专题12+【大题限时练12】-备战2022年山东高考数学满分限时题集

专题12 大题限时练12

1．在①；②；③；三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．

问题：已知的内角，，所对应的边分别为，，，若，___．

（1）求的值；

（2）若，求的面积．

【答案】见解析

【详解】（1）若选①：，

由正弦定理得，整理得，

，且，

；

若选②：，

根据正弦定理得，且，，

，且，

；

若选③：，

，

，解得或，且，

；

（2），

由正弦定理得，且，

，

．

2．已知数列是正项等比数列，满足是，的等差中项，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）

【详解】（1）数列是正项等比数列，满足是，的等差中项，，

设数列的公比为，

则，

由于，

故，解得或．

由于数列为正项数列，

所以．

则．

（2）由（1）知：，

所以，

当为偶数时，则，

当为奇数时，则．

故．

3．如图，在直三棱柱中，底面三角形为直角三角形，其中，，，，，分别为和的中点．

（1）求证：平面；

（2）当点在线段上移动时，求直线与平面所成角正弦的最大值．

【答案】（1）见解析；（2）

【详解】依题意可得，，两两垂直，故以为原点建立空间直角坐标系（如图），

，0，，，0，，，4，，，0，，，0，，，4，，

（1），0，，，0，，，，，

，，

，，且，

面．

（2）设，，

，0，，4，，，，

，，0，，

设面的法向量为，，，

由，可取，3，，

则直线与平面所成角正弦值为

，

当时，取得最小值1，此时的值最大为．

即直线与平面所成角正弦的最大值为．

4．现对某市工薪阶层对于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入（单位：百元）的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如表：

（1）根据以上统计数据完成下面的列联表，并问能否有的把握认为“某市工薪阶层对于‘楼市限购令’的态度与月收入以6500元为分界点有关”？

（2）若对月收入在，和，的被调查人中各随机选取两人进行追踪调查，求在选中的4人中有人不赞成的条件下，赞成“楼市限购令”的人数的分布列及数学期望．

附：，．

【答案】见解析

【详解】（1）列联表为：

根据列联表可得的观察值，

所以有的把握认为“某市工薪阶层对于‘楼市限购令’的态度与月收入以6500元为分界点有关”．

（2）的所有可能取值有0，1，2，3，

则，

，

，

，

所以的分布列为：

数学期望．

5．已知一个半径为的圆的圆心在抛物线上，该圆经过坐标原点且与的准线相切．过抛物线的焦点的直线交于，两点，过弦的中点作平行于轴的直线与直线，，分别相交于，，三点．

（1）求的方程；

（2）当时，求直线的方程．

【答案】（1）；（2）或

【详解】（1）设一个半径为的圆的圆心的坐标为，，可得，

由抛物线的焦点为，，准线方程为，

可得，

解得，

则抛物线的方程为；

（2）由，准线方程为，

设直线的方程为，与抛物线的方程联立，可得，

设，，，，则，，

，则的中点的坐标为，，

由，可得，

的方程为即，的方程为，即，

代入，可得，，，，

，

即为，

解得，

所以直线的方程为，

即为或．

6．已知函数，．

（1）讨论的单调性；

（2）若对任意，均有，求的值；

（3）假设某篮球运动员每次投篮命中的概率均为0.81，若其10次投篮全部命中的概率为，证明：．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析

【详解】（1）由题知，，

若，则，在上单减；

若，令，解得，

当时，，当，时，，

在单增，在，单减；

（2）由（1）知，若，则在上单减，且（1），

当时，，不合题意；

若，则，

令，，，

当时，，单减，当时，，单增，

（1），

为满足题意，必有，即，解得；

（3）证明：由题意知，，由（2）知，，即，

，

，即得证．