专题10+【大题限时练10】-备战2022年山东高考数学满分限时题集

专题10 大题限时练10

1．在圆内接四边形中，，，，求面积的最大值．

【答案】

【详解】圆内接四边形，，

又，，，

在中，，

由正弦定理知，，即，

，

在中，由余弦定理知，，

，

，当且仅当时，等号成立，

面积，

故面积的最大值为．

2．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．

已知正项数列的前项和为，，满足 _____．

（1）求；

（2）若，求数列的前项和．

【答案】见解析

【详解】（1）选①，

时，，即有，

当时，，又，

两式相减可得，

化为，

即有，

即，对也成立，

所以，；

选②，

由时，，

当时，，又，

两式相减可得，

可得数列的奇数项和偶数项均为等差数列，

由于，，所以数列是首项和公差均为1的等差数列，

所以，；

选③，

当时，，又，

两式相减可得，

由于，可得，

化为，

所以数列是首项和公差均为1的等差数列，

所以，；

（2），

，

，

两式相减可得

，

化为．

3．已知在三棱柱中，，，侧棱与底面垂直，点，分别是棱，的中点．

（1）求三棱柱外接球的表面积；

（2）设平面截三棱柱的外接球面所得小圆的圆心为，求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）；（2）

【详解】（1）在平面作的角分线，交于点，使，连接、，

在平面作的角分线，交于点，使，连接、，

取中点，点即为三棱柱中外接球的球心，设半径为，

因为，，

所以外接球的表面为．

（2）平面截三棱柱的外接球面所得小圆即为外接圆，

其圆心为点，建立如图所示的空间直角坐标系，各点坐标如下：

，，，，0，，，，，

，，，，，，，，，

，0，，，0，，，0，，，，，，，，

设平面的法向量为，，，

，令，，，，，

所以直线与平面所成角的正弦值为．

4．某市会展公司计划在未来一周组织5天广场会展．若会展期间有风雨天气，则暂停该天会展．根据该市气象台预报得知，未来一周从周一到周五的5天时间内出现风雨天气情况的概率是：前3天均为，后2天均为（假设每一天出现风雨天气与否是相互独立的）．

（1）求未来一周从周一到周五5天中至少有一天暂停会展的概率；

（2）求这次会展活动展出的平均天数．（结果精确到

【答案】见解析

【详解】（1）记“未来一周从周一到周五5天中至少有一天暂停会展”为事件，

则未来一周5天展出会展的概率为，

（A）；

（2）设随机变量表示会展展出的天数，则，1，2，3，4，5，

，

，

，

，

，

，

所以，

即这次会展活动展出的平均天数为1.9天．

5．已知椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，以椭圆的短轴为直径的圆过点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若过的直线交椭圆于、两点，过的直线交椭圆于，两点，且，求四边形面积的取值范围．

【答案】（1）；（2），

【详解】（1）由题意可知，，

又，解得，，

所以椭圆的标准方程为：；

（2）设四边形的面积为，则，

①当轴时，，，所以，

②当轴时，，，所以，

③当与都不与轴垂直时，直线的斜率存在且不为0，

设，，，，设直线的斜率为，则直线的斜率为，

则设直线的方程为：，联立方程，

消去整理可得：，

所以，

所以，

过作直线的平行线和椭圆交于点，，由对称性知，

在中的换成，得，

所以，

所以，

令，则，

所以，

令，则，所以，

因为，，所以，

所以四边形面积的取值范围，．

6．已知函数，．定义新函数，．

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）若新函数的值域为，，求的取值范围．

【答案】（1）见解析；（2）

【详解】（1）函数，

则，

①当，即时，，

令，解得，令，解得，

所以在上单调递减，在上单调递增；

②当时，，

当，即时，

令，解得，

令，解得或，

故在和，上单调递减，在上单调递增；

当，即时，，

所以在上单调递减；

当时，令，解得，

令，解得或，

所以在和上单调递减，在，上单调递增．

综上所述，当时，在上单调递减，上单调递增；

当时，在和，上单调递减，在上单调递增；

当时，以在上单调递减；

当时，在和上单调递减，在，上单调递增．

（2）因为，，

所以有解，即在上有解，

令，则，

令，则，

故在上单调递增，

又，

故存在，使，

当时，，即，则单调递减，

当，时，，即，则单调递增，

故的最小值为且，，

由，可得，即，

令，，所以在上单调递增，

又，即，所以，

故的最小值为，

故，所以．