专题14【大题限时练14】-备战2022年山东高考数学满分限时题集

专题14 大题限时练14

1．在中，内角，，的对边分别为，，，请在①；②；③这三个条件中任意选择一个，完成下列问题：

（1）求；

（2）若，，延长到，使，求线段的长度．

【答案】见解析

【详解】（1）选①：由正弦定理知，，

，，

，，即，

，，，

，即．

选②：由正弦定理知，，

，，

，

，，

，．

选③：，

由余弦定理知，，

，，．

（2）在中，由余弦定理知，，

，化简，解得或（舍负），

由正弦定理知，，，，

所以，

而，

在中，由正弦定理知，，，

在中，由余弦定理知，，

即，

化简得，，

解得或（舍负），

故线段的长度为5．

2．已知等差数列的首项为2，前项和为，正项等比数列的首项为1，且满足，．

（1）求数列，的通项公式；

（2）设，求数列的前26项和．

【答案】（1），；（2）328

【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，

所以，又，，

所以，

因为数列是正项等比数列，所以，则，

所以，．

（2），

则，

所以数列的前26项和：

．

3．为更好的选拔实用性、全面性人才，2020年山东省进行新高考改革．至此，文科生、理科生的分类方法退出了历史舞台．山东省新高考由普通高等学校招生统一考试（语文、数学和外语）和山东省普通高中学业水平等级考试门选考科目）组成．其中，普通高等学校招生统一考试按原始分每科总分150分和山东省普通高中学业水平等级考试按等级分每科总分100分计入总成绩，总分750分．山东省新高考改革后，试题难度有所上升．今日山东创新联盟数学调查小组对某市5万高考应届生关于“新高考数学和新高考语文哪一个更难”问题进行了调查，调查部分结果如表．已知女生认为“新高考数学比新高考语文难”的人数是男生的1.75倍．

（1）完成上述调查表．

（2）将频率视为概率．按分层抽样的方法在该市某中学某班中抽取10名女生和10名男生作为样本，再从这20人中随机抽取4人．设为4人中认为“新高考语文比新高考数学难”的女生人数有人的概率，求随机变量的分布列和数学期望．

【答案】见解析

【详解】（1）由题意可得

（2）由题意，抽取的10名女生中，认为“新高考语文比新高考数学难”有名，

所以随机变量的可能取值为0，1，2，3，

，

，

，

所以随机变量的分布列为：

数学期望．

4．如图，在四棱锥中，底面为正方形，，平面，为棱上一动点（包括端点），连接、、．

（1）求证平面平面．

（2）求平面与平面所成角的余弦值的最大值．

【答案】（1）见解析；（2）1

【详解】（1）证明：在正方形中，，

因为平面，平面，所以，

又，，平面，所以平面，

又平面，所以平面平面；

（2）解：以点为坐标原点，，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，

设，则，0，，，1，，，1，，

设，0，，

所以，

设平面的法向量为，

则，即，

令，则，，故，

同理可得为平面的法向量，

所以平面与平面所成角的余弦值为：

，

令，

则，解得或，

所以当时，（a）恒成立，

故（a）在，上单调递增，

所以（a）的最大值为（1），

故平面与平面所成角的余弦值的最大值为1．

5．设抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且满足．

（1）求抛物线的标准方程；

（2）过点的直线与抛物线交于，两点，分别以，为切点的抛物线的两条切线交于点，求三角形周长的最小值．

【答案】（1）；（2）

【详解】（1）由抛物线定义可得，，解得，

所以抛物线的标准方程为；

（2）设，，，，

设直线的方程为，

联立方程组，可得，

所以，，

设在点，处的切线斜率分别为，，则，

所以在点的切线方程为，即①，

同理可得，在点处的切线方程为②，

由①②可得，，

将代入①可得，，

所以，即点在定直线上，

设点关于直线的对称点位，则，

因为，

所以三角形周长取得最小值为．

6．设函数．

（1）求曲线在点，处的切线方程；

（2）若关于的方程有两个实根，设为，，证明：．

【答案】（1）；（2）见解析

【详解】（1），则，又，

切线方程为，即；

（2）证明：先证明，

令，则，

易知函数在上递减，在，上递增，

则，即，

再证明，令，则，

易知函数在上递减，在上递增，

则（1），即，

如图，设直线与直线，相交点的横坐标分别为，，

由，得，当且仅当时等号成立，

由，得，当且仅当时等号成立，

，即得证．