专题10【大题限时练10】-备战2022年上海高考数学满分限时题集

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专题10 大题限时练101．如图，在四棱锥中，平面，是边长为2的正方形，，为侧棱的中点．（1）求四棱锥的体积；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）；（2）【详解】（1）因为平面，则为棱锥的高，是边长为2的正方形，所以，，故；（2）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，0，，，0，，，0，，，2，，，2，，所以，设平面的法向量为，则，即，令，则，，故，所以，故直线与平面所成角的正弦值为．2．将关于的函数的图像向右平移2个单位后得到的函数图象记为，并设所对应的函数为．（1）当时，试直接写出函数的单调递减区间；（2）设（4），若函数对于任意，，总存在，，使得成立，求的取值范围．【答案】（1），和，；（2），【详解】（1）法一：由题意知，，定义域为，，由对勾函数的性质知，当或，即且时，单调递减，故函数的单调递减区间为，和，．法二：由题意知，，定义域为，，令，，且，函数的单调递减区间为，和，．（2）（4），，解得，，由（1）知，在，上单调递减，，（1），的对称轴为，且开口向上，在，上单调递减，，（1），对于任意，，总存在，，使得成立，，且，即，且，，故的取值范围为，．3．某种生物身体的长度（单位：米）与其生长年限（单位：年）大致关系如下：（其中为自然对数的底，该生物出生时．（1）求需要经过多少年，该生物身长才能超过8米（精确到；（2）该生物出生年后的一年里身长生长量可以表示为，求的最大值（精确到．【答案】（1）6.8年；（2）1.24【详解】（1）由得：，解得：，，，，，又，，即约需要6.8年．（2），令，，，则，，当且仅当即时，等号成立，，的最大值为1.24．4．设双曲线的上焦点为，、是双曲线上的两个不同的点．（1）求双曲线的渐近线方程；（2）若，求点纵坐标的值；（3）设直线与轴交于点，关于轴的对称点为．若、、三点共线，求证：为定值．【答案】（1）；（2）；（3）见解析【详解】（1）解：令，则，双曲线的渐近线方程为．（2）解：由题意知，，设为，则，且，，，又，解得或（舍，点纵坐标的值为．（3）证明：①当直线的斜率不存在时，其方程为，与轴有无数个交点，不符合题意；②当直线的斜率存在时，设为，则其方程为，设，，，，则，，联立，得，，，、、三点共线，，即，也即，，即，，化简得，，为定值，故命题得证．5．若数列满足：从第二项起的每一项不小于它的前一项的倍，则称该数列具有性质．（1）已知数列，，具有性质（4），求实数的取值范围；（2）删除数列，，，，中的第3项，第6项，，第项，，余下的项按原来顺序组成一个新数列，且数列的前项和为，若数列具有性质，试求实数的最大值；（3）记，如果，2，，，证明：“”的充要条件是“存在数列具有性质（1），且同时满足以下三个条件：（Ⅰ）数列的各项均为正数，且互异；（Ⅱ）存在常数，使得数列收敛于；（Ⅲ），2，，这里”．【答案】（1）；（2）的最大值为11；（3）见解析【详解】（1）由题意可知解得．（2）当，时，，，，，当，时，，，．当，时，，，，综上：的最大值为11．（3）证明：令，显然，具有性质（1），且满足条件Ⅰ，当，，满足条件Ⅱ，，，，即证：“．