专题06+【大题限时练6】-备战2022年上海高考数学满分限时题集

专题06 大题限时练6

1．在三棱锥中，，，是线段的中点，是线段的中点．

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成的角的大小．

【答案】（1）见解析；（2）

【详解】证明：（1），，

由于，

所以，

所以，且，

由于为等边三角形，

所以，，又，

所以，

所以，

故，

故平面．

解：（2）过点作交于，

连接，

如图所示：

由（1）得：平面，

得到，由于，

所以平面，

故为直线与平面的夹角，

由（1）知：，

从而点为线段的中点，

所以，

，

故．

故直线与平面所成的角的大小为．

2．设且，，已知函数，．

（1）当时，求不等式的解；

（2）若函数在区间，上有零点，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）或

【详解】（1）当时，不等式可化为，

当时，则有，解得，

所以不等式的解集为；

当时，则有，解得，

所以不等式的解集为．

综上所述，当时，不等式的解集为；

当时，所以不等式的解集为．

（2）函数，

令，即，

因为，，所以，，

所以，，

故，

设，，则有，

故或，

解得或，

故的取值范围为或．

3．为打赢打好脱贫攻坚战，某村加大旅游业投入，准备将如图扇形空地分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、郁金香和菊花，已知扇形的半径为100米，圆心角为，点在扇形的弧上，点在上，且．

（1）当是的中点时，求的长；（精确到米）

（2）已知种植玫瑰花、郁金香和菊花的成本分别为30元平方米、50元平方米、20元平方米，要使郁金香种植区的面积尽可能的大，求面积的最大值，并求此时扇形区域种植花卉的总成本．（精确到元）

【答案】（1）115米；（2）元

【详解】（1）扇形的半径为100米百米，

当时的中点时，，，，

在中，由余弦定理可得，，解得，

所以是的中点时，的长约为115米；

（2）在中，由正弦定理可得，，

所以，

所以的面积为，

故当，即时，的面积最大为（百米，

当时，，故扇形的面积为（百米，

扇形的面积为（百米，

所以区域的面积为，

因为种植玫瑰花、郁金香和菊花的成本分别为30元平方米、50元平方米、20元平方米，

所以此时扇形区域种植花卉的总成本为元．

4．已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于不同的、两点．

（1）若直线的方程为，求线段的长；

（2）若直线经过点，点关于轴的对称点为，求证：、、三点共线；

（3）若直线经过点，抛物线上是否存在定点，使得以线段为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）8；（2）见解析；（3）存在点使得以弦为直径的圆恒过点

【详解】（1）设，，，，

联立，得，

所以，

因为抛物线的方程为，

所以抛物线的焦点，

又直线过抛物线的焦点，

所以由抛物线的定义可得．

（2）证明：设直线的方程为，，，，，

联立，得，

所以，即，

直线的斜率为，

直线的斜率为，

所以，

所以、、三点共线．

（3）假设存在点，使以弦为直径的圆恒过点，

设过点直线的方程为，

联立，得，

设，，，，

则，，

因为点总在以弦为直径的圆上，

所以，

所以，

又，，，，

所以，

所以，

当或，等式成立，

当或，有，

所以，

则，

即，

所以当时，无论取何值等式都成立，

将代入，得，

所以存在点使得以弦为直径的圆恒过点．

5．若数列满足“对任意正整数，，，都存在正整数，使得”，则称数列具有“性质”．

（1）判断各项均等于的常数列是否具有“性质”，并说明理由；

（2）若公比为2的无穷等比数列具有“性质”，求首项的值；

（3）若首项的无穷等差数列具有“性质”，求公差的值．

【答案】（1）见解析；（2），且；（3）或

【详解】（1）若数列具有“性质”，“对任意正整数，，，

都存在正整数，使得”，所以，

所以或1，

故当或1时，各项均等于的常数列具有“性质”；

当且时，各项均等于的常数列不具有“性质”．

（2）对任意正整数，，，

都存在正整数，使得，即，

所以，

令，则，

当且时，，

对任意正整数，，，由，得，

所以，

而是正整数，所以存在正整数，使得成立，数列具有“性质”；

当且时，取，，则，正整数不存在，数列不具有“性质”，

综上所述，，且．

（3）因为，

所以若对于任意的正整数，存在整数，使得成立，则，

对于任意的正整数，存在整数和，使得，，

两式相减得，，

若，显然不合题意，

若，得，是整数，从而得到公差也是整数，

当时，此数列是递减的等差数列，取满足的正整数，解得，

由，所以不存在正整数使得成立，从而时，不具有“性质”；

当时，数列2，3，4，，，，对任意的正整数，，，

由，可得，可得，而是正整数，从而数列具有“性质”；

当时，数列2，4，6，，，，对任意正整数，，由，可得，即，而是正整数，从而数列具有“性质”．

综上可得，或．