专题02+【大题限时练2】-备战2022年上海高考数学满分限时题集

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专题02 大题限时练21．如图，在直三棱柱中，，．（1）求异面直线与所成角的大小；（2）若是棱的中点．求点到平面的距离．【答案】（1）；（2）【详解】（1）由于，所以（或其补角）即为异面直线与所成角，连接，在△中，由于，所以△是等边三角形，所以，所以异面直线与所成角的大小为．（2）解法一：如图所示，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为，0，、，2，、，2，、，0，．设平面的法向量为，则．，，且，，取，得平面的一个法向量为，且，又，于是点到平面的距离所以，点到平面的距离等于．解法二：过点作交于，由平面．在中，由，，得，所以，点到平面的距离等于．2．已知函数．（1）若，求函数的零点；（2）针对实数的不同取值，讨论函数的奇偶性．【答案】（1）；（2）当时，函数为偶函数，当时，函数为非奇非偶函数【详解】（1）根据题意，函数，则有，解可得，即函数的定义域为，，由，得，化简得，即，，所以，函数的零点为；（2）函数的定义域为，，若函数为奇函数，则必有（1）；代入得于是无解，所以函数不能为奇函数，若函数为偶函数，由（1）得解得；又当时，，则；对任意，都成立，综上，当时，函数为偶函数，当时，函数为非奇非偶函数．3．某工厂某种航空产品的年固定成本为250万元，每生产件，需另投入成本为当年产量不足80件时，（万元）；当年产量不小于80件时（万元）每件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的产品能全部售完．（1）写出年利润（万元）关于年产量（件的函数解析式：（2）年产量为多少时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【答案】（1）；（2）当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元【详解】（1）①当时，根据年利润销售收入成本，；②当时，根据年利润销售收入成本，．综合①②可得，．（2）①当时，，当时，取得最大值万元；②当时，，当且仅当，即时，取得最大值万元．综合①②，由于，当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元 4．双曲线的左顶点为，右焦点为，点是双曲线上一点．（1）当时，求双曲线两条渐近线的夹角；（2）若直线的倾斜角为，与双曲线的另一交点为，且，求的值；（3）若，且，点是双曲线上位于第一象限的动点，求证：．【答案】（1）；（2）；（3）见解析【详解】（1）由，可得双曲线的方程为，渐近线方程为，则双曲线两条渐近线的夹角的正切值为，即有夹角为；（2）直线的斜率为，又，，则直线的方程为，设，，，，由可得，所以，，所以，化为，解得；（3）证明：令，则，解得，由时，，而，所以，解得，即双曲线的方程为，，，设，可得，，，所以，因为为第一象限的点，可得．5．若数集至少含有3个数，且对于其中的任意3个不同数，，，，，都不能成为等差数列，则称为“集”．（1）判断集合，2，4，8，，，是否是集？说明理由；（2）已知，．集合是集合，2，3，，的一个子集，设集合，求证：若是集，则也是集；（3）设集合，判断集合是否是集，证明你的结论．【答案】见解析【详解】（1）任取三个不同元素（其中，若此三数成等差数列，则，但，因此这三个数不能成等差数列．所以，集合，2，4，8，，，是“集”．（2）反证法．假设不是“集”，即中存在三个不同元素，使，，成等差数列，则．因为是“集”，所以，，，不能全在中；如果，，全在中，则依然成立，且，，都在中，这说明中存在三个数构成等差数列，即不是“集”，与条件矛盾，因此，，，也不能全在中，由于中最小可能元素（为大于中最大可能元素（为，所以必有，．从而，，故；同样，，故．这与矛盾，故也是“集“．（3）集合是“集”，证明如下：记，则，故．任取，，（其中，则．当时，（这是由于，故，即；当时，若，，成等差数列，则，即，化简得从而是的正整数倍，由于与互质（为两个连续正整数），因此是的正整数倍或是的正整数倍，若是的正整数倍，则，而，则式不成立；若是的正整数倍，则，而，仍不成立．综上可知，，，不能成等差数列，即证明了集合是“集”．