专题11+【大题限时练11】-备战2022年上海高考数学满分限时题集

专题11 大题限时练11

1．如图，设底面半径为2的圆锥顶点、底面中心依次为、，为其底面直径，点位于底面圆周上，且，异面直线与所成角的大小为．

（1）求此圆锥的体积；

（2）求二面角的大小．（结果用反三角函数值表示）

【答案】（1）；（2）

【详解】（1）设圆锥的高为，以为坐标原点，以、、所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图，

根据题设条件，，0，，，0，，，，，，2，

，，，，2，，

由异面直线与所成角的大小为，

，解得，

圆锥的体积为．

（2）取的中点，连接，，

由，得，由，得，

即为二面角的平面角，

圆锥的底面，，

是直角三角形，

在中，，，

，

，

二面角的大小为．

2．设函数的反函数为．

（1）解方程：；

（2）设是定义在上且以2为周期的奇函数，当时，，试求的值．

【答案】（1）；（2）

【详解】（1）因为函数，

故方程即为，

所以，则有，解得，

故的解为；

（2）当时，，

因为，且是定义在上且以2为周期的奇函数，

故．

3．在对口扶贫工作中，生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元，每产出吨需另外投入可变成本万元，已知．通过市场分析，该中药材可以每吨50万元的价格全部售完，设基地种植该中药材年利润为万元，当基地产出该中药材40吨时，年利润为190万元．

（1）求的值；

（2）求年利润的最大值（精确到0.1万元），并求此时的年产量（精确到0.1吨）．

【答案】见解析

【详解】（1）当基地产出该中药材40吨时，年成本为万元，

利润为，解得；

（2）当，时，，

对称轴方程为，则函数在，上为增函数，

当时，万元；

当，时，

．

当且仅当，即时取等号．

即当年产量约为82.1吨时，年利润最大约为445.5万元．

4．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于不同的两点、．

（1）若直线经过，求△的周长；

（2）若以线段为直径的圆过点，求直线的方程；

（3）若，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）或；（3）

【详解】（1）因为椭圆，

所以椭圆的长半轴长为，

由椭圆的定义可得，，

所以△的周长为；

（2）当直线的斜率不存在时，直线，此时，，

又，所以，

所以符合题意；

当直线的斜率存在时，设直线，

设，，，，

联立直线与，则有，

所以，

△，解得，

因为，

，

所以，

故，解得，

故直线的方程为，

综上所述，直线的方程为或；

（3）①当直线的斜率不存在时，直线，

若，，则，所以，此时；

若，，则，所以，此时；

②当直线的斜率存在时，设直线，

设，，，，

又，所以，

因为，所以，故，

由（1）可知，，

所以，

则，即，

因为，

故，，

所以，

因为，

由，可得，即，

所以，

综上所述，实数的取值范围为．

5．记实数、中的较大者为，，例如，，，，对于无穷数列，记，，若对于任意的，均有，则称数列为“趋势递减数列”．

（1）根据下列所给的通项公式，分别判断数列是否为“趋势递减数列”，说明理由；

①；

②；

（2）设首项为1的等差数列的前项和为，公差为，且数列为“趋势递减数列”，求的取值范围；

（3）若数列满足、均为正实数，且，求证：为“趋势递减数列”的充要条件为的项中没有0．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析

【详解】（1）解：①因为，

所以，，

所以为正整数），

所以，

故①数列为“趋势递减数列”．

②因为，

所以，，

所以为正整数），

所以，

故②数列不是“趋势递减数列”．

（2）解：因为数列为“趋势递减数列”，

所以，，，

①若，则，即，

所以，

此时，，

所以，

故，满足条件；

②若，则，且，

所以，即，

所以，

所以，

同理可以验证满足条件，

综上所述，的取值范围为．

（3）证明：先证明必要性：用反证法．

假设存在正整数，使得，可令，

则数列从项开始，以后的各项为，，0，，，，

故，与是“趋势递减数列”矛盾，

所以必要性成立．

再证明充分性：

由，得，，

因为中的项没有0，所以对于任意正整数，，

所以为正整数），

所以，

①当时，，，，

②当时，，，，

所以均有，

所以充分性成立，

故为“趋势递减数列”的充要条件为的项中没有0．