2021-2022学年陕西省西安市长安区第一中学高二下学期期中质量检测数学（文）试题含答案

长安一中2021－2022学年第二学期高二期中考试

文 科 数 学 试 题

时间：120分钟   总分：150分

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U={0,1,2,3,4,5}，集合M={0,1,2}，集合N={3,4}，则(    )

A.{5}    B.{1,2}    C.{3,4}    D.{1,2,3,4}

2.设，则z=(    )

A.-4-3i    B.-4+3i    C.4-3i    D.4+3i   

3.设命题，；命题q：若，对任意恒成立，则．下列命题中为真命题的是(    )

A． B． C． D．

4.函数最小正周期和最大值分别是(    )

A.和    B.和5    C.和      D.和5

5.若x、y满足约束条件，则z=2x+y的最小值为(    )

A. 4    B.5     C.6    D.7

6.   (    )

A.    B.    C.    D.   

7.在区间（0,1）随机取一个数x，则满足的概率为sin的概率为(    )

A.    B.    C.    D.   

8.六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无身、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示．若此正八面体的棱长为，则它的内切球的表面积为(    )

A． B． C． D．

9.设函数，则下列函数中为偶函数的是(    )

A.    B.    C.    D.

10.在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为(    )

A．   B．   C．    D．

11.设P是椭圆C:上的点，则点P到动点B（m,m+4）距离的最小值为(    )

A.1      B.      C.       D.2

12.设，若为函数的极小值点，则(    )

A． B．

C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知抛物线的准线经过椭圆的焦点，则________．

14．已知向量，，，且，则实数_______．

15．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是________．

16．平面四边形中，，，，，则面积的最大值为__________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）某中学对学生进行体质测试（简称体测），随机抽取了100名学生的体测结果等级（“良好以下”或“良好及以上”）进行统计，并制成列联表如下：

(1)将列联表补充完整；计算并判断是否有的把握认为本次体测结果等级与性别有关系；

(2)事先在本次体测等级为“良好及以上”的学生中按照性别采用分层抽样的方式随机抽取了9人．若从这9人中随机抽取3人对其体测指标进行进一步研究，求抽到的3人全是男生的概率．

附：，．

18．（12分）已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）令，求数列的前项和．

19.（12分）如图，在平行四边形中，，，以为折痕将△折起，使点到达点的位置，且．

（1）证明：平面平面；

（2）为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积．

20．（12分）在平面直角坐标系中，已知，，动点满足．

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）过点作直线交于，两点，若的面积是的面积的2倍，求．

21.（12分）已知函数，．

（1）试讨论函数的单调性；

（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．（10分）在直角坐标系中，圆的方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（1）求圆的极坐标方程与直线的直角坐标方程；

（2）设直线与圆相交于，两点，求圆在，处两条切线的交点坐标．

23．（10分）设函数

（1）求不等式的解集；

（2）若不等式的解集非空，求实数的取值范围.

答案

一、    选择题

1-6AC CCBD   7-12BCDCBC

二、    填空题

13．   14．2    15．30+6    16．

三、    解答题

17.(1)

所以，

所以有99%的把握认为本次体测结果等级与性别有关系.

(2)根据题意，抽取了9人中男生有6人，女生有3人；设事件表示9人中随机抽取3人对其体测指标进行进一步研究，抽到的3人全是男生，所以，

故从这9人中随机抽取3人对其体测指标进行进一步研究，求抽到的3人全是男生的概率为：.

18.解：（Ⅰ）。

（Ⅱ））由（Ⅰ）

可得．

。

当为偶数时，

．

当为奇数时，

．

19.【解析】（1）由已知可得，=90°，．

又BA⊥AD，所以AB⊥平面ACD．

又AB平面ABC，

所以平面ACD⊥平面ABC．

（2）由已知可得，DC=CM=AB=3，DA=．

又，所以．

作QE⊥AC，垂足为E，则．

由已知及（1）可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE=1．

因此，三棱锥的体积为

．

20【详解】

（1）设，因为，，

则，，．

由，可得，化简得，

即动点的轨迹的方程为．

（2）设，，

由题意知，，

易知，不妨设，

因为，所以，所以． ①

设直线的方程为，

联立消去，得，则，

可得，  ② 

由①②联立，解得，

所以

21.【详解】

函数的定义域为.

（1），

设

当时，因为函数图象的对称轴为，．

所以当时，，，函数在上单调递减；

当时，令．得，

当时，，，当时，，．

所以函数在上单调递减，在上单调递增．

（2）若有两个零点，即有两个解，．设，，

设，因为函数在上单调递减，且，

所以当时，，，当时，，．

以函数在上单调递增，在上单调递减，

且时，，，

所以．

即实数的取值范围为.

二选一

【详解】

（1）圆的方程可变为，

所以圆的极坐标方程为即；

直线的极坐标方程可变为，

所以直线的直角坐标方程为即；

（2）由题意联立方程组，解得或，

不妨设点，，设过，处的切线分别为，，

圆的圆心为，半径为，

易得，

由直线的斜率可得直线的斜率，

所以直线的方程为即，

由可得，

所以圆在，处两条切线的交点坐标为.

【答案】（1）；（2）.

试题解析：（1）函数，方程的根为，

由函数的图像知的解集为     

（2）设，表示过点，斜率为的直线，的解集非空即的图像在图像下方有图像，或与图像有交点，由图像可知.