B选项错误，C，D选项正确.故选：CD.

11. ACD 【解析】对于A选项，2个球都是红球的概率为，A选项正确；

对于B选项，2个球不都是红球的概率为，B选项错误；

对于C选项，至少有1个红球的概率为，C选项正确；

对于D选项，2个球中恰有1个红球的概率，D选项正确.故选：ACD.

12. BC 【解析】因为，所以，

所以，

因为，所以，所以；

因为，所以，所以，所以，取等号时，

所以，故选：BC.

13. 【解析】由得，所以.

14. 【解析】因为，所以，又，，所以，

解得.

15. 30 【解析】由频率分布直方图可得，样本中“临界生”人数约为：

.

16. 【解析】设3件正品为，，，1件次品为，从中不放回地任取2件，试验的样本空间，共6个.

其中恰有1件是次品的样本点有：，，，共3个，

所以取出的2件中恰有1件是次品的概率为.

17. 解：（1）由题意可知，，且事件，相互独立，

事件“甲、乙二人都破译密码”可表示为，

所以；

（2）事件“恰有一人破译密码”可表示为，且，互斥，

所以

，

（3）.

18. 解：（1）证明：连接，

∵是长方体，∴，，

∴四边形是平行四边形，∴，

又平面，平面，，

∴平面.

（2）连接，

∵，∴为异面直线与所成角，

，

又∵平面，∴，

在中，，∴，

∴异面直线与所成角的大小为.

19. 解：（1）因为该项质量指标值在区间内的口罩恰有8个，

所以，

又，

所以；

（2）这种型号的口罩该项质量指标值的样本平均数为

，

利用样本估计总体的思想，

可以认为这种型号的口罩项质量指标值的样本平均数为100，方差为104；

（3）从样本可知质量指标值不低于85的产品所占比例的估计值为，

故样本的合格率为，

所以可以认为该企业生产这种型号口罩的质量合格率为.

20. 解：（1）连接，.

在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，

∴是边长为2的等边三角形，

又是等边三角形，∴是等腰三角形.

∵为的中点，∴，

又，，∴由勾股定理得，∴，

又由，都是边长为2的等边三角形，可知，

∴，∴，

由为等边三角形，为的中点，可知.

又∵，平面，平面.

∴平面.

（2）以为坐标原点，分别以，，所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，，

∴，，，.

设平面的法向量为，

则，即，

令，则，，∴.

设平面的法向量为，

则，即.

令，则，，∴.

设平面与平面所成锐角为，

则，

平面与平面所成锐角的余弦值为.

21. 解：（1）因为，平面，平面，

所以平面，

又平面，平面平面，

所以.

（2）如图，

在平面内过点作于点.

因为平面，平面，所以.

又平面，，

所以平面，

所以是三棱锥的高.

在直角三角形中，，，所以.

因为平面，平面，所以.

又由（1）知，，且，所以，所以，

所以三棱锥的体积.

22. 解：（1）根据频率分布直方图可得，

解得，

因为，

所以中位数位于之间，设中位数为，

则，

解得，

故中位数为38.33.

（2）因为和频率比为，按照分层抽样抽取5人，则中抽 2人，记为，；中抽3人，记为，，；

再从这5人种随机抽取3人的样本空间，共10个样本点，

因为从5人中随机抽取3人进行问卷调查，年龄在的回答5道题，年龄的回答3道题，回答题目总个数为13个，

则从的2人中抽2人，从的3 人中抽1人，满足要求的样本点为，，，共3个，

所以的概率.