专题12+【大题限时练12】-备战2022年上海高考数学满分限时题集

专题12 大题限时练12

1．如图，已知圆锥底面圆的半径，直径与直径垂直，母线与底面所成的角为．

（1）求圆锥的侧面积；

（2）若为母线的中点，求二面角的大小（结果用反三角函数值表示）．

【答案】（1）；（2）

【详解】（1）圆锥底面圆的半径，直径与直径垂直

母线与底面所成的角为．

，

圆锥的侧面积．

（2）为母线的中点，，

垂直圆所在的平面，圆所在的平面，

，

，，、平面，

平面，

平面，，

，是二面角的平面角，

在中，，，

，

二面角的大小为．

2．已知函数，．

（1）设，求函数的值域；

（2）在中，角，，所对应的边为，，．若（A），，的面积为，求的值．

【答案】（1），；（2）或

【详解】（1），

，

因为，

所以，

故函数的值域，；

（2）（A），

所以或，

因为，

所以，

当时，，

所以，

所以；

当时，，

故，

所以，

故或．

3．如图所示，某人为“花博会”设计一个平行四边形园地，其顶点分别为，2，3，，米，，为对角线和的交点，他以、为圆心分别画圆弧，一段弧与相交于、另一段弧与相交于，这两段弧恰与均相交于，设．

（1）若两段圆弧组成“甬路” （宽度忽略不计），求的长；（结果精确到1米）

（2）记此园地两个扇形面积之和为，其余区域的面积为，对于条件（1）中的，当时，则称其设计“用心”，问此人的设计是否“用心”？并说明理由．

【答案】（1）36米；（2）见解析

【详解】（1）平行四边形，，为对角线和的交点，

，

在△中，由正弦定理可得，

，

，

又为圆心的圆弧过点和点，

圆弧的半径，

圆弧的长，

同理可得圆弧的长也为，

米．

（2）由（1）可知，

由扇形面积公式可得，

在△中，由余弦定理可得，

，即，

，

，

又平行四边形的面积，

，

，

此人的设计是“用心”的．

4．已知曲线的左、右焦点分别为、，直线经过且与相交于、两点．

（1）求△的周长；

（2）若以为圆心的圆截轴所得的弦长为，且与圆相切，求的方程；

（3）设的一个方向向量，在轴上是否存在一点，使得且？若存在，求出的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）6；（2）或；（3），

【详解】（1）因为曲线，

所以，

所以，，

所以，

所以，，

由椭圆的定义可得，

所以三角形△的周长为．

（2）由上可知，，

设圆的半径为，直线为，即，

因为直线与圆相切，

所以圆心到直线的距离，

即，①

因为以为圆心的圆截轴所得的弦长为，且到轴的距离为1，

所以，②，

由①②，解得，，

所以直线的方程为或．

（3）因为直线过点，且方向向量为，

所以直线的方程为，

设，，，，

联立，得，

所以，，

所以，

，

因为，

所以点是线段的垂直平分线与轴的交点，

设线段的中点为，则，且，，即，，

所以线段垂直平分线的方程为，

令，得，

所以，

所以，，

所以，

在中，，

解得，

所以，．

5．已知无穷实数列，，若存在，使得对任意，恒成立，则称为有界数列；记，，2，3，，，若存在，使得对任意，，恒成立，则称为有界变差数列．

（1）已知无穷数列的通项公式为，，判断是否为有界数列，是否为有界变差数列，并说明理由；

（2）已知首项为，公比为实数的等比数列为有界变差数列，求的取值范围；

（3）已知两个单调递增的无穷数列和都为有界数列，记，，证明：数列为有界变差数列．

【答案】（1）见解析；（2），，；（3）见解析

【详解】（1），

若使数列为有界数列，则需使，

由知，，

则，，2，3，，，

，

则即可，则数列为有界变差数列．

（2），则，

当时，则，显然满足题意．

当时，则，则，

若，则，舍去．

当时，则是首项为，公比为的等比数列，

则，

若时，，则符合题意．

若时，趋向于无穷大，与题意矛盾，舍去．

综上可得，的取值范围为，，．

（3）证明：因为和为有界数列，

则存在，使得对任意的，恒成立，

则存在，使得对任意的，恒成立，

，

又因为和为单调递增的有界数列，

，

则，

则，

所以存在即可，则数列为有界变差数列．