2021-2022学年陕西省西安市长安区第一中学高二下学期期中质量检测数学（理）试题含答案

长安一中2021—2022学年度第二学期中质量检测

高二数学（理科）试题

时间：120分钟  总分：150分

一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1．若复数满足，则的虚部等于（       ）

A．-4 B．-2 C．2 D．4

2．已知集合， ，则（       ）

A． B． C． D．P∩Q＝

3．设命题，；命题q：若，对任意恒成立，则．下列命题中为真命题的是（       ）

A． B． C． D．

4．已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则（       ）

A． B． C． D．

5．在正方体，分别为与的中点，则异面直线与所成角的大小为（       ）

A． B． C． D．

6．北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”以熊猫为原型进行创作，意喻敦厚、健康、活泼、可爱；北京冬残奥会吉祥物“雪容融”以灯笼为原型进行设计，表达了世界文明交流互鉴，和谐发展理念．两者一经发布，深受大家喜爱．某校为了加强学生对体育的热情，委派小陈、小刘、小孙、小王、小赵、小张人将这两个吉祥物组装安放至操场，每个吉祥物组装安放至少需要两人，每人都必须前往组装安放，但小陈和小王不能组装安放同一个吉祥物，则不同的方案共有（       ）种．

A． B． C． D．

7．把函数的图像向右平移个单位长度，再把图像上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图像，则下列说法不正确的是（       ）

A．函数的最小正周期为；   B．函数的最大值为2；

C．函数在区间上单调递增；    D．函数的图象关于直线对称.

8．在区间(0，)上随机取一个数，使得成立的概率是（     ）

A． B． C． D．

9．如图所示，为测量两塔塔尖之间的距离，若平面，平面，选择地面点C为测量观测点，测得，，，，，则塔尖之间的距离为（       ）

A． B． C． D．

10．设，若为函数的极小值点，则（　　）

A．            B．           C．           D．

11．设、分别是椭圆（）的左、右焦点，若在直线上存在点，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

12．设，，，则（       ）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知抛物线的准线经过椭圆的焦点，则________．

14．已知向量，，，且，则实数_______．

15．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是________．

16．平面四边形中，，，，，则面积的最大值为__________.

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．某中学对学生进行体质测试（简称体测），随机抽取了100名学生的体测结果等级（“良好以下”或“良好及以上”）进行统计，并制成列联表如下：

(1)将列联表补充完整；计算并判断是否有的把握认为本次体测结果等级与性别有关系；

(2)事先在本次体测等级为“良好及以上”的学生中按照性别采用分层抽样的方式随机抽取了9人．若从这9人中随机抽取3人对其体测指标进行进一步研究，求抽到的3人全是男生的概率．

附：，．

18．如图，三棱柱中，，，平面，分别是的中点.

（1）求证：；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

19．已知数列的前n项和（），数列的前n项和（）．

（1）求数列的前n项和；

（2）求数列的前n项和．

20．已知点A(0，－2)，椭圆C： (a>b>0)的离心率为，F是椭圆C的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设过点A的动直线l与椭圆C相交于P，Q两点．当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程．

21．已知函数.

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围；

(3)当时，证明：.

（二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

22．在直角坐标系中，圆的方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（1）求圆的极坐标方程与直线的直角坐标方程；

（2）设直线与圆相交于，两点，求圆在，处两条切线的交点坐标．

[选修4-5：不等式选讲]（10分）

23．已知函数.

(1)求不等式的解集；

(2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围．

长安一中2021—2022学年度第二学期中质量检测

高二数学（理科）参考答案

1．B

2．D

3．A

4．A

5．C

6．C

7．D.

8．A

9．C.

10．D

11．D

12．A

13．

14．2

15．30+6

16．

17．

 (1)

所以，

所以有99%的把握认为本次体测结果等级与性别有关系.

(2)根据题意，抽取了9人中男生有6人，女生有3人；设事件表示9人中随机抽取3人对其体测指标进行进一步研究，抽到的3人全是男生，所以，故从这9人中随机抽取3人对其体测指标进行进一步研究，求抽到的3人全是男生的概率为：.

18．

（1）由题知可以B为原点，分别以BC,BA,BB1为x,y,z轴建系如图所示则有A(0,2,0),B(0,0,0),C(2,0,0),E(0,0,1),F(1,1,2)，故有：

由：知：即

（2）假设平面AEF的法向量为

由

不妨假设，则 又平面ABC的法向量 即所成锐二面角的余弦值为

19．

（1）当时，；

当时，．

经检验，对也成立．综上可得．

，

．

（2）当时，；

当时， ．

经检验，对也成立．

综上可得．．

设数列的前n项和．

，

两式相减可得，

．

20．

（1）设，因为直线的斜率为，所以，.

又解得，所以椭圆C的方程为.

（2）解：设，由题意可设直线的方程为：，

联立消去得，

当，所以，即或时.

所以

点到直线的距离，所以，

设，则，，

当且仅当，即，解得时取等号，满足,

所以的面积最大时直线的方程为：或.

21．

(1)当时，，，切点为，斜率，.

∴曲线在点处的切线方程为，即.

(2)由，得恒成立，令，则，

所以在上，单调递减，在上，单调递增，所以的最小值为，所以，即，故的取值范围是；

(3)由（2）知时，有，所以.

①要证，可证，只需证.

先证，构造函数，则，

由得，由得，∴在上单减，在上单增，

∴，故（当且仅当时取等号），

从而当时，.故当时，成立.

②要证，可证.

构造函数，则，

由得，由得，∴在上单增，在上单减，

故，即（当且仅当时取等号），

从而当时，.

由于，所以，所以，

综上所述，当时，证明：.

22．

（1）圆的方程可变为，

所以圆的极坐标方程为即；

直线的极坐标方程可变为，

所以直线的直角坐标方程为即；

（2）由题意联立方程组，解得或，

不妨设点，，设过，处的切线分别为，，

圆的圆心为，半径为，

易得，由直线的斜率可得直线的斜率，

所以直线的方程为即，

由可得，所以圆在，处两条切线的交点坐标为.

23．

（1）由得，则，得，

解得或，因此，不等式的解集为；

（2）不等式对恒成立，

即，即恒成立，

由绝对值三角不等式得，当且仅当时，等号成立，

所以，解得，则或.因此，实数的取值范围是.